2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§8　三角函数的简单应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2024甘肃兰州期末)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s(t)=3sin,那么单摆来回摆动的振幅和往返一次所需的时间(秒)为(　　)
A.3,4　　　　B.-3,4　　　　
C.3,2　　　　D.-3,2
2.(2024北京海淀期末)如图,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=2sin,t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,则在t=0时h的值为(　　)
A.-2　　　　 B.2　　　　
C.-
3.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=·sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为　　　　.
　　
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.人的血压在不断变化,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设甲某的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),对于甲某而言,下列说法正确的是(　　)
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值,舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值,舒张压高于标准值
5.(2022山东烟台期末)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,其工作示意图如图所示.设水车(即圆周)的直径为8 m,其中心(即圆心)O到水面的距离为2 m,水车逆时针匀速旋转,旋转一周的时间是120 s.当水车边缘上一点A从水中浮现时(即A在A0处时)开始计时,经过t s后点A距离水面的高度为f(t)(在水面以下时高度取为负数),则f(140)=　　(　　)
A.3 m　　　　B.4 m　　　　
C.5 m　　　　D.6 m
6.(2023吉林长春第六中学期末)在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花,其花开花谢非常有规律.有研究表明,时钟花开花规律与温度密切相关,时钟花开花所需要的温度约为20 ℃,但当气温上升到31 ℃时,时钟花基本都会凋谢.在花期内,时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区,且该景区6时~14时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:时)近似满足函数关系式T=25+10sin,则在6时~14时中,观花的最佳时段约为(　　)
A.6.7时~11.6时　　　　B.6.7时~12.2时
C.8.7时~11.6时　　　　D.8.7时~12.2时
(2024浙江金华十校期末)某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数可用函数f(n)=200cos+300(n代表月份,且n∈{1,2,3,…,
12})近似表示,游客流量越大所需服务工作的人数越多,则可以推断,当n=　　　　 时,游客流量最大.
8.下图为2024年甲市某天6时至14时的气温变化曲线,其近似为函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,则这一天8时的气温大约为　　　　.(精确到1 ℃)
题组三　三角函数模型的建立及其应用
9.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮(看成一个圆)放入如图所示的坐标系中,后轮以ω rad/s的角速度逆时针做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看成一个点P)到原点O
的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t(s)的函数解析式,并求出P的运动周期;
(2)当φ=,r=ω=1时,作出其图象.
10.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行,已知圆的半径为1米,圆心O距离地面的高度为1.5米,蚂蚁爬行一圈需要4分钟,且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于爬行时间t(分钟)的函数关系式;
(2)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内,有多长时间蚂蚁距离地面超过1米
能力提升练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(多选题)下图是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
2.(2024河南南阳六校一联)阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置,被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看成单摆运动,其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s(t)=3sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次的位移均为s0(-3A. s　　　　B. s　　　　C.1 s　　　　D. s
3.信息多数是以波的形式进行传递的,其中必然会存在干扰信号形如y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的波,某种“信号净化器”可产生形如y=A0sin(ω0x+φ0)的波,只需要调整参数(A0,ω0,φ0),就可以产生特定的波(与干扰波的波峰相同,方向相反的波)来“对抗”干扰.现有干扰信号的部分图象,如图,想要通过“信号净化器”消除干扰,应将“信号净化器”的参数分别调整为(　　)
A.A0=
B.A0=-
C.A0=1,ω0=1,φ0=0
D.A0=-1,ω0=1,φ0=0
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.(2024湖北恩施期末)一半径为4.8 m的水轮示意图如图所示,水轮圆心O距离水面2.4 m,已知水轮每60 s按逆时针方向转动一圈,若以水轮上一点P刚浮出水面时(图中点P0位置)开始计时,则(　　)
A.点P距离水面的高度h(m)(在水面下,h为负数)与时间t(s)之间的函数关系式为h=4.8sin
B.点P第一次到达最高点需要10 s
C.在水轮转动的一圈内,有10 s的时间,点P距离水面的高度不低于4.8 m
D.当水轮转动50 s时,点P在水面下方,距离水面2.4 m
5. (2024北京海淀期末)某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,发现海水质点在某一时间段内相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y=sin(ωt+φ),t∈[0,8],其中常数ω>0,|φ|<π.经测定,在t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0,8]时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为(　　)
A.秒　　　　B.2秒　　　　C.秒　　　　D.3秒
6.(2023河南郑州实验高级中学期末)某市夏季某一天的气温变化曲线如图所示,若该曲线近似符合函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π)的图象,则下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①该函数的最小正周期是16;
②该函数图象的一条对称轴是直线x=14;
③该函数的解析式是y=10sin+20(0≤x<24);
④这一天气温变化的函数关系式也适用于第二天的气温变化.
