2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§3　弧度制

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2025北师大版高中数学必修第二册
§3　弧度制
基础过关练
题组一　角度与弧度的换算
1.(2024江西赣州四中开学考试)将-315°化为弧度,正确的是(　　)
A.-
2.(2022广西钦州第四中学月考)弧度等于(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.22.5°　　　　D.90°
3.已知α=15°,β=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.
题组二　弧度制与终边相同的角
4.(多选题)(2022江苏镇江期末)已知角θ与角-的终边相同,则角θ可以是(　　)
A.-
5.(2024天津静海四校段考)在0~2π范围内,与角-终边相同的角是(　　)
A.
6.(2024江苏南京江东中学期初)从2024年2月21日13:00到当天13:25,某时钟的分针转动的弧度为(　　)
A.
7.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:
(1)-1 500°;(2);(3)-4.
8.如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
题组三　弧度制的应用
9.(2022河北邢台期末)已知一扇形的周长为28,则该扇形面积的最大值为(　　)
A.36　　　　B.42　　　　C.49　　　　D.56
10.(2024湖北武汉期末)已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数为2,则扇形的周长为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
11.(2024江西景德镇期中质量检测)古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画,题字题画的扇面多为扇环形,已知某纸扇的扇面如图所示,其中外弧长与内弧长之和为89 cm,连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm,且该扇环所对的圆心角的弧度数为2.5,则该扇环的外弧长为(　　)
A.63 cm　　　　B.65 cm　　　　C.67 cm　　　　D.69 cm
12.(2023山东德州期末)如图,在直角△POB中,∠PBO=,以O为圆心,OB长为半径作圆弧交OP于点A,其中△POB的面积与扇形OAB的面积之比为3∶2,记∠AOB=α,则=　　　　.
能力提升练
题组一　弧度制与终边相同的角
1.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是(　　)
A.-
2.(多选题)若角α的终边与角γ+的终边相同,角β的终边与角γ-的终边相同,则α-β的值可能是(　　)
A.
3.(多选题)(2024江西丰城第九中学期末)下列说法正确的是(　　)
A.角-与角的终边相同
B.若角α是第二象限角,则角为第一象限角
C.终边经过点(m,m)(m>0)的角的集合是
D.若一扇形的圆心角为2,圆心角所对应的弦长为2,则此扇形的面积为
题组二　弧度制的综合应用
4.(2024吉林期末)“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题,现有一个“圆材埋壁”模型,其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径为1,圆心为O,墙壁截面ABCD为矩形,且劣弧的长等于半径OA长的2倍,则圆材埋在墙壁内部的截面面积是(　　)
A.1　　　　 B.sin 1cos 1　　　　
C.2-sin 1cos 1　　　　D.1-sin 1cos 1
5.(2024江西联考)扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具,它不仅可以为食物增添美观的视觉效果,还可以使每个人轻松享用到不同的食物.已知某扇形拼盘如图所示,其示意图可以看成是由中间的一个直径为24 cm的圆,四周是8个相同的扇环组成的,寓意“八方进宝”.若每个扇环的周长为(32+10π)cm,则每个扇环的面积为　　　　　cm2.
6.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,角α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为　　　　.
7.(2024福建武夷山一中期中)《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图中阴影部分)是由圆弧和其所对的弦围成的,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角为,“矢”为2时,求“弧田”的面积;
(2)已知该扇形的圆心角为α,半径为r,周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§3　弧度制
基础过关练
1.C　-315°=-315×.故选C.
2.B　 rad==45°,故选B.
3.答案　α<β<γ<θ=φ
解析　解法一(角度化为弧度):α=15°=15×,因为,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为度):β==18°,γ=1≈57.30°,
φ==105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
方法技巧　在进行角度与弧度的换算时, 抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到角度数×=弧度数, 弧度数×=角度数.
4.BD　易得θ=-+2kπ,k∈Z,当k=1时,θ=,当k=3时,θ=,故选BD.
