2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.2　复数的乘法与除法????2.3　复数乘法几何意义初探

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2025北师大版高中数学必修第二册
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
题组一　复数的乘、除法运算
1.(2024江西九江多校联考)已知a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)+i为纯虚数,则a=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-2　　　　D.2
2.(2023辽宁凌源开学抽测)若=2-yi(x,y∈R,i为虚数单位),则x-y=(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.-4　　　　D.-2
3.(多选题)(2024江西南昌期末调研)已知复数z满足zi=4-z,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为-2i　　　　B.|z|=2
C.z2为纯虚数　　　　 D.=-2+2i
4.(多选题)(2024江西南昌外国语学校月考)下列关于非零复数z1,z2的结论正确的是(　　)
A.若z1,z2互为共轭复数,则z1·z2∈R
B.若z1·z2∈R,则z1,z2互为共轭复数
C.若z1,z2互为共轭复数,则=1
D.若=1,则z1,z2互为共轭复数
5.已知z1=5+10i,z2=3-4i,,则z=　　　　.
6.(2024江西南昌期末调研)已知复数z是关于x的方程x2+4x+5=0的一个根,且复数z在复平面内所对应的点位于第二象限.
(1)求z;
(2)若复数,z2在复平面内对应的向量分别为a,b,且(λa+b)⊥(a-b),求实数λ的值.
题组二　与in(n∈N)有关的计算
7.(2024河北邢台模拟)若z·(2+i)=3-i2 027,则z的虚部为(　　)
A.-1　　　　B.
8.(多选题)(2024江西重点中学协作体期末)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列属于集合M的元素的有(　　)
A.(1-i)(1+i)　　　　B.　　　　D.(1-i)2
9.已知i为虚数单位,则下列与i相等的是(　　)
A.　　　　B.(1-i)(1+i)
C.　　　　D.i+i2+i3+i4+…+i2 021
10.(2024湖南衡阳三校联考)若复数z=,则z+z2+z3+…+z99=　 　.
题组三　复数乘法的几何意义
11.在复平面内,若复数z1=3+4i对应的向量为,复数z2=-8+6i对应的向量为,则(　　)
A.将按逆时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
B.将按顺时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
C.将按逆时针方向旋转,再压缩为原来的得到
D.将按顺时针方向旋转,再压缩为原来的得到
能力提升练
题组一　复数的混合运算
1.(2024江苏启东中学月考)已知f(n)=(n∈N*),则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
2.(2024江苏连云港高级中学月考)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023的虚部为(　　)
A.-1 011　　　　B.-1 012　　　　
C.1 011　　　　D.1 012
3.(多选题)(2024江西师范大学附属中学月考)复数z满足z3=1,且z≠1,则(　　)
A.|z|=1　　　　
B.z2=
C.()2=-z
D.zn+zn+1+zn+2=0,n∈N*
4.(多选题)(2024广东广州期中)下列说法中正确的是(　　)
A.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i,则|z|=1
C.若3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)在复数集内的一个根,则n=26
D.若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为4
5.若复数z满足·,且·>0,则|z|=　　　.
6.(2024安徽六安一中期中)已知z是复数,z-i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z和|z|;
(2)复数z1=在复平面内对应的点在一次函数y=2x的图象上,求实数m的值.
题组二　复数范围内方程根的问题
7.(2022山东枣庄期末)设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个解,则(　　)
A.|z1-z2|=
C.z1+z2=1　　　　D.z1z2=1
8.(2023山东临沂蒙阴第一中学月考)已知复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R),其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数,求实数m的值;
(2)若m=3,z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,求实数a,b的值.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
1.C　由z=(a-2i)(1+i)+i=a+2+(a-1)i为纯虚数,得∴a=-2.
2.B　∵=2-yi,∴=2-yi,∴x-xi=4-2yi,∴x=4,y=2,∴x-y=2.
3.BC　因为zi=4-z,所以z==2-2i,
对于A,z的虚部为-2,故A错误;
对于B,|z|=,故B正确;
对于C,z2=(2-2i)2=-8i,为纯虚数,故C正确;
对于D,=2+2i,故D错误.
故选BC.
4.AC　对于A,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则z1·z2=a2+b2∈R,故A正确;
对于B,当z1=2+2i,z2=1-i时,z1·z2=4∈R,此时,z1,z2不互为共轭复数,故B错误;
对于C,由z1,z2互为共轭复数,得|z1|=|z2|,从而=1,即=1,故C正确;
对于D,当z1=2+i,z2=1-2i时,|z1|=|z2|,即=1,此时,z1,z2不互为共轭复数,故D错误.
