第五章 三角函数 测试卷（含解析）2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 测试卷2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、选择题
1．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
2．函数的图象向左平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,得到的图象,则( )
A. B. C. D.
3．已知,则( )
A. B.3 C. D.
4．已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知角的始边与x轴非负半轴重合,终边过点,则( )
A. B. C. D.
6．与终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
7．已知,则( )
A. B.1 C. D.
8．下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.的面积为
10．设，用表示不超过x的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是( )
A.函数是偶函数
B.函数是周期函数
C.函数的图像关于直线对称
D.方程只有1个实数根
11．已知,则( )
A. B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称 D.在单调递增
12．已知函数的图象关于直线对称,则( )
A.函数为奇函数
B.函数在上单调递增
C.若,则的最小值为
D.函数的图象关于中心对称
三、填空题
13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC，BC，点E在以AC为直径的半圆上，延长AE，BC交于点D.若，，，则的面积是______.
14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.
15．已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小值，则的取值范围是__________.
16．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为___________.
四、解答题
17．已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数是奇函数，求的值；
(3)若，当时函数取得最大值，求的值.
18．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，且最高点与最低点间的距离为.
（1）求小球相对于平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围.
19．已知.
(1)写出与角终边相同的角的集合;
(2)写出在内与角终边相同的角.
20．已知函数（，，）图象的最高点为，距离该最高点最近的一个对称中心为.
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）若函数，的图象关于直线对称，且在上单调递增，求实数a的值.
21．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
22．已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意可知：，
所以，
则.
故选B
2．答案：A
解析：的图象向左平移个单位长度,得到的图象,
再把横坐标缩短为原来的一半,得到的图象
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,
又因为,所以,
所以,
所以
故选：A.
4．答案：A
解析：因为，，所以，故，所以.
5．答案：D
解析：因为角的始边与x轴非负半轴重合,终边过点,
所以,
所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为，，所以与终边相同的最小正角是.故选C.
7．答案：B
解析：,故选：B.
8．答案：A
解析：方法一：令，，得，.取，则.因为，所以区间是函数的单调递增区间.
方法二：当时，，所以在上单调递增，故A正确；当时，，所以在上不单调，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故C错误；当时，，所以在上不单调，故D错误.
9．答案：ACD
解析：在中，，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知，即，由，解得，故选项C正确；
在中，，则，，故选项D正确.故选ACD.
10．答案：AD
解析：选项A，函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
…
因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示
由可知，在内，
当，时，，
当，且，时，，
当或，时，，
因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示
显然不是周期函数，故选项A正确，B错误，C错误;
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有1个实数根，故D正确；
故选：AD.
11．答案：AD
解析：对于A,函数的最小正周期,,A正确;
对于B,由,得函数的图象不关于直线对称,B错误;
对于C,由,得函数的图象不关于点对称,C错误;
对于D,当时,,而正弦函数在上单调递增,
因此函数在区间上单调递增,D正确.
故选：AD.
12．答案：ACD
解析：函数的图象关于直线对称,
,,,
因为,所以,所以．
函数为奇函数,故A正确;
当,,函数没有单调性,故B错误;
若,因为,
所以或,则的最小值,故C正确;
,所以函数图象关于中心对称,故D正确
故选：ACD．
13．答案：
解析：由题意得：，
所以，故，所以，
因为，所以
故
，
因为，，，所以，
又因为，，所以，
所以的面积是.
14．答案：
解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,,
终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,.
所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为（，）为偶函数，所以，所以.令，，则，因为在区间上没有最小值，所以函数在时没有最小值，所以所以.
16．答案：
解析：由题意得，因为实数，满足，所以所以，，，，解得，，，，所以，，.所以.
17．答案：(1)，；
(2)；
(3).
解析：（1）由题意得，则其最小正周期，
令，解得，
则其单调递增区间为.
（2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则，
若函数是奇函数，则，即
因为，所以时，.
（3）由题知，则，从而，，因此，
因为，且，所以，
因此，，
所以，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得.
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以最小正周期为，
即，所以，
所以.
（2）由（1）知，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都到达一次最高点.
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以.
因为，所以，
所以的取值范围为.
19．答案：(1)
(2),,
解析：(1)与角终边相同的角的集合为.
(2)令,得.
又,,-1,0,
在内与角终边相同的角是,,.
20．答案：（1）；单调递减区间为
（2）或
解析：（1）由题意分析知，，
所以，，所以.
将代入，得，
则，，即，，
又，所以，所以.
由，，可得，，
即的单调递减区间为.
（2）由（1）可得，
由的图象关于直线对称，得，，即，，
当时，，由在上单调递增，得，即.
又且，，所以或.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）因为，所以，
则.
因为，所以，
所以.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）因为，
所以，
，
故