2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象

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2025北师大版高中数学必修第二册
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
题组一　图象变换和作法
1.(2024江西重点中学协作体期末)为了得到函数y=3sin的图象,只要把函数y=3sin的图象上所有点(　　)
A.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.先向右平移π个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
2.(2024浙江杭州期末)要得到函数y=2sin 2x的图象,只要把函数y=2sin(2x+1)的图象上的每个点(　　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.(多选题)(2024福建漳州期末)为了得到函数y=2cos的图象,只需(　　)
A.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
B.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
C.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度
D.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度
4. 已知函数f(x)=2cos,现将y=f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度,再将所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g=　　　.
5.已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)列表并在下面的坐标系中画出函数f(x)在一个周期内的简图;
(2)将函数y=sin x的图象进行怎样的变换可得到函数f(x)的图象
题组二　由图象确定函数解析式
6.(2024北京朝阳期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
A.ω=1,φ=-
C.ω=2,φ=-
7.(2024江西部分高中联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　)
A.
C.
8.(2024河北承德联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,0≤ω≤6,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　)
A.2sin
C.2sin+1
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象如图所示, f
,则f(0)=　　　.
10.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈, f =2,求α的值.
题组三　函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的性质
11.函数f(x)=sin的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
12.(2024广西玉林期末)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象上的所有点向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)
A.
13.(多选题)(2024陕西西安中学月考)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是(　　)
A. f(x)=|cos x|　　　　 B. f(x)=sin 2x　　　　
C. f(x)=sin　　　　D. f(x)=cos x
14.(多选题)(2024江苏苏州吴江中学月考)将函数f(x)=sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.g(0)=-
B.直线x=是g(x)图象的一条对称轴
C.是g(x)图象的一个对称中心
D.g(x)在上单调递减
15.(2024山东临沂期末)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π,且图象经过点(0,1).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的最值以及取得最值时x的值.
16.(2024江西抚州联考)已知函数f(x)=4sin(2x+φ)的图象关于点,0对称.
(1)求φ的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
能力提升练
题组一　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性与图象的对称性
1.(2024上海行知中学月考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的初相为,若f(x)的图象在区间[0,1]上有且只有3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
A.
C.
2.(2024吉林长春期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且f(x)≤f恒成立,则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A.　　　　
C.
3.(多选题)(2024福建福州四校教学联盟期末)已知函数y=2sin+3,则下列结论正确的有　(　　)
A.函数的最小正周期为π
B.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数
C.函数图象的一个对称中心是
D.函数图象的一条对称轴是直线x=
4.(2024浙江嘉兴期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,A,B为图象与x轴的两个交点,C为图象的最高点,且OB=3OA,则(　　)
A.f(6)=
B.f(1)+f(9)=0
C.f(x)在(3,5)上单调递减
D.函数f(x)的图象关于点中心对称
5.(多选题)(2024江西新余期末质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.φ=
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin 2x的图象
D.若方程f(x)=m(m∈R)在上有两个不相等的实数根x1,x2,则cos(x1+x2)=
6.(2024北京育才学校月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),且f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且　　　　.
从下面的①、②、③三个条件中任选两个作为已知条件补充在横线上,再解答下列问题.
①f(x)的最小值为-2;
②f(x)图象的一个对称中心为;
③f(x)的图象经过点.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a](a>0)上,求实数a的取值范围.
题组二　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性与最值
7.(2022四川泸州期末)函数f(x)=在[4,6]上的值域为(　　)
A.[-1,1]　　　　B.[-2,2]　　　　C.[-4,4]　　　　D.[-8,8]
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-,A为f(x)图象的对称中心,B,C分别是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
9.(2024江西南昌十中月考)将函数f(x)=sin(ω>0)图象上的所有点向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,且函数f(x)在上单调递增,则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A.
10.(2024江西重点中学协作体期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上的最大值为,则实数ω的取值个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
11.(2024江西宜春部分中学联考)已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=图象上的任意两点,f(0)=-1,且当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,若g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
基础过关练
1.C　先将函数y=3sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=3sin2x+的图象,再将得到的图象向右平移个单位长度,得到函数y=3sin的图象,
故选C.
2.D　y=2sin 2x=2sin,要得到函数y=2sin 2x的图象,只要把函数y=2sin(2x+1)=2sin2x+图象上的每个点向右平移个单位长度,故选D.
3.ACD　将y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2cos=2cos3x+的图象,故A正确,B错误;
将y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2sin=2cos3x+的图象,故C正确;
将y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度,得到y=2sin=2sin-3x=2cos的图象,故D正确.
故选ACD.
方法总结　在三角函数图象的变换中,若变换前与变换后函数名不相同,则应先利用诱导公式将函数化为同名三角函数,再利用相应的变换得到结论.
