2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§2　从位移的合成到向量的加减法

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2025北师大版高中数学必修第二册
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算及应用
1.(2024河北石家庄第二十四中学期末)=(　　)
A.
C.
2.(2022四川绵阳科学城一中月考)如图所示,在正六边形ABCDEF中,=(　　)
A.0　　　　B.
3.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是(　　)
　　
　　　　
4.(多选题)(2024河北博野实验中学开学考试)已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是(　　)
A.
C.
5.(多选题)设a=(),b是一个非零向量,则下列结论正确的有(　　)
A.a∥b　　　　B.a+b=a
C.a+b=b　　　　D.|a+b|<|a|+|b|
6.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
7.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1);
(2).
题组二　向量的减法运算及应用
8.(2024北京顺义月考)化简:=(　　)
A.
9.(2023湖北黄冈期中)八卦是中国古老文化中的一个深奥概念,其深邃的哲理解释了自然、社会现象.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则=(　　)
A.
10.已知四边形ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,且=a,=b,=c,=d,则(　　)
A.a+b+c+d=0　　　　B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0　　　　D.a-b-c+d=0
11.已知菱形ABCD的边长为1,则||=　　　.
12.已知||=7,则||的取值范围为　　　　.
13.(2022江西萍乡芦溪中学月考)已知=a,=b,若|
|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=a,=b,用a,b分别表示向量.
题组三　向量加减法的混合运算及应用
15.(2024四川绵阳月考)下列运算结果不正确的是(　　)
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
16.(多选题)如图,点B是平行四边形ACDE外一点,=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　)
A.=b+c　　　　B.=c-a
C.=c-b　　　　D.=c-b-a
17.(2024辽宁抚顺月考)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则=　　　　.
18.如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
能力提升练
题组　向量的加减运算及其运用
1.(2024陕西西安高新一中月考)若点O是△ABC的外心,且=0,则∠ACB=(　　)
A.120°　　　　B.90°　　　　
C.60°　　　　D.45°
2.(2023河南南阳一中月考)化简:(1),结果为零向量的个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.(2024广东佛山南海外国语高级中学月考)已知平面内两个任意向量a,b,则(　　)
A.|a+b|=|a|+|b|　　　　B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|-|b|　　　　D.|a-b|≤|a|+|b|
4.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量满足等式,若E为AC的中点,则=(　　)
A.　　　　
C.
5.已知圆O是以原点为圆心的单位圆,A,B是圆O上任意两个不同的点,M(2,0),则||的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(1,3)　　　　
C.(2,4)　　　　D.(2,6)
6.(2024陕西西安铁一中月考)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则=　　　　.
7.若向量a表示“向北走20 km”,向量b表示“向西走15 km”,则|a-b|=　　　　,a+b与a的夹角的余弦值为　　　　.
8.(2023浙江杭州期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量与x轴非负半轴的夹角分别为和,向量满足=0,则与x轴非负半轴的夹角的取值范围是　　　　.
9.(2023河南南阳阶段练习)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形
(2)化简,并在图中作出化简后的向量.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
1.B　.故选B.
2.D　因为六边形ABCDEF为正六边形,
所以,
所以.
3.D　因为f1+f2+f3=0,所以f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,由向量加法的平行四边形法则可知D正确.
4.AC　由平行四边形法则可知,故A正确;
由,得,故B错误;
在菱形ABCD中,,
所以,故C正确;
,故D错误.故选AC.
5.AC　a=(=0,
又b是一个非零向量,所以a∥b成立,故A正确;
a+b=0+b=b,故B不正确,C正确;
由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,故D不正确.故选AC.
6.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7
=
=(
=
==b6(或-b2).
7.解析　(1)
=.
(2)
==0.
8.A　.故选A.
9.B　因为八边形ABCDEFGH为正八边形,O为中心,所以,所以.
10.B　由四边形ABCD为平行四边形,可得,即b-a=c-d,故a-b+c-d=0,故选B.
