2024-2025学年北京市海淀区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
2.记为等差数列的前项和．已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数，则( )
A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数
C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数
8.已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角的终边与单位圆交于点，则 ______．
12.记为数列的前项和，若，则 ．
13.若命题“对任意，”为假命题的的取值范围是______．
14.若函数的最大值为，则 ______，的一个对称中心为______．
15.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．
下列函数中具有性质的有 ．
；
；
，；
．
若函数具有性质，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ求的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
17.本小题分
已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于的等比数列，且，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设，求使取得最大值时的值．
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
若函数在存在零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求在区间上的最大值；
Ⅲ设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由．
21.本小题分
已知数列记集合，，，
Ⅰ对于数列：，，，列出集合的所有元素；
Ⅱ若是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由；
Ⅲ若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为：，，，，若，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.或
16.解：Ⅰ，，
，
若选：，此时，三角形无解，
若选：，
，
由余弦定理得，，
又，，
若选：，
则，
又，，
即，
又，．
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
由正弦定理得，，
，，
，
的面积为．
17.解：Ⅰ设等差数列的公差为，由，可得，
解得，，则；
由数列是公比大于的等比数列，且，，
可得，，解得，
则；
Ⅱ，
，
当，时，，
当时，，
当时，，即有，
则当或时，的值最大．
18.解：因为函数
，
故它的最小正周期为，
令，求得，，
故的单调递增区间为：，．
因为函数在存在零点，即，在上有解．
当，，，
所以，
所以．
19.解：Ⅰ由已知得，
当时，，由得，得，
故此时的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，令得，，或，
由得，或，此时，
由得，此时，
故此时的单调递增区间为，单调递减区间为，，
综上可知：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
Ⅱ证明：由Ⅰ可知在上单调递增，则在上单调递增，
又，，，故在上存在唯一零点．
20.解：Ⅰ，，．
即曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ令，
，
当时，，在上单调递增．
因为，，
所以，使得．
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
且，，
所以．
Ⅲ满足条件的的最大整数值为．
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立．
令，
当时，，所以恒成立．
当时，令，，，与的情况如下：
可得在单调递减，在单调递增，
所以，
当趋近于正无穷大时，无限趋近于，
所以的值域为．
因为，
所以的最小值小于且大于，
所以的最大整数值为．
21.解：Ⅰ．
Ⅱ假设存在，，使得，则有
，
由于与奇偶性相同，
所以与奇偶性不同，
又因为，，
所以大于等于的奇数因子，
这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，，使得．
Ⅲ
仅当，时，，其中与一奇一偶，
且，，则能拆成奇数与偶数之乘积，
在偶数中，只有无法拆成一个大于的奇数与一个大于的偶数之乘积，
又中的元素均为偶数，故，
故中的元素为至整数除去，，，，，，，，，
故．
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