故选AC.
5.答案　5-i
解析　∵,
∴z=i.
6.解析　(1)因为x2+4x+5=0,所以(x+2)2=-1,即(x+2)2=i2,所以x=-2+i或x=-2-i,
因为复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,
所以z=-2+i.
(2)由(1)知z=-2+i,所以=-2-i,z2=3-4i,
所以a=(-2,-1),b=(3,-4),
所以λa+b=(-2λ+3,-λ-4),a-b=(-5,3),
因为(λa+b)⊥(a-b),所以(λa+b)·(a-b)=0,
即(-2λ+3)×(-5)+(-λ-4)×3=0,
所以10λ-15-3λ-12=0,解得λ=.
7.D　因为i2 027=(i4)506·i3=-i,
所以z·(2+i)=3-i2 027=3+i,
所以z=i,
所以z的虚部为-.故选D.
方法技巧　计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,有如下性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+1=-i,n∈N.
8.BC　依题意得M={1,i,-1,-i}.
(1-i)(1+i)=1+1=2 M,A错误;
=-i∈M,B正确;
=i∈M,C正确;
(1-i)2=-2i M,D错误.故选BC.
9.D　=-i,故A不符合;
(1-i)(1+i)=12-i2=1+1=2,故B不符合;
=-i,故C不符合;
i+i2+i3+i4+…+i2 021=[i+(-1)+(-i)+1]+…+[i+(-1)+(-i)+1]+i=i,故D符合.
故选D.
10.答案　-1
解析　z==i,因为i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i+i2+i3+i4=0,
所以z+z2+z3+…+z99
=i+i2+i3+i4+…+i93+i94+i95+i96+i97+i98+i99
=(i+i2+i3+i4)+…+(i93+i94+i95+i96)+i97+i98+i99
=i97+i98+i99
=i+i2+i3=-1.
11.A　因为-8+6i=(3+4i)·2i,
所以z2=z1·2i,
所以将按逆时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到.
能力提升练
1.B　f(n)==2×(-1)n,∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,-2},∴元素的个数为2.
2.B　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i)
==-1 012-1 012i,
其虚部为-1 012.故选B.
3.ABD　由z3=1得(z-1)(z2+z+1)=0,则z2+z+1=0,解得z=-i,所以|z|=1,zn+zn+1+zn+2=zn(1+z+z2)=0,故A,D正确.
当z=-i时,z2=)2=z,当z=-i时,z2==z,故B正确,C错误.
故选ABD.
4.BCD　对于A,z=i,则i,其在复平面内对应的点为,位于第四象限,A错误.
对于B,z=i,
所以|z|==1,B正确.
对于C,因为3+2i是方程2x2+mx+n=0的一个复数根,所以方程的另一个复数根为3-2i,则=(3+2i)·(3-2i)=13,解得n=26,C正确.
对于D,由|z|=1得复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z-3-4i|表示圆上的点到点(3,4)的距离,则|z-3-4i|min=-1=4,D正确.
故选BCD.
5.答案　或
解析　由·,
得z·,即|z|2+,
可得|z|=或|z|=.
又·>0,
∴z·>2,即|z|2+>2,
∴|z|=或|z|=都满足题意.
6.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z-i=a+(b-1)i,因为z-i为实数,所以b-1=0,即b=1,所以z=a+i,
则,
因为为纯虚数,所以2-2a=0,且a+4≠0,
解得a=1,所以z=1+i,故|z|=.
(2)由(1)知,z1=i,则z1在复平面内对应的点为,
因为该点在一次函数y=2x的图象上,
所以=2·,解得m=3.
7.D　由方程x2+x+1=0得Δ=1-4=-3<0,
所以x=,不妨设z1=-i.
则|z1-z2|=|=1,z1+z2=-1,z1z2=-i·=1.
故选D.
方法技巧　如果实系数一元二次方程有虚根,那么(1)虚根以共轭复数的形式成对出现;(2)根与系数的关系仍然成立.
8.解析　(1)因为复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,
所以解得m=-1.
(2)当m=3时,z=(m+1)(m-2)+(m-2)i=4+i.
因为z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,所以z的共轭复数=4-i也是实系数方程x2+ax+b=0的根,
所以(4+i)+(4-i)=-a,(4+i)(4-i)=b,
解得a=-8,b=17.
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