11.答案　1
解析　∵,
∴||=1.
12.答案　[3,17]
解析　因为,所以||,
又||||≤||≤||,
所以3≤||≤17,即3≤||≤17.
故||的取值范围为[3,17].
13.答案　13
解析　∵||=5,且∠AOB=90°,
∴||2=169,即||=13,
∴|a-b|=||=13.
解析　依题意得
=a-b.
15.B　对于A,=0,故A正确;
对于B,,故B不正确;
对于C,=0,故C正确;
对于D,=0,故D正确.故选B.
16.ABC　=b+c,故A正确;=c-a,故B正确;=c-b,故C正确;=b+c-a,故D错误.故选ABC.
17.答案　0
解析　.
因为D是边BC的中点,所以,
所以=0.
18.解析　(1)=a-b.
(2)由(1)知a+b=.
当a+b,a-b所在的直线互相垂直时,AC⊥BD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||,
∴平行四边形ABCD为矩形,∴当a与b所在的直线互相垂直时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能, ABCD的两条对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量,∴a+b与a-b不可能为相等向量.
能力提升练
1.A　由=0,得,
因为点O是△ABC的外心,所以||,
结合向量加法的几何意义,知四边形OACB为菱形,且∠ACO=∠BCO=60°,所以∠ACB=120°.故选A.
2.C　(1)=0,符合题意;
(2)=0,符合题意;
(3),它不一定是零向量,不符合题意;
(4)=0,符合题意.
故通过运算,结果为零向量的有3个.故选C.
3.D　当向量a,b同向共线或a,b中至少有一个为零向量时,|a+b|=|a|+|b|,故A错误;
当|a|<|b|时,|a-b|>0,|a|-|b|<0,则|a-b|>|a|-|b|,故B,C错误;
若a,b为共线向量且方向相同,则|a-b|≤|a|+|b|,
若向量a,b方向相反,则|a-b|=|a|+|b|,
若向量a,b不共线,令a=,则a-b=,
所以|a-b|<|a|+|b|.
综上,|a-b|≤|a|+|b|,故D正确.故选D.
4.B　∵,
∴,即,
则四边形ABCD为平行四边形.
∵E为AC的中点,∴E为对角线AC与BD的交点,
则S△EAB=S△ECD=S△ADE=S△BCE,则.故选B.
5.D　由题作图如下,
设C为线段AB的中点,则||.因为A,B两点不重合,则直线AB与圆O相交,所以点C在圆O内.设D为圆上或圆内一点,当D在D1位置时,D1,O,M三点共线,此时|DM|最大,为|MO|+|OD1|=3,又C在圆内,所以|MC|<3;
当D在D2位置时,O,D2,M三点共线,此时|DM|最小,为|MO|-|OD2|=1,又C在圆内,所以|MC|>1.
故当点C在圆O内时,|MC|∈(1,3),
则||∈(2,6).故选D.
6.答案　
解析　如图,当|a|=|b|=|a-b|时,△ABC为等边三角形,则|a+b|为线段AD的长度,
所以=tan 30°=.
7.答案　25;
解析　如图,在矩形OACB中,设a=,则|a|=||=20 km,|b|=||=15 km,
|a-b|=|=25(km),
因为a+b=,
则a+b与a的夹角即为∠AOC,
所以cos∠AOC=.
8.答案　
解析　由题意得,
由向量加法的几何意义,得是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量的相反向量,所以与x轴非负半轴的夹角的取值介于-和-与x轴非负半轴的夹角之间(不包含边界).由题意得,-与x轴非负半轴的夹角分别为和.故与x轴非负半轴的夹角的取值范围为.
9.解析　(1)||,故平行四边形ABCD是菱形.
(2)因为E为AB的中点,所以.
又F为BC的中点,所以由三角形中位线的性质知EF∥AC,EF=AC,故,
所以.
作出向量,如图所示.
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