2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.3　三角函数的叠加及其应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
2.3　三角函数的叠加及其应用
基础过关练
题组一　利用三角函数的叠加求值
1.(2024河北张家口联考)已知3sin x-cos x=sin(x+φ),则3sin2φ-2sin φcos φ-2=(　　)
A.
2.(2023陕西西安鄠邑期末)等式sin α+cos α=有意义,则m的取值范围是(　　)
A. C.
3.(2024江西赣州期末)计算:cos 75°-cos 15°=　　　　.
4.(2024四川绵阳南山中学月考)若x∈0,,sin x+cos x=,则tan=　　　　.
5.(2024江西九江期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴正半轴的交点为A,点B,C在单位圆上,且满足∠AOB=α,∠AOC=β,α,β∈[0,π].
(1)若B,求cos的值;
(2)若α=,求·的取值范围.
题组二　三角函数的叠加在函数中的应用
6.若函数f(x)=3sin ωx-3cos ωx(ω>0)的最小正周期为4π,则ω的值为(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.
7.(2024福建福州一中月考)函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象的一条对称轴是直线x=-,则a的值是(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.±1
8.(2024江西南昌第十九中学等校期末调研)已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ=(　　)
A.
9.(2024广东深圳期末)已知函数f(x)=sin-cos 2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(3)求函数f(x)在上的单调区间.
能力提升练
题组　三角函数叠加的综合应用
1.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是(　　)
A.
C.
2.(多选题)(2024河北献县实验中学月考)已知向量a=(cos θ,sin θ),
b=(-3,4),则(　　)
A.若a∥b,则tan θ=-
B.若a⊥b,则sin θ=
C.|a-b|的最大值为5
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2
3.已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0)在[0,π]上的值域为,则实数ω的取值范围是　　　　.
4.(2022上海华东师范大学第二附属中学月考)若等式cos θ-m·
sin θ=2有意义,则实数m的取值范围为　　　 　　.
5.(2024江西多校教学质量检测)如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=AB=1,且AB⊥AD,点P是以A为圆心,AD长为半径的圆上的一点,若(x,y∈R),则3x+y的最小值为　　　　.
6.(2024江西重点中学协作体期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点M为单位圆上的一点,且∠AOM=,点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b).
(1)当θ=时,求a+b的值;
(2)若θ∈,求b-a的取值范围.
7.(2022福建福州期中)已知向量a=,b=,设f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的不等式f(x)-m≤0在上恒成立,求m的取值范围.
4答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.3　三角函数的叠加及其应用
基础过关练
1.D　3sin x-cos x=×(sin x·
cos φ+cos xsin φ)=sin(x+φ),
所以cos φ=,sin φ=-,
所以3sin2φ-2sin φcos φ-2=3×-2×-×.
2.C　sin α+cos α=2=2sinα+∈[-2,2],则≤2,
即|4m-6|≤2|4-m|①,且m≠4,
对①式化简,得|2m-3|≤|4-m|,两边平方得4m2-12m+9≤m2-8m+16,即3m2-4m-7≤0,
解得-1≤m≤.
3.答案　-
解析　cos 75°-cos 15°=cos(90°-15°)-cos 15°=sin 15°-cos 15°=sin(15°-45°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.
4.答案　3
解析　sin x+cos x=,
故sin,
由x∈,得x+∈,
故cos,
所以tan=3.
5.解析　(1)∵B,∴sin α=,cos α=-,
∴cos=cos αcos +sin αsin .
(2)·)·(···,
∵||=1,∠AOB=,∠AOC=β,
∴·-cos β-cos+1
=-cos β-cos β-sin β=,
∵β∈[0,π],∴β+∈,
∴sinβ+∈,
∴·∈.
6.C　f(x)=3sin ωx-3cos ωx
=6,
故其最小正周期T==4π,故ω=.
7.A　根据题意得f(x)=sin x-acos x=sin(x+φ),
其中sin φ=,cos φ=,函数f(x)的最大值为,因为f(x)图象的一条对称轴是直线x=-,所以,解得a=1(二重根).
8.D　f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin,
因为f(x)为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=-tan,
故选D.
9.解析　(1)f(x)=sin-cos 2x=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知,f(x)=,由2x-=kπ-,k∈Z,得x=,k∈Z,
所以f(x)图象的对称轴方程是x=(k∈Z).
(3)由(1)知,f(x)=,
当x∈时,2x-∈,
由-≤2x-≤,解得0≤x≤,
由≤2x-≤,解得≤x≤,
所以函数f(x)在上的单调递增区间是,单调递减区间是.
能力提升练
1.D　f(x)=sin x+cos x=,
因为x∈[a,b],所以x+∈,
令t=x+,则t∈,结合函数y=sin t在一个周期内的图象可知,(b-a)max=,所以b-a的取值范围是.
2.AD　因为a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),
所以|a|==5.
对于A,若a∥b,则4cos θ=-3sin θ,所以tan θ=-,故A正确;
对于B,若a⊥b,则a·b=-3cos θ+4sin θ=0,
所以tan θ=,
由解得或
故B错误;
对于C,|a-b|=
=,
其中tan φ=,
当sin(θ-φ)=-1时,|a-b|取得最大值6,故C错误;
对于D,若a·(a-b)=0,则a2-a·b=0,
即1+3cos θ-4sin θ=0,所以4sin θ-3cos θ=1,
所以|a-b|=
=,故D正确.故选AD.
3.答案　
解析　函数f(x)=sin+cos ωx=sin ωx+ =,
当x∈[0,π]时,ωx+∈,
∵f(x)在[0,π]上的值域为,
∴sin∈,
∴≤ωπ+≤,∴≤ω≤.
故实数ω的取值范围为.
4.答案　(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析　由cos θ-msin θ=2,
得=2,
设=cos φ,=sin φ,
则(cos φcos θ-sin φsin θ)=2,
所以cos(θ+φ)=2,即cos(θ+φ)=,
因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以-1≤≤1,
所以≥2,即m2≥1,解得m≤-1或m≥1.
所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
5.答案　-
解析　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则B(2,0),C(1,1),A(0,0),设P(cos θ,sin θ),
则=(cos θ,sin θ),=(1,1),
又,
所以(cos θ,sin θ)=x(1,1)+y(2,0)=(x+2y,x),
即x+2y=cos θ,x=sin θ,则y=,
所以3x+y=3sin θ+sin θ+cos θ=sin(θ+φ),
其中cos φ=,sin φ=,
所以(3x+y)min=-,此时sin(θ+φ)=-1,
故3x+y的最小值为-.
6.解析　(1)由题意得M,Ncos+θ,sin+θ,
当θ=时,N,即a=cos π,b=sin π,
∴a+b=cos π+sin π=-
=-sin π=-.
(2)由(1)知a=cos,
则b-a=sin,
∵θ∈,∴θ+∈,
∴-≤sin≤1,则-≤≤,
故b-a的取值范围为.
7.解析　(1)f(x)=a·b=sin 2x-
=sin 2x-
=sin 2x-cos 2x-sin 2x
=sin 2x-cos 2x=.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为关于x的不等式f(x)-m≤0在上恒成立,所以m≥f(x)max,x∈.
易知f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)max=f ,
所以m≥.
故m的取值范围是.
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