2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
题组一　给角求值问题
1.(2024福建漳州期末)sin 102°cos 48°+cos 78°·cos 138°=(　　)
A.-
2.(2024江苏南通海门中学月考)化简:=(　　)
A.-
3.(2023湖北荆州沙市中学月考)已知α+β=-,则(1-tan α)·(1-tan β)=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
4.计算:=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-
题组二　给值求值问题
5.设向量a=(2tan α,tan β),向量b=(4,-3),且a+b=0,则tan(α+β)等于(　　)
A.
6.(多选题)(2024江西新干中学期末)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两个不相等的实数根,则下列结论正确的是(　　)
A.tan α+tan β=-k　　　　B.tan(α+β)=-k
C.k>2　　　　D.k+tan α≥4
7.(2023宁夏银川期末)已知α∈,β∈,sin β=,则sin α=(　　)
A.
8.(多选题)(2024江苏扬中二中月考)已知α,β∈,则(　　)
A.sin(α+β)=
C.sin 2α=
题组三　给值求角问题
9.(2024山西太原期末)已知α,β∈,且tan α=3,tan β=2,则α+β=(　　)
A.
10.(2024江西丰城中学期末)已知α,β为三角形的两个内角,cos α=,
,则β=(　　)
A.
11.已知α∈,β∈,cos β=-,则α= 　　　.
题组四　两角和与差的正切公式的变形及其应用
12.若tan α+tan=3,则tan αtan=(　　)
A.1-
13.(2024北京牛栏山一中月考)若α+β=,则tan α+tan β+tan αtan β的值为　　　　.
14.(2023重庆十八中期末)化简:
=　　　　.
能力提升练
题组　两角和与差的三角函数公式的综合应用
1.已知α∈=-3,则sin α=(　　)
A.
2.(2024山东滨州期末)若0<α<,则=(　　)
A.
3.(2024江西南昌第二中学月考)若,且sin -cos ,则tan=(　　)
A.　　　　D.-3
4.(2024天津北辰期末)若sin 2α=,且α∈,β∈,则α+β的值是(　　)
A.
或或
5.(2022福建师大附中期中)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),P(8,6),将向量按顺时针方向旋转后,得到向量,则点Q的坐标是　　　　.
6.(2023北京东城期末)如图,单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0).角α的始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边经过点A5,则cos α=　　　　;若sin α=sin,则角α的终边与单位圆交于点　　　　.(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点)
7.(2024江西多校教学质量检测)已知α∈,且3sin α+cos α=.
(1)求tan α和的值;
(2)若β∈,且cos β=,求α-β的值.
8.(2024宁夏银川期中联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(cos A,sin B),且m∥n.
(1)求角A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积;
(3)若△ABC为锐角三角形,求cos A+cos B+cos C的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
1.C　sin 102°cos 48°+cos 78°cos 138°=sin 78°cos 48°-cos 78°·
sin 48°=sin(78°-48°)=sin 30°=.故选C.
2.D　=tan .
3.D　因为α+β=-,
所以tan(α+β)==-1,
所以tan αtan β-(tan α+tan β)=1,
所以(1-tan α)·(1-tan β)=tan αtan β-(tan α+tan β)+1=2.
4.D　
=
=.
5.A　由a+b=0得2tan α+4=0,tan β-3=0,
所以tan α=-2,tan β=3,
所以tan(α+β)=.
6.BCD　由已知得tan α+tan β=k>0,tan α·tan β=2,则tan(α+β)==-k,
∵tan α+tan β≥2,当且仅当tan α=tan β时,等号成立,
∴k≥2,
又0<α<β<,∴k>2,故A错误,B,C正确;
k+tan α=2tan α+tan β≥2=4,当且仅当2tan α=tan β时,等号成立,故D正确,
故选BCD.
7.C　由β∈,sin β=,可得cos β=-
.
由α∈,β∈,可得α+β∈,
又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-,
则sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=.
8.ACD　由α,β∈得α+β∈(0,π),故sin(α+β)=,故A正确;
由α,β∈得α-β∈,故cos(α-β)=,故B错误;
2α=(α+β)+(α-β),则sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,故C正确;
,则,故D正确.故选ACD.
9.C　因为tan α=3,tan β=2,所以tan(α+β)==-1,
因为α,β∈,所以0<α+β<π,因此α+β=.
故选C.
10.B　∵α,β为三角形的两个内角,且cos α=,
∴<α<,∴sin α=,
又sin(α+β)=<α<α+β,
∴<α+β<π,
则cos(α+β)=-,
故sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=,
∵α>,α+β<π,∴β=.
11.答案　
解析　因为β∈,cos β=-,所以sin β=.因为α∈,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=
-,于是sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=,因为α∈,所以α=.
12.A　解法一:tan α+tan
=tan
=tan
==3,
∴tan αtan.
解法二:tan
=,
所以,
所以tan αtan.
13.答案　
解析　因为α+β=,则tan(α+β)=tan ,
即tan(α+β)=,
所以tan α+tan β=(1-tan αtan β)
所以tan α+tan β+tan αtan β=.
14.答案　-
解析　原式
=
=
=-tan 30°=-.
能力提升练
1.A　tan α=tan<0,所以α∈,
因为
所以sin α=.
2.C　∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π),
又cos(α+β)=,
∴sin(α+β)=,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
则.故选C.
3.C　因为sin -cos ,所以=1-2sin cos ,则sin cos ,
又sin cos ,
所以,化简得2tan2+5tan +2=0,解得tan =-2或tan ,
又因为<α<,所以,所以tan >1,所以tan =-2,
所以tan.
故选C.
4.B　由α∈,得2α∈,又sin 2α=,
所以2α∈,所以cos 2α=-,α∈,又β∈,所以β+α∈,β-α∈,
又sin(β-α)=,所以β-α∈,
则cos(β-α)=-,
所以cos(α+β)=cos(2α+β-α)=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-,
又α+β∈,所以α+β=.故选B.
5.答案　(-)
解析　设射线OP为角θ的终边,则cos θ=,sin θ=,且||=10,
由题意可知,射线OQ为角θ-的终边,
则coscos θ+sin θ=-,
sinsin θ-cos θ=-,
所以点Q的坐标为,
即Q(-).
6.答案　-;A3,A9
解析　∵,角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点A5,
∴α=(5-1)×+2kπ=+2kπ,k∈Z,
∴cos α=cos,k∈Z.
若sin α=sin,
则sin α=sin αcos+cos αsinsin α+cos α,
∴sin α=cos α,
∴tan α=,∴α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.
由=(3-1)×=(9-1)×,知满足条件的点为A3,A9.
7.解析　(1)由
解得或
又α∈,所以sin α=,cos α=,
所以tan α=,
所以
=
=.
(2)因为β∈,且cos β=,
所以sin β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
由α∈,β∈,得α-β∈,
所以α-β=-.
8.解析　(1)由题意得asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A-cos A=0,所以tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2c,解得c=3或c=
-1(舍),
所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×3×.
(3)由(1)得B+C=,设B=+α,C=-α,
因为B,C∈,所以α∈,
则cos A+cos B+cos C=+2cos ·
cos α=+cos α,
因为α∈,所以cos α∈,
所以cos A+cos B+cos C的取值范围是.
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