4.答案　1
解析　将f(x)=2cos图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2cos=2cos 2x的图象,再将y=2cos 2x图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=2cos x的图象,即得到g(x)=2cos x的图象,
故g=1.
5.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==4π.
列表如下:
x- 0 π 2π
x
f(x)=3sin 0 3 0 -3 0
描出五个关键点并用光滑的曲线顺次连接,得到f(x)在一个周期内的简图如下.
(2)先把函数y=sin x图象上的所有点向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数f(x)的图象.
6.B　设f(x)的最小正周期为T.由题图可知=π,所以T=2π,由=2π,得ω=1.由“五点法”可知+φ=π,所以φ=π-.故选B.
7.A　由题图可知A=,f(x)的最小正周期T=4×,则ω==5,
由f ,得5×+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以k=0,φ=-,
所以f(x)=.故选A.
8.A　由题图可知f(x)max=A+b=3,f(x)min=-A+b=-1,解得A=2,b=1,所以f(x)=2sin(ωx+φ)+1,
由f(0)=2,得sin φ=,而|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin+1,
由f =0,得sin,
即ω++2kπ或ω++2kπ,k∈Z,
解得ω=-或ω=-,k∈Z,
函数f(x)的周期为,
显然有,解得<ω<,
又0≤ω≤6,所以ω=3,
所以f(x)=2sin+1.故选A.
9.答案　
解析　由题图可知函数f(x)的最小正周期为2×,故ω=3.将代入解析式,得Acos=0,结合“五点法”可得π+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2(k-1)π(k∈Z).
令φ=-,则f(x)=Acos,
又f ,所以A=,
所以f(x)=,
所以f(0)=.
10.解析　(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,
∴ω=2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)∵f +1=2,
∴sin.
∵0<α<,∴-<α-,
∴α-,故α=.
11. C　f(x)=sin,则函数f(x)=sin的单调递增区间即为函数y=sin的单调递减区间.
令2kπ-≤2x-≤2kπ-,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
故函数f(x)=sin的单调递增区间为(k∈Z),
故选C.
12.C　由题意得,曲线C对应的函数解析式为y=sin,
由曲线C关于y轴对称,得ω×0+ω++kπ(k∈Z),解得ω=+2k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值为.故选C.
技巧点拨　若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象关于直线x=a对称,则直线x=a必过该图象的最高点或最低点,故有f(a)=±A.
13.AC　对于A,定义域为R,因为f(-x)=|cos(-x)|=|cos x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,因为y=|cos x|的图象是把y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,并保留原x轴及其上方的图象得到的,所以y=|cos x|的最小正周期为π,所以A正确;
对于B,定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以B错误;
对于C,定义域为R, f(x)=sin=cos 2x,最小正周期为π,因为
f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以C正确;
对于D,易知f(x)的最小正周期为=4π,所以D错误.故选AC.
14.ABD　将函数f(x)=sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,再将y=sin图象上的所有点向右平移个单位长度,得到g(x)=sin2x-=sin的图象.
对于A,g(0)=sin=-sin ,故A正确;
对于B,g=sin =1,所以直线x=是g(x)图象的一条对称轴,故B正确;
对于C,g=1,所以不是g(x)图象的一个对称中心,故C错误;
对于D,当x∈时,2x-∈ ,且函数y=sin x在上单调递减,
所以g(x)在上单调递减,故D正确.
故选ABD.
15.解析　(1)∵f(x)=2cos(ωx-φ)的最小正周期为4π,∴=4π,∴ω=,
∵f(x)的图象经过点(0,1),∴f(0)=2cos(-φ)=2cos φ=1,解得cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,则f(x)=2cos,
令2kπ≤≤2kπ+π,k∈Z,得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)当x∈[0,2π]时,∈,
则cos∈,
故当=0,即x=时,函数f(x)取得最大值2,
当,即x=2π时,函数f(x)取得最小值-1.
16.解析　(1)依题意得f=0,则+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=4sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)由(2)及题得,g(x)=4sin,
由x∈,得4x+∈,
所以当4x+时,g(x)取得最小值,为4sin-=-2,
当4x+时,g(x)取得最大值,为4sin =4,
故g(x)在上的值域为[-2,4].
能力提升练
1.D　由题知,φ=,所以f(x)=2sin(ω>0),
当x∈[0,1]时,ωx+∈,
因为f(x)的图象在区间[0,1]上有且只有3条对称轴,所以≤ω+,解得≤ω<,故选D.
2.A　依题意得
解得
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,
令=kπ,k∈Z,解得x=-+2kπ,k∈Z,
令k=0,可得x=-,
所以函数f(x)=sin的图象的一个对称中心为.故选A.
