2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

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2025北师大版高中数学必修第二册
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基础过关练
题组一　空间几何体的基本元素
1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是　(　　)
A.点　　　　
B.线
C.曲面　　　　
D.多边形(不包括内部的点)
2.在第24届冬奥会上,中国代表队创造了历史最好成绩,首都北京也成为第一座“双奥之城”.如图所示,坐落于北京的国家游泳中心(又称“水立方”)是中国健儿为国争光的地方,“水立方”可以抽象出的几何体是(　　)
A.圆柱　　　　B.四棱锥　　　　
C.四棱台　　　　D.长方体
题组二　棱柱的结构特征
3.(2024广东惠州六校联考)下列说法不正确的是(　　)
A.直四棱柱是长方体　　　　
B.正方体是平行六面体
C.长方体是平行六面体　　　　
D.平行六面体是四棱柱
4.(2023四川眉山月考)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)
　　　　　　　　
　　　　
5.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,请说明是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
题组三　棱锥的结构特征
6.下列说法中,正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;④棱锥的各侧棱长相等.
A.①②　　　　B.①③　　　　C.②③　　　　D.②④
7.(2024河北邢台期中)在四面体D-ABC中,已知底面ABC为正三角形,则“三棱锥D-ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的(　　)
A.充要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
8.(2023安徽淮北一模)如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,沿面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是(　　)
A.三棱锥　　　　B.四棱锥　　　　
C.三棱柱　　　　D.组合体
题组四　棱台的结构特征
9.(2024海南海口开学考试)棱台不具备的特点是(　　)
A.两底面相似　　　　B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等　　　　D.侧棱延长后交于一点
10.一个棱台至少有　　　个面,面数最少的棱台有　　　个顶点,有　　　条棱.
11.下列空间图形是棱台的为　　　　.(填序号)
题组五　多面体中的有关计算
12.(2023河南新乡模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面的周长为(　　)
A.3　　　　
B.2+3　　　　
C.　　　　
D.2
13.(2024天津重点校期中联考)已知一个正三棱锥的侧棱长为3,其底面是边长为的等边三角形,则此正三棱锥的高为　　　　.
14.(2024山西临汾期中)一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且侧面梯形的高为2,则该正四棱台的高为　　　　.
15.(2024辽宁抚顺德才高级中学月考)如图,已知四棱锥V-ABCD的底面是面积为16的正方形,侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为6.
(1)求四棱锥V-ABCD的高;
(2)求四棱锥V-ABCD的斜高.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.1　构成空间几何体的基本元素
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基础过关练
1.D　
2.D
3.A　直四棱柱的侧棱垂直于底面,当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体,故A错误;
平行六面体的对面平行,底面为平行四边形,故B、C、D均正确,故选A.
4.A　无论沿正方体的哪条棱剪开,相邻面在展开图中可以不相邻,未剪开的相邻面在展开图中一定相邻,又正方体对面的图案相同,所以展开后相同图案绝不会相邻.故选A.
5.解析　(1)是棱柱,是四棱柱,因为长方体有相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义,又底面是四边形,所以长方体是四棱柱.
(2)是.截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
6.B　由棱锥的定义知①正确;②中没有强调三角形有一个公共顶点,故②错误;四面体是由四个三角形面所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错误.故选B.
7.C　正三棱锥的底面为正三角形,侧面为全等的等腰三角形,故充分性成立;
当△ABD与△BCD均为等腰三角形,但不全等时,如AB=BC=AC=CD=2,AD=BD=3,此时三棱锥不是正三棱锥,必要性不成立,故为充分不必要条件.故选C.
8.B　截去三棱锥后剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.
9.C　因为棱锥的侧棱不一定相等,所以截得的棱台的侧棱也不一定相等.
10.答案　5;6;9
解析　面数最少的棱台为三棱台,它有5个面,6个顶点,9条棱.
11.答案　③
解析　由棱台的定义知,棱台的上、下底面平行,且侧棱的延长线能交于一点.
①中,侧棱延长后不能交于一点;②中,上、下底面不平行;③符合棱台的结构特征.
12.A　取BC的中点F,连接AF,EF,则四边形AFED1为截面四边形,
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
所以EF=,
所以四边形AFED1的周长为3.
13.答案　2
解析　如图,
在正三棱锥P-ABC中,PA=3,AB=,
由正三棱锥的性质可知,顶点P在底面内的射影为正三角形ABC的中心,记为O,
取BC的中点D,连接AD,
则AO=AB·sin 60°==1,
所以PO=.
14.答案　2
解析　如图,在正四棱台ABCD-EFGH中,EQ⊥AB于点Q,EN⊥AC于点N,O,M分别为上、下底面的中心,
设棱台的上、下底面的边长分别为a,b,则4b-4a=16,即b-a=4,由题知EQ=2,则EA==4,
所以OM=EN=,
故棱台的高为2.
15.解析　(1)由于四棱锥V-ABCD的侧面是全等的等腰三角形,底面为正方形,故该四棱锥是正四棱锥,
如图,连接AC,BD,交于点O,连接VO,
则VO为正四棱锥的高,△VCO为直角三角形,且VO⊥AC,易知正方形ABCD的边长为4,则AC=4,所以OC=2,所以VO==8,
故四棱锥V-ABCD的高为8.
(2)由于正四棱锥的侧面是等腰三角形,
故四棱锥V-ABCD的斜高为.
方法技巧　在正棱锥的计算问题中要善于应用由高、斜高、斜高在底面上的射影构成的直角三角形和由高、侧棱、侧棱在底面上的射影构成的直角三角形解题.
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