题组三　三角函数模型的建立及其应用
7.(2024江西多校联考)为弘扬中华民族优秀传统文化,春节前后,各地积极开展各种非遗展演、文化庙会等活动.某地庙会每天8点开始,17点结束.通过观察发现,游客数量f(x)与时间x之间可近似用函数f(x)=600sin(ωx+φ)+k来刻画,其中x∈[8,17],8点开始后,游客逐渐增多,10点时大约为350人,14点时游客最多,大约为1 250人,之后游客逐渐减少.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)腊月二十九,为了营造幸福祥和的氛围,该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字,计划选一时段分发给每位游客,为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在什么时间赠送福字
8.(2024江苏无锡期末)游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,游乐场中的摩天轮(即圆周)匀速旋转,每转一圈需要12 min,其中心(即圆心)O距离地面40.5 m,半径为40 m.如果小明从最低处登上摩天轮,那么小明与地面的距离将随时间的变化而变化,以小明登上摩天轮的时刻开始计时,经过时间t(单位:min)之后,请解答下列问题.
(1)求出小明与地面的距离h(单位:m)与时间t之间的函数解析式;
(2)当小明登上摩天轮2 min后,小明的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,求两人距离地面的高度差H(单位:m)关于t的函数解析式,并求最大的高度差.
参考公式:sin(A±B)=sin Acos B±cos Asin B.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§8　三角函数的简单应用
基础过关练
1.A　∵s(t)=3sin,∴单摆来回摆动的振幅为3,往返一次所需的时间为2π×=4(秒),故选A.
2.D　因为当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,所以×2+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,又φ∈(-π,π),所以φ=,故h=2sin,故当t=0时,h=2sin.故选D.
3.答案　400π
解析　由题图2可得,ω>0,周期T=4×,即,则ω=400π.
4.C　∵p(t)=102+24sin 160πt,∴p(t)min=102-24=78,p(t)max=102+24=126,即甲某血压的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg.
因此,收缩压高于标准值,舒张压低于标准值.
5.B　由题意得,水车旋转的角速度ω= rad/s,
∵水车的直径为8 m,中心O到水面的距离OH为2 m,如图,
∴∠HOA0=,故t s后A距离水面的高度f(t)=m,
∴f(140)=2-4cos=4(m).故选B.
6.C　当t∈[6,14]时,∈,则T=25+10sin在[6,14]上单调递增.
设花开、花谢的时间分别为t1时,t2时,对应的气温分别为T1℃,T2℃.
由T1=20,得sin,则,解得t1=≈8.7;
由T2=31,得sin=0.6≈sin ,则,解得t2=11.6.
故在6时~14时中,观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.故选C.
7.答案　8
解析　因为n∈{1,2,3,…,12},
所以∈,π,,2π,,
所以当=2π,即n=8时,cos取最大值1,
所以当n=8时,f(n)取最大值,
又游客流量越大所需服务工作的人数越多,
所以当n=8时,游客流量最大.
8.答案　13 ℃
解析　由题意得A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20.
∵周期T=2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=,
∴y=10sin+20.
将x=6,y=10代入,得10sin+20=10,
即sin=-1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.
∵<φ<π,∴φ=,
∴y=10sin+20,x∈[6,14],
∴当x=8时,y=10sin≈13,
即这一天8时的气温大约为13 ℃.
9.解析　(1)y=rsin(ωt+φ),因此周期T=.
(2)当φ=,r=ω=1时,y=sin,
其图象可由y=sin t图象上的所有点向左平移个单位长度得到,如图所示.
10.解析　(1)如图所示,设t分钟时蚂蚁爬到A点,连接OA,过点A作AB⊥OP0,垂足为B.
