2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§3　从速度的倍数到向量的数乘

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2025北师大版高中数学必修第二册
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
题组一　向量的数乘运算及其运算律
1.(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论正确的有(　　)
A.m(a-b)=ma-mb　　　　B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b　　　　D.若ma=na,则m=n
2.(2024辽宁抚顺质检)已知点C在线段AB上,且AC=CB,则(　　)
A.
C.
3.设m是非零向量,μ是非零实数,则下列结论中正确的是(　　)
A.m与μm的方向相反
B.m与μ2m的方向相同
C.|-μm|≥|m|
D.|-μm|≥|μ|m
4.(2024江西南昌外国语学校月考)已知向量a,b,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2024重庆南开中学阶段测试)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是　　　　.
题组二　向量的线性运算
6.(2024湖南岳阳平江多校联考)已知向量a,b,则2(a+b)-(a-b)=(　　)
A.a+b　　　　 B.a-b　　　　
C.3a+b　　　　D.a+3b
7.(2024江西抚州学业质量监测)在△ABC中,边BC上的中线与边AC上的中线交于点E,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.
8.(2024江西景德镇期末质量检测)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且,则=(　　)
A.
C.
9.(2024江西南昌月考)已知等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC=2AD=2,BC的中点为E,则=(　　)
A.
C.
10.(多选题)(2024辽宁丹东期末)在△ABC中,D在边AB上,,E是CD的中点,则(　　)
A.
C.
11.(2024江西南昌第一中学期中)化简:(4a-3b)+b-(6a-7b)=　　　　.
题组三　共线(平行)向量基本定理及应用
12.(2022广东名校联盟联考)已知e1,e2是两个不共线的单位向量,a=e1+2e2,b=2e1-ke2,若a与b共线,则k=(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.-4　　　　D.-2
13.(2024山东胶州一中月考)已知a,b是两个不共线的向量,且向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(　　)
A.A,B,C三点共线　　　　B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线　　　　D.B,C,D三点共线
14.(2024江西宜春宜丰中学月考)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=(a-1)e1+e2,=2be1-e2(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则的最小值是(　　)
A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.2
15.(2024重庆一中月考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足,则=(　　)
A.
16.(2023北京昌平期末)如图,在△ABC中,.设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若P为△ABC内部一点,且a+b.求证:M,P,N三点共线.
17.(2024浙江杭州第四中学期末)设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值.
题组四　直线的向量表示
18.(2023陕西西北工业大学附属中学期末)在△ABC中,点P满足,则(　　)
A.点P不在直线BC上
B.点P在线段CB的延长线上
C.点P在线段BC上
D.点P在线段BC的延长线上
19.(2024福建泉州一中月考)在△OAB中,,则点O(　　)
A.在线段BC上且是靠近点B的三等分点
B.在线段AC上且是靠近点A的三等分点
C.在AB边所在直线上
D.在线段AC上且是靠近点C的三等分点
20.在△ABC中,点D在边BC的延长线上,且.若A.线段BC上　　　　B.线段CD上
C.线段AC上　　　　D.线段AD上
21.(2022上海向明中学期末)已知点P在线段P1P2的反向延长线上(不包括端点),且,则实数λ的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(多选题)(2024山西怀仁一中月考)已知M为△ABC的重心,D为边BC的中点,则(　　)
A.　　 B.=0
C.)
2.(2024江西丰城中学段考)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则||的最大
值是(　　)
A.5　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12
3.(2024福建泉州月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中正确的是(　　)
A.
C.
题组二　共线(平行)向量基本定理及应用
4.(2022广东揭阳普宁期末)如图,在△ABC中,,BE交CF于点P,(x,y均大于0),则=(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.
5.(多选题)(2023山东泰安阶段练习)已知P为△ABC所在平面内一点,且=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
6.(2024黑龙江双鸭山一中月考)如图,在△ABC中,,E为线段AD上(不含端点)的动点,且,则的最小值为(　　)
A.8　　　　B.12　　　　C.32　　　　D.16
7.(2024广东惠州月考)在△ABC中,D为AC上一点,且满足,连接BD,若P为BD上一点,且满足(m>0,n>0),则m与n的关系为　　　　;的最小值为　　　　.
8.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,满足,M是AD的中点,过M的直线分别交AB,AC于P,Q两点,记,且λ>0,μ>0.
(1)试用分别表示与;
(2)求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
1.AB　由向量数乘的运算律,可知A,B正确;
对于C,由ma=mb,可得m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;
对于D,由ma=na,可得(m-n)a=0,所以a=0或m=n,故D错误.故选AB.
2.C　由题意可画出图形,如图,
设AC=2,则BC=5,AB=7,且与方向相反,
所以.故选C.
3.B　对于A,当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,故A错误;对于B,由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,故B正确;对于C,|-μm|=|μ||m|,由于|μ|与1的大小关系不确定,所以|-μm|与|m|的大小关系不确定,故C错误;对于D,|μ|m是向量,而|-μm|表示实数,两者不能比较大小,故D错误.
