2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.1　两角和与差的余弦公式及其应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
题组一　对两角和与差的余弦公式的理解
1.下列结论中正确的是(　　)
A.对任意角α,β,有cos(α-β)=cos α-cos β
B.对任意角α,β,有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.存在角α,β,使cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立
D.不存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β成立
2.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值可能是(　　)
A.α=β=90°　　　　B.α=130°,β=40°
C.α=18°,β=72°　　　　D.α=140°,β=40°
3.(2022江苏宿迁期中)cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α等于(　　)
A.sin(2α-β)　　　　B.cos(2α-β)　　　　
C.cos β　　　　D.-cos β
题组二　给角求值问题
4.(2024四川仁寿一中月考)cos 105°等于(　　)
A.　　　　
C.-
5.(2024江西南昌第十中学月考)cos 69°cos 24°+sin 111°sin 24°=(　　)
A.-　　　　
C.-
6.计算的结果为(　　)
A.1　　　　B.　　　　 C.　　　　D.2
7.(1)求sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值;
(2)求cos 15°+sin 15°的值.
题组三　给值求值问题
8.(2024贵州贵阳联考)已知锐角θ的终边过点(2,1),则cos=(　　)
A.-　　　　
C.-
9.(多选题)(2024广东佛山期中联考)已知sin α=,α∈,则下列结论正确的是(　　)
A.cos α=-　　　　
B.tan α=-
C.cos　　　　
D.cos
10.(2022湖北部分普通高中联合体联考)已知α,β为第四象限角,且满足cos α=,则cos β的值为(　　)
A.
11.(2024江西南昌外国语学校月考)已知cos,α,β∈,则cos(α+β)=(　　)
A.
12.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　)
A.　　　　
C.或
13.(2024江西多校教学质量检测)《周髀算经》中给出了弦图,所谓的弦图(如图)是一个由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,且小正方形与正方形的面积之比为1∶25,则cos(α-β)的值为　　　　.
题组四　给值求角问题
14.(2022广西桂林奎光学校期中)若cos αcos β=-sin αsin β,且α∈,β∈,则α-β等于(　　)
A.-
15.(2024江西南昌第二中学月考)已知α、β都是锐角,且cos α=,
cos β=,则α+β=(　　)
A.或或
16.(2024吉林长春东北师大附中模拟)已知cos 2α=-,α∈,β∈,则α-β=(　　)
A.或
17.(2024江苏南京六校联合体期中)已知cos α=,α∈.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
1.C　A,B显然不正确;当α=0时,有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立,故C正确;当α=,β=-时,cos(α+β)=cos α+cos β成立,故D不正确.故选C.
2.B　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有B选项符合.
3.C　cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos β.
4.D　cos 105°=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°·sin 45°=.
5.B　cos 69°cos 24°+sin 111°sin 24°=cos 69°cos 24°+sin 69°·
sin 24°=cos(69°-24°)=cos 45°=,故选B.
6.C　.故选C.
7.解析　(1)原式=sin(270°-25°)·sin(90°+35°)+sin(180°-25°)·sin 35°
=-cos 25°·cos 35°+sin 25°·sin 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.
(2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.
8.B　因为锐角θ的终边过点(2,1),
所以sin θ=,cos θ=,
所以cos=cos θcos -sin θsin (cos θ-sin θ)=.
9.ABC　由题意得cos α=-,tan α=,
所以cos,
cos.故选ABC.
10.A　因为α,β是第四象限角,所以sin α<0,角α+β的终边在x轴下方,
又cos α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=-,
sin(α+β)=-,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
11.D　∵α,β∈,∴α+∈,β-∈,∴sin<0,
∴sin,
sin,
∴cos(α+β)=cos
=cos
=.故选D.
12.A　因为A,B,C为△ABC的内角,
所以A,B,C∈(0,π).
因为cos B=,所以sin B=,则sin A因为sin A=,所以cos A=,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=sin Asin B-cos Acos B=.
13.答案　
解析　设大正方形的边长为1,由小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,得小正方形的边长为,则cos α-sin α=①,sin β-cos β=②.
由题图可得cos α=sin β,sin α=cos β,
①×②可得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),
解得cos(α-β)=.
14.A　因为cos αcos β=-sin αsin β,所以cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=,
又α∈,β∈,所以α-β∈(-π,0),
所以α-β=-.
15.B　由题意得sin α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
又α+β∈(0,π),∴α+β=.故选B.
16.B　因为α∈,β∈,
所以2α∈[0,π],α+β∈,α-β∈[0,π],
所以sin 2α=,
cos(α+β)=,
故cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=,
又因为α-β∈[0,π],所以α-β=.
17.解析　(1)由题意可得sin α=-,
∴cos=cos αcos +sin αsin .
(2)由α∈,β∈,可得α+β∈,
∴cos(α+β)=,
则cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=,
∵β∈,∴β=.
方法总结　利用两角和与差的余弦公式解决“给值求值”“给值求角”问题的具体策略:
(1)当已知三角函数值的角有两个时,所求角一般表示为这两个角的和或差的形式;
(2)当已知三角函数值的角只有一个时,应着眼于所求角与该角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角转化为已知角.
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