因为蚂蚁爬行一圈需要4分钟,所以t分钟时蚂蚁所转过的圆心角为∠BOA=t,
在Rt△OBA中,OB=cost(米),
所以h=1.5-cost.
(2)令h=1.5-cost>1,得cos,即,所以,则蚂蚁距离地面超过1米的时长为(分钟).
能力提升练
1.BC　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A错误;该质点的振幅为5 cm,故B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.
2.D　由题意得(t2+t3)=3,则函数s(t)的周期T=2×(3-1)=4,所以ω=,
故s(t)=3sin,
令<1.5,则-1.5<3sin<1.5,
即-,
所以+2kπ解得4k+φ故总时间为+=(s).
综上,在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于1.5 cm的总时间为 s.故选D.
3.B　设干扰信号对应的函数解析式为y=Asin(ωx+φ).
由题图得,T(T为干扰信号的周期),解得T=,∴ω==4.
∵函数的最大值为,∴A=.
将代入y=sin(4x+φ),得sin=-1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,∴y=,
∴要消除形如y=的波,需要形如y=-的波,
∴A0=-,ω0=4,φ0=.故选B.
4.D　设h=Asin(ωt+φ)+B,
由题意知,A=4.8,B=2.4,最小正周期T=60,所以ω=,所以h=4.8sin+2.4,当t=0时,h=0,所以4.8sin φ+2.4=0,解得sin φ
=-,又因为|φ|<,所以φ=-,所以h=4.8sin+2.4,故A错误;
令,解得t=20,所以点P第一次到达最高点需要20 s,故B错误;
令4.8sin+2.4≥4.8,则sin≥,
所以+2kπ≤≤+2kπ,k∈Z,所以10+60k≤t≤30+60k,k∈Z,由0≤t≤60及k=0,得10≤t≤30,所以在水轮转动的一圈内,有20 s的时间,点P距离水面的高度不低于4.8 m,故C错误;
当t=50时,h=4.8sin+2.4=-2.4,所以点P在水面下方,距离水面2.4 m,故D正确.故选D.
5.C　因为t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰,所以周期T=×(8-2)=3,所以ω=,
当t=2时,y=sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ(k∈Z),
因为|φ|<π,所以φ=-,则y=sin,
由sin,得+2kπ或+2kπ,k∈Z,即t=+3k或t=+3k,k∈Z,因为t∈[0,8],所以t=,因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为(秒).故选C.
6.答案　①②
解析　该函数的最小正周期T=(14-6)×2=16,故①正确.
由题图可得,当x=14时,函数取得最大值,故该函数图象的一条对称轴是直线x=14,故②正确.
不妨令A>0,则解得
易得|ω|=,
若ω=,则y=10sin+20,0≤x<24,
将(6,10)代入上式,得10sin+20=10,即sin+φ=-1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=;若ω=-,则y=10sin-x
+φ+20,0≤x<24,将(6,10)代入,得10sin+20=10,即sin=-1,所以-+φ=-+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,故③错误.
这一天气温变化的函数关系式只适用于当天,不一定适用于第二天的气温变化,故④错误.
7.解析　(1)由题意得f(10)=350,f(14)=1 250,且sin(14ω+φ)=1,
则
所以
又ω>0,|φ|<,所以ω=,φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=600sin+650,x∈[8,17].
(2)当x∈[8,17]时,∈,
令600sin+650=950,得sin,得或,解得x=12或x=16,
又x∈[8,17],所以x∈[8,12]或x∈[16,17],
故为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在8~12时或16~17时这两个时间段赠送福字.
8.解析　(1)如图,设摩天轮最低处为点P,以摩天轮的中心O为原点,与地面平行的直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则P(0,-40),以OP为终边的角为-,
因为摩天轮每转一圈需要12 min,所以摩天轮转动的角速度为 rad/min,
故h=40sin+40.5(0≤t≤12).
(2)设小明的朋友与地面的距离为h1 m,则h1=40sin+40.5,
由题知,小明已在摩天轮上的时间为(t+2)min,此时小明与地面的距离h2=40sin+40.5,
故H=|h1-h2|=40sin=
40sin cos t=40sin,
由0≤t≤12知≤≤,故当或时,Hmax=40,此时t=2或t=8.
故当t=2或t=8时,两人距离地面的最大高度差为40 m.
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