2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--1.2　复数的几何意义

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2025北师大版高中数学必修第二册
1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数与复平面内的点的对应关系
1.(2024安徽淮南二中期中)已知复数z在复平面内对应的点为(2,-2),则复数z的虚部为(　　)
A.-2　　　　B.-2i　　　　C.2　　　　D.2i
2.若复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(　　)
A.-3i　　　 B.-3+i　　　C.3+i　 D.3-i
3.(多选题)(2024广东江门期末)已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),下列说法正确的是(　　)
A.若z为纯虚数,则m=1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能位于第三象限
4.(2024江西南昌第十九中学等校期末)已知复数z=(2a-1)+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值范围是　　　　.
5.(2024广东广州番禺中学期中)已知平行四边形ABCD,在复平面内点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是　　　　.
6.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限 (2)在实轴负半轴上 (3)位于上半平面(含实轴)
题组二　复数与平面向量的对应关系
7.在复平面内,已知复数z=3+4i对应的点Z关于原点O的对称点为Z1,则向量对应的复数为(　　)
A.-3-4i　　　　B.4+3i　　　　C.-4-3i　　　　D.-3+4i
8.(2024广西南宁马山第三高级中学期中)在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),若⊥,则a=　　　　.
9.(2024山东青岛第二中学模拟)已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
10.(2023湖南永州第四中学月考)如图,在复平面内有一个平行四边形ABCD,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为z,且=4+4i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
题组三　复数的模
11.(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
12.(2024河南信阳第一高级中学月考)已知z=(2a-1)+(a+1)i(a∈R),则“|z|=”是“a=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2024陕西西安月考)若复数z满足|z|=5,且z在复平面内对应的点位于第四象限,写出一个符合条件的复数z:　　　　.
14.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　　　　　　　　.
15.(2022河南焦作期中)已知复数z=a+bi(a,b∈R).
(1)若ab≠0,且=1,求|z|的最小值;
(2)若a=m-3,b=m2-4m-5,且z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限,求实数m的取值范围.
16.已知复数z1=i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形
题组四　共轭复数
17.(2024江西师范大学附属中学月考)若复数z满足z=1-2i,则其共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
18.在复平面内,复数z=1+i的共轭复数对应的向量为(　　)
19.(2024湖北荆州车胤中学月考)复数z对应的向量与a=(3,4)共线,其在复平面内对应的点Z位于第三象限,且|z|=10,则=(　　)
A.6+8i　　　　B.6-8i　　　　
C.-6-8i　　　　D.-6+8i
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.2　复数的几何意义
基础过关练
1.A　由题意可知z=2-2i,则其虚部为-2.
2.B　复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则它们的实部相等,虚部互为相反数,所以z1=-3+i.故选B.
3.ABD　若z为纯虚数,则解得m=1,故A中说法正确;
若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B中说法正确;
z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),若该点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C中说法错误;
令得无解,所以z在复平面内对应的点不可能位于第三象限,故D中说法正确.
4.答案　
解析　由复数z=(2a-1)+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,得解得05.答案　4-8i
解析　由题意可得A(4,1),B(3,4),C(3,-5),
设平行四边形ABCD的对角线的交点为M(xM,yM),点D(x,y),
结合中点坐标公式可得解得
即点D(4,-8),故点D对应的复数是4-8i.
6.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则∴-7(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,则∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),则m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
7.A　易知复数z=3+4i对应的点Z的坐标为(3,4),
∴点Z关于原点O的对称点为Z1(-3,-4),
∴向量=(-3,-4),∴向量对应的复数为-3-4i,故选A.
8.答案　
解析　因为z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),所以=(2a,-3),
因为⊥,所以4×2a-3×3=0,解得a=.
9.答案　
解析　根据题意得=(0,3),
∴cos<,
又0≤<>≤π,∴向量与的夹角为.
10.解析　(1)因为点A对应的复数为-1,
所以A(-1,0).
因为=4+4i,所以z=4-4i,所以=(4,-4).
设D(x,y),则=(x+1,y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以,
即(x+1,y)=(4,-4),解得x=3,y=-4,
即D(3,-4),
故点D对应的复数为3-4i.
(2)由题意及(1)可知=(4,-4),
所以·=0,故⊥,
则平行四边形ABCD为矩形.
易得|,
故平行四边形ABCD的面积为2×4=16.
11.ABC　根据复数的模的定义可知A,B正确;根据复数的定义可知C正确;复数z1,z2可以为虚数,虚数不能比较大小,但复数的模可以比较大小,所以D错误.故选ABC.
12.B　若|z|=,则,化简得5a2-2a=0,解得a=0或a=,故“|z|=”是“a=”的必要不充分条件.故选B.
13.答案　z=3-4i(答案不唯一)
解析　设z=a+bi,a,b∈R,
因为|z|=5,所以a2+b2=25,
因为z在复平面内对应的点位于第四象限,
所以a>0,b<0,
故z可以为3-4i.(答案不唯一)
14.答案　|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
解析　由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4.
∴|x-yi|=|3+4i|==5,
|y+2i|=|-4+2i|=.
易得|1-5i|=,
∵2,∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
15.解析　 (1)因为=1,
所以|z|2=a2+b2=(a2+b2)+1≥2+2=4,当且仅当a2=b2=2时,等号成立,所以|z|的最小值为2.
(2)当z在复平面内对应的点位于第二象限时,
解得m<-1;
当z在复平面内对应的点位于第四象限时,解得3综上,实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,5).
16.解析　|z1|=|=2,
|z2|==1.
∵|z2|≤|z|≤|z1|,∴1≤|z|≤2,其对应的点的集合是以原点O为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图中阴影部分所示.
17.A　由z=1-2i得=1+2i,故在复平面内对应的点为(1,2),位于第一象限,故选A.
18.C　复数z=1+i的共轭复数为1-i,其在复平面内对应的向量=(1,-1).
19.D　设复数z=x+yi,x,y∈R,则=(x,y),
∵复数z对应的向量与a=(3,4)共线,
∴4x-3y=0①,由|z|=10得x2+y2=100②,
由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.
∵z在复平面内对应的点Z位于第三象限,
∴z=-6-8i,∴=-6+8i.故选D.
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