5.C　与角-终边相同的角是2kπ+,k∈Z,令k=1,可得与角-终边相同的角是,故选C.
6.C　因为分针是按照顺时针方向旋转的,所以转动的角为负角,
所以分针转动的弧度为-.故选C.
7.解析　(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°,360°=2π,300°=,
∴-1 500°可化成-10π+,是第四象限角.
(2),是第四象限角.
(3)-4=-2π+(2π-4),是第二象限角.
8.解析　题图(1)中,∵330°角与-30°角的终边相同,-30°=-,
∴所求角(记为α)的集合为α2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z.
题图(2)中,∵30°=,
∴所求角(记为β)的集合为β≤β≤kπ+,k∈Z.
9.C　设扇形的半径为R,弧长为l,由题意得2R+l=28,则扇形的面积S=R(28-2R)=-R2+14R=-(R-7)2+49≤49,所以该扇形面积的最大值为49.故选C.
10.D　设扇形的面积为S,半径为R,弧长为l,圆心角为θ,则S=4,θ=2,
∵S=×2×R2,∴R=2,
∴l=θR=2×2=4,∴扇形的周长为l+2R=4+2×2=8.故选D.
方法总结　与扇形有关的计算问题,通常涉及四个量:半径r,圆心角α,弧长l,面积S.已知其中的任意两个量可求其余两个量.
11.C　如图,设弧的长为a cm,弧的长为b cm.
因为扇形圆心角的弧度数为2.5,
所以a=2.5OA,b=2.5OC,
即OA= cm,OC= cm,
所以AC=OA-OC= cm,又AC=18 cm,所以=18,
所以a-b=45,联立解得
所以该扇环的外弧长为67 cm.故选C.
12.答案　
解析　设扇形OAB的半径为r,则扇形OAB的面积为αr2.
在直角△POB中,PB=rtan α,
则△POB的面积为r·rtan α.
由题意知,,所以.
能力提升练
1.A　∵-与-是终边相同的角,且此时-=是最小的.
2.AC 　由题意得α=γ++2k1π,k1∈Z,β=γ-+2k2π,k2∈Z,则α-β=
+2nπ,n∈Z,故角α-β是与角终边相同的角.结合选项知选AC.
3.ACD　对于A,因为+2π,所以角-与角的终边相同,故A正确;
对于B,取α=500°,则角α为第二象限角,但角为第三象限角,故B错误;
易知C正确;
对于D,设扇形的半径为r,则rsin 1=1,可得r=,
因此,该扇形的面积S=,故D正确.
故选ACD.
4.D　由题意得劣弧的长为2,扇形AOB的半径r=1,设∠AOB=α,则αr=2,即α=2,
则扇形AOB的面积为αr2=1,
过点O作OH⊥AB,则∠AOH=∠BOH=1,则sin 1==AH,cos 1==OH,则AB=2AH=2sin 1,
则S△AOB=×2sin 1cos 1=sin 1cos 1,
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积为1-sin 1cos 1.
故选D.
5.答案　80π
解析　根据题意,得扇环所在扇形的圆心角为,设扇环所在圆的半径为r cm,
则r+2(r-12)=32+10π,解得r=28,
所以每个扇环的面积为×122=80π(cm2).
6.答案　
解析　扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为角α所对的弧长l=6π,
所以R·=6π,解得R=18,
故扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形的内切圆的圆心为O,半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=,得,所以r=6,所以扇形的内切圆的面积为π·62=36π,因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为.
7.解析　(1)如图所示,由已知得∠AOB=,CD=2,
设扇形的半径为R,
则AB=2RsinR,OD=R·cos =2,解得R=4,
∴“弧田”的面积为S扇形AOB-S△AOB=·OD·AB=.
(2)设扇形的弧长为l,则l=αr,
故该扇形的周长为αr+2r=c,∴r=,
∴扇形的面积S=≤,当且仅当α=,即α=2时,等号成立,故当α为2弧度时,该扇形的面积最大.
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