3.AD　对于A,y=2sin+3的最小正周期T==π,故A正确;
对于B,将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y=2sin+3,易知该函数既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;
对于C,函数y=2sin+3的图象的对称中心的纵坐标应为3,
故C错误;
对于D,当x=时,y=2sin+3=2sin +3=1,为最小值,所以直线x=是y=2sin+3的图象的一条对称轴,故D正确.
故选AD.
4.D　根据题意,得点C的纵坐标为1,
因为△ABC为等腰直角三角形,所以AB=2,则f(x)的最小正周期T=4,
又T==4,所以ω=,
又OB=3OA,所以A,则C,
将C代入f(x)=sin,得1=sin,
则+φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=sin.
对于A,f(6)=sin,故A错误;
对于B,f(1)+f(9)=sin=sin +sin ,故B错误;
对于C,若x∈(3,5),则∈,显然函数f(x)在此区间上不单调,故C错误;
对于D,因为f =sin(-π)=0,所以f(x)的图象关于点中心对称,故D正确.故选D.
5.ACD　由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4=π,所以ω==2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),把代入,得
sin=0,即2×+φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,
故f(x)=2sin,故A正确;
当x=时,f(x)=2sin=-1,不是最值,故函数f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误;
将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin=2sin 2x的图象,故C正确;
因为x∈,所以2x+∈[0,π],
故2x1+=π,即x1+x2=,
则cos(x1+x2)=,故D正确.
故选ACD.
6.解析　(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π.
(2)由(1)得ω==2,故f(x)=Asin(2x+φ).
选条件①②:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2.
因为f(x)图象的一个对称中心为,
所以2×+φ=kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
选条件①③:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2.
因为f(x)的图象过点,所以2sin=-1,即sin
,
因为|φ|<,所以+φ<,
所以φ+,解得φ=,
所以f(x)=2sin.
选条件②③:因为f(x)图象的一个对称中心为,
所以2×+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Asin.
因为f(x)的图象过点,所以Asin=-1,即-A=-1,所以A=2,所以f(x)=2sin.
(3)因为x∈[0,a],
所以2x+∈,
因为f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上,所以≤2a+,得≤a<,
所以实数a的取值范围为.
7.C　当x∈[0,2)时,f(x)=sin πx;
当x∈[2,4)时, f(x)=2f(x-2),0≤x-2<2,
故f(x-2)=sin[π(x-2)],
所以f(x)=2sin[π(x-2)];
当x∈[4,6)时,f(x)=2f(x-2),2≤x-2<4,
故f(x-2)=2sin[π(x-2-2)]=2sin[π(x-4)],
所以f(x)=4sin[π(x-4)].
当x∈[4,6)时,0≤x-4<2,0≤π(x-4)<2π,所以-1≤sin[π(x-4)]≤1,-4≤4sin[π(x-4)]≤4;
当x=6时,f(6)=2f(4)=2×4sin[π(4-4)]=0.
综上所述,当x∈[4,6]时,f(x)∈[-4,4].
故选C.
8.C　设函数f(x)的最小正周期为T.
由题意得(2)2+2=42,即12+=16,
∴ω=.
∵A为f(x)图象的对称中心,
∴+φ=kπ,k∈Z,
又-<φ<,∴φ=-,
∴f(x)=.
令2kπ-≤≤2kπ+(k∈Z),
得4k-≤x≤4k+(k∈Z),
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
故选C.
9.B　f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后,得到y=sin(ω>0)的图象,该图象关于y轴对称,故+kπ,k∈Z,即ω=2+6k,k∈Z,由f(x)在上单调递增,且ωx+∈,得≤,解得0<ω≤2,
结合ω=2+6k,k∈Z,可得ω=2,所以函数f(x)的最小正周期T==π,
故选B.
方法总结　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某区间上单调,求参数的取值范围时,可将ωx+φ视为一个整体,求出该整体的范围,再与函数y=sin x的单调区间类比,从而得到关于参数的不等式(组)求解.
10.B　∵x∈,∴ωx-∈.
①若-ω-≤,即0<ω≤,则f(x)在上单调递增,
此时f(x)max=f ,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin与y=在上的图象,如图,
由图可知,两图象只有一个交点;
②若ω-,即ω>,
此时f(x)max=1=,∴ω=3,故f(x)=sin,令3x-,得x=π∈,满足题意.
综上,实数ω的取值共有2个.故选B.
11.解析　(1)因为f(x)=sin(ωx+φ),
所以f(x)max=,f(x) min=-,
依题意可得解得φ=-,
设f(x)的最小正周期为T,因为当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π,所以T=π,
所以T=2π,又T=,所以ω=1,
所以f(x)=.
(2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=的图象,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到g(x)=的图象,
当x∈(0,m)时,2x+∈,
因为g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,
所以≤,解得即实数m的取值范围为.
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