4.D　若存在实数λ,使得a=λb,则有|a+b|=|λb+b|=|λ+1|·|b|,|a|+|b|=|λb|+|b|=(|λ|+1)·|b|,
若λ<0,则|a+b|≠|a|+|b|,充分性不成立;
当b=0,a≠0时,满足|a+b|=|a|+|b|,但是不存在实数λ,使得a=λb,故必要性不成立.
故“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.答案　±
解析　由a=λb得|a|=|λb|=|λ||b|,因为|a|=3,|b|=5,所以|λ|=,即λ=±.
6.D　2(a+b)-(a-b)=2a+2b-a+b=a+3b.故选D.
7.D　由题可知,E为△ABC的重心,则,又=λ+μ,∴λ=,μ=-,∴λ+μ=-.
8.C　由题意得,,所以.
故选C.
9.B　如图,连接BD,AC,
∵,
∴,∴,
∴.故选B.
10.BCD　对于A,,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,,
又,所以,故C正确;
对于D,,故D正确.
故选BCD.
11.答案　b
解析　(4a-3b)+(6a-7b)=b.
12.C　因为a与b共线,所以设b=λa,λ∈R,则2e1-ke2=λ(e1+2e2),所以解得k=-4.
13.B　对于A,由题知,≠λ(λ∈R),所以A,B,C三点不共线,故A错误;
对于B,=5a+3b-3a+3b=2a+6b=2(a+3b),所以,又B是BD与AB的公共点,
所以A,B,D三点共线,故B正确;
对于C,因为=-3a+3b,所以≠,所以A,C,D三点不共线,故C错误;
对于D,由题知,≠μ(μ∈R),所以B,C,D三点不共线,故D错误.故选B.
14.A　由A,B,C三点共线,得∥,
设=λ(λ∈R),则(a-1)e1+e2=λ(2be1-e2),
所以故a+2b=1,
因为a>0,b>0,
所以≥4+2=8当且仅当a=时等号成立.
故选A.
15.B　由,得,即,所以,故A,B,C三点共线,则,所以.故选B.
技巧点拨　A,B,C三点共线 存在实数λ,使得=λ+(1-λ).(O为坐标原点)
16.解析　(1)由题图知,=b-a,
a.
(2)证明:连接AN,如图.易得b,
又b,所以,故M,P,N三点共线.
17.解析　(1)证明:由题意得,,
所以∥,又与有公共点B,
所以A,B,C三点共线.
(2)因为4a+kb与ka+b共线,
所以存在实数λ,使得4a+kb=λ,
即b=0,
又a,b是不共线的两个非零向量,
所以解得或
故实数k的值是±4.
18.B　由,得,
所以,又BP,CB有公共点B,所以B,P,C三点共线,且点P在线段CB的延长线上,故选B.
19.B　因为,所以=0,所以2,所以点O在线段AC上且是靠近点A的三等分点,故选B.
20.B　∵,∴),即,又,∴.又∵-21.答案　(-1,0)
解析　依题意,设=μ(μ∈R,μ<0),
因为=λ,所以=λ()=-λ+λ,则,
故=μ<0,所以-1<λ<0.
能力提升练
1.ABC　对于A,,故A正确;
对于B,由题意得,M在线段AD上且是靠近点D的三等分点,所以,又,所以=0,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,又,所以),故D错误.
故选ABC.
2.C　连接AB,CO,如图所示,
因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,
所以,
所以||≤4||=4×2+2×1=10,
当且仅当M,O,C三点共线且同向时,等号成立,
因此||的最大值是10.故选C.
3.A　对于A,,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,若,则=0,不符合题意,故D错误.故选A.
4.A　因为B,P,E三点共线,所以=λ+(1-λ)=λ(1-λ),λ∈R,
因为F,P,C三点共线,所以,t∈R,
所以解得
所以x=,所以×4=2.
5.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点,
所以,
又=0,即()=0,
所以2=0,即,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确;
由EF为△ABC的中位线,易知点P,A,C三点不共线,则向量与不可能平行,故A错误.故选CD.
6.C　因为,所以,
因为,所以,
由题意知 λ∈(0,1),使=λ,
即=λ(),即=λ+(1-λ),
所以x=λ+(1-λ),
即(3y-λ)=(1-λ-x),
又不共线,所以即x+3y=1,x>0,y>0,
所以·(x+3y)=20+≥20+2=20+12=32,
当且仅当,即x=y=时取等号,
所以的最小值是32.故选C.
7.答案　m+4n=1;16
解析　由,得,即,
因为(m>0,n>0),
所以,
又P为BD上一点,所以m+4n=1,
因为m>0,n>0,
所以≥8+2×=16,当且仅当,即m=时等号成立,所以的最小值为16.
8.解析　(1)由得,则.
因为M是AD的中点,
所以,所以.
(2)由=λ=μ,且λ>0,μ>0得,所以.
又因为P,M,Q三点共线,所以=1,
所以λ+2μ=(λ+2μ)·≥,当且仅当,即λ=μ=时取等号,所以λ+2μ的最小值为.
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