2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§3　复数的三角表示

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2025北师大版高中数学必修第二册
*§3　复数的三角表示
基础过关练
题组一　辐角
1.(2024福建泉州永春第一中学月考)复数z=-sin +icos 的辐角主值为(　　)
A.
2.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-
3.(多选题)(2024山东滨州期末)已知复数z=1+i(i为虚数单位),则下列说法中正确的是(　　)
A.z的共轭复数为=-1+i B.|z|=
C.z的辐角主值是 D.=1+i
题组二　复数的三角形式
4.(2024广东深圳月考)复数-i的三角形式是(　　)
A.cos 60°+isin 60°　　　　B.-cos 60°+isin 60°
C.cos 120°+isin 60°　　　　D.cos 120°+isin 120°
5.复数z=4在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
6.将下列复数表示为三角形式(辐角取主值):
(1).
题组三　复数三角形式的乘除运算
7.(多选题)计算的结果是(　　)
A.实数　　　　B.复数　　　　C.虚数　　　　D.纯虚数
8.(2024江苏徐州第七中学月考)法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+
isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则=(　　)
A.1　　　 　B.22 022　　　 C.-22 022　　　 D.i
9.设π<θ<,则复数的辐角的主值为(　　)
A.2π-3θ　　 　B.3θ-2π　 　 　C.3θ　　 　 D.3θ-π
10.设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).
(1)观察得,(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ,(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+
isin 3θ,(cos θ+isin θ)4=cos 4θ+isin 4θ,……,猜测(cos θ+isin θ)n的结果(直接写出结果);
(2)若复数z=-i,利用(1)的结论计算z10.
题组四　复数三角形式乘除运算的几何意义
11.(多选题)在复平面内有一正方形OABC,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　)
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量对应的复数为-1+2i
C.向量对应的复数为1+2i
D.|
12.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=-3cos ,3sin ,将绕点O按顺时针方向旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
*§3　复数的三角表示
基础过关练
1.C　因为z=-sin +icos =cos +isin ,且∈[0,2π),所以复数z的辅角主值为.故选C.
2.B　因为z=(a+i)2=a2-1+2ai,arg z=,
所以
所以a=-1.
3.BCD　因为z=1+i,所以=1-i,故A错误;
|z|=,故B正确;
z=,所以arg z=,故C正确;
=1+i,故D正确.故选BCD.
4.D　令z=-i=r(cos θ+isin θ)(r>0,0°≤θ<360°),
则r=|z|=1,所以
因为0°≤θ<360°,所以θ=120°,
所以复数-i的三角形式是cos 120°+isin 120°.
5.答案　一
解析　z=4i,则z在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限.
6.解析　(1)因为r==2,
cos θ=,sin θ=-,所以θ=,
所以.
(2)原式=2.
7.BCD　=cos+isin
=cos +isin =i,其结果是复数,是虚数,也是纯虚数.故选BCD.
8.B　∵1-,
∴=22 022cos=22 022.故选B.
9.B　=cos 3θ+isin 3θ.
∵π<θ<,∴3π<3θ<,∴π<3θ-2π<,故所求复数的辐角的主值是3θ-2π.故选B.
10.解析　(1)(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ.
(2)z=,
由(1)得z10=210=210cos10×+isin10×
=210=210cos18π++isin18π+=210cos +
isin =210i.
11.ABD　把绕点O按逆时针方向旋转45°,再把它的模变为原来的倍即得,
故向量对应的复数为(2+i)·(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,
即点B对应的复数为1+3i,故A正确;
把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,所以对应的复数为(2+i)·(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;
对应的复数为对应的复数减去对应的复数,即(-1+2i)-(1+3i)=
-2-i,故C不正确;
|,故D正确.故选ABD.
12.答案　
解析　设向量对应的复数是z,
则z=-3cos +3isin ,
所以对应的复数是
==3cos+isin=3
i,
所以点B的坐标是.
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