2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.1　复数的加法与减法

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第二册
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
题组一　复数的加减运算
1.(2023福建龙岩一级校联盟期末)已知复数z=(1+i)+λ(1-i)是纯虚数,则实数λ=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-2　　　　D.2
2.(2022安徽鼎尖联盟联考)复数z满足z=2+3i-3,则|z|=(　　)
A.5　　　　B.
3.(2024内蒙古包头期末)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,其中a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=(　　)
A.-7　　　　B.-6　　　　C.6　　　　D.7
4.(2023浙江新高考研究测试)若z+=2,则|z|+2的实部可能是(　　)
A.3　　　　B.1　　　　C.3i　　　　D.i
5.(多选题)(2024湖南衡阳三校联考)已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列说法正确的是(　　)
A.的虚部为-2
B.z-2为纯虚数
C.若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则a=1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
6.已知i为虚数单位,计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
题组二　复数加减法的几何意义
7.(2022江苏苏州吴江汾湖高级中学期中)在复平面内,O是原点,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为(　　)
A.2+8i　　　　B.-6-6i　　　　C.4-4i　　　　D.-4+2i
8.(2024江西重点中学协作体期末)已知复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1　　　　B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1　　　　D.x2+(y+1)2=1
9.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.直角三角形
C.等边三角形　　　　D.等腰直角三角形
10.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别为z1,z2,则z1+z2=　　　　.
11.(2024广东广州中学期中)在复平面内,对应的复数是1-i,对应的复数是1+i,则点B,D之间的距离是　　　　.
12.设向量在复平面内分别与复数z1=5+3i,z2=4+i对应,试计算z1-z2,并把它对应的向量在复平面内表示出来.
能力提升练
题组一　复数的加减运算
1.(2024北京第八十中学月考)复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.16
2.(多选题)(2022河北邢台名校联盟月考)若z-,则z可能为(　　)
A.1-7i　　　　B.1+7i
C.-1-7i　　　　D.-1+7i
3.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z:　　　　.
4.(2022江苏连云港期中)已知复数z1=cos θ+isin θ,z2=1-i,其中i是虚数单位,则|z1-z2|的最大值为　　　　.
5.(2024河北邯郸期中)已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.
题组二　复数加减法的几何意义的应用
6.(多选题)复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(　　)
A.有最大值　　　　B.无最大值
C.有最小值　　　　D.无最小值
7.(2024广东惠州第一中学月考)已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.
8.(多选题)(2022河南开封月考)设复数z的共轭复数为,则下列命题正确的是(　　)
A.z+∈R
B.z-是纯虚数
C.若z=cos,则|z|=1
D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
9.(2022重庆十一中期中)已知复数z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,+z2∈R.
(1)求实数a的值;
(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
1.A　z=(1+i)+λ(1-i)=1+λ+(1-λ)i,
根据题意得解得λ=-1.
2.D　设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi=2(a-bi)+3i-3=(2a-3)+(3-2b)i,
∴解得
∴|z|=.
3.A　由题得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i,
因为z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,所以
解得所以a+b=-7.故选A.
4.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则z+=a+bi+a-bi=2,解得a=1,
所以z=1+bi,
所以|z|+2+2)-2bi,
则|z|+2的实部为+2,易知+2≥3,结合选项可知选A.
5.AD　因为z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,
所以=4-2i,则的虚部为-2,故A正确;
z-2=2+2i,不是纯虚数,故B错误;
若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,
则解得a=-4,故C错误;
复数z在复平面内对应的点为(4,2),位于第一象限,故D正确.故选AD.
6.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
7.C　由题意得=(3,2)-(-2,1)-(1,5)=(4,-4),故表示的复数为4-4i.
8.C　解法一:由复数的几何意义知|z-i|=1表示点Z(x,y)到点(0,1)的距离为1,即=1,故x2+(y-1)2=1.故选C.
解法二:由题意得z=x+yi,则z-i=x+(y-1)i,∴|z-i|==1,即x2+(y-1)2=1.故选C.
9.B　由题可得,复数z1对应向量,z2对应向量,
则|z1+z2|=||.
依题意有||,
∴以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形,
∴△AOB是直角三角形.故选B.
10.答案　2
解析　由已知得,=(2,-1),
则=(0,1)+(2,-1)=(2,0),
所以z1+z2=2.
11.答案　2
解析　因为,所以对应的复数是1+i-(1-i)=2i,则||=2,故点B,D之间的距离是2.
12.解析　z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.
记z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则Z1(5,3),Z2(4,1),故=(1,2)即为z1-z2所对应的向量,如图所示:
能力提升练
1.C　由z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2,
当且仅当2x=22y,即x=时,等号成立,
∴2x+4y的最小值为4.故选C.
2.AC　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由题得
解得或
所以z=1-7i或z=-1-7i.
3.答案　z=1+i(答案不唯一)
解析　∵z=a+bi,∴z-2i=a+(b-2)i.
由|z-2i|=|z|知,,解得b=1,
故只需b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i.(答案不唯一)
4.答案　+1
解析　由题意得,z1-z2=(cos θ-1)+(sin θ+1)i,
所以|z1-z2|=≤+1,当θ-+2kπ,k∈Z,即θ=+2kπ,k∈Z时取等号.
5.解析　(1)易得z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,
因为z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,
所以解得0所以m的取值范围为(0,1).
(2)由题意得=(2m,1),
因为·=0,所以2m(m2+m)+m2-1=0,
即(m+1)2(2m-1)=0,解得m=-1或m=,
当m=-1时,A(0,0),与O重合,不符合题意,
当m=时,A,B(1,1),符合题意,
此时z1=i,z2=1+i,故=1-i,
所以|z1-.
6.BC　因为|z-1|=|z+3|,
所以z在复平面内对应的点的集合是以点(1,0),(-3,0)为端点的线段的垂直平分线,
故|z|可看作该垂直平分线上的点与坐标原点间的距离,其最小值等于坐标原点到该直线的距离,无最大值.
所以|z|有最小值,无最大值.故选BC.
7.B　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数加、减法的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等,所以点Z的轨迹为x轴,
又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)(记为P)的距离,
所以问题转化为求x轴上的动点Z到定点P(-1,-2)的距离的最小值,易知|PZ|min=2,
所以|z+1+2i|的最小值为2.故选B.
8.AD　因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所以z+∈R,故A正确;
当z为实数时,也为实数,则z-是实数,故B错误;
若z=cos,则|z|=≠1,故C错误;
对于D,设z=x+yi(x,y∈R),若|z-i|=1,则点(x,y)到点(0,1)的距离为1,即点(x,y)在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示圆上的点到原点的距离,故|z|max=1+1=2,故D正确.
故选AD.
9.解析　(1)因为z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,
所以+z2=1-(10-a2)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,
因为+z2∈R,所以a2+2a-15=0,
解得a=-5或a=3,因为a>0,所以a=3.
(2)由(1)知z2=i,
因为|z-z2|=2,所以z在复平面内对应的点的集合是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
故|z|可看作复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离,
所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.
故|z|的取值范围为[1,3].
规律总结　设动点P,定点A,B分别为复数z,z1,z2在复平面内对应的点,则:
(1)|z-z1|的几何意义为点P到点A的距离.
(2)复数方程|z-z1|=r(r>0)表示的图形是以点A为圆心,r为半径的圆.特别地,|z|=r表示的图形是以原点为圆心,r为半径的圆.
(3)复数方程|z-z1|=|z-z2|表示的图形为线段AB的垂直平分线.
(4)复数方程|z-z1|+|z-z2|=|AB|表示的图形为线段AB.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)