2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--1.1　复数的概念

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2025北师大版高中数学必修第二册
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
题组一　复数的相关概念
1.(2024湖南常德津市第一中学月考)复数1-5i的虚部是(　　)
A.5　　　　B.-5　　　　C.5i　　　　D.-5i
2.若复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a=(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.3
3.(2023湖南名校联盟检测)欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位,e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式,它是复分析中欧拉公式eix=cos x+isin x的特例:当自变量x=π时,eiπ=cos π+isin π=-1,得eiπ+1=0.根据欧拉公式,复数的虚部为(　　)
A.
题组二　复数的分类
4.(2024江西景德镇期末质量检测)已知m为实数,若复数z=(m2-4)+(m+2)i为纯虚数,则复数z的虚部为(　　)
A.2　　　　B.-2i　　　　C.4　　　　D.-4i
5.(多选题)(2024江苏泰州兴化期中)对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列说法中错误的是(　　)
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若z=3-2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.若a=b=0,则z不是复数
6.复数z=cos,且θ∈-,若z是实数,则θ的值为　　　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　　　.
7.(2023福建厦门第一中学期中)已知复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),若z≥0,则实数m的值为　　　　.
8.已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
题组三　复数相等
9.若复数z1=a-i(a∈R),z2=1+bi(b∈R),z1=z2,则符合条件的点(a,b)(　　)
A.有1个　　　　B.有2个
C.在直线y=x上　　　　D.不确定
10.(2023安徽黄山期末)若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数z=a+bi的虚部为(　　)
A.-i　　　　B.-1　　　　C.2i　　　　D.2
11.(2024江苏南通模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m=　　　　.
12.(2022湖北武汉四校联合体期中)已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)和z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ∈R,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围为　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
1.B　
2.A　∵复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,
∴a-2=2a+1 a=-3.故选A.
3.C　根据欧拉公式,可知+isin =cos -isin i,故复数的虚部为-.
4.C　因为复数z=(m2-4)+(m+2)i为纯虚数,所以m2-4=0,且m+2≠0,解得m=2,即z=4i,所以复数z的虚部为4,故选C.
5.ABD　对于A,当且仅当a=0,b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中说法错误;
对于B,若z=3-2i,则a=3,b=-2,故B中说法错误;
对于C,若b=0,则a+bi为实数,故C中说法正确;
对于D,若a=b=0,则z=0,是复数,故D中说法错误.
故选ABD.
6.答案　±;0
解析　z=cos=-sin θ+icos θ.
当z是实数时,cos θ=0,
∵θ∈,∴θ=±;
当z为纯虚数时,又θ∈,
∴θ=0.
7.答案　3
解析　∵z≥0,∴z为实数,则解得m=3.
方法总结　若一个复数与一个实数存在大小关系,则这个复数必为实数.
8.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
9.A　由题意得a-i=1+bi,所以a=1,b=-1,即符合条件的点(a,b)为(1,-1),只有1个.故选A.
10.D　因为2+ai=b-i,所以a=-1,b=2,
故复数z=a+bi=-1+2i,其虚部为2,故选D.
11.答案　1
解析　由A B,得2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,易知①无解,由②可得m=1.故m=1.
12.答案　
解析　∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos θ+(λ+3sin θ)i,
∴消去m得,4-4cos2θ=λ+3sin θ,
∴λ=4sin2θ-3sin θ=4,
∵θ∈R,∴-1≤sin θ≤1,
∴当sin θ=时,λmin=-;当sin θ=-1时,λmax=7.
∴λ的取值范围为-≤λ≤7.
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