2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--2.4　积化和差与和差化积公式

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2025北师大版高中数学必修第二册
2.4　积化和差与和差化积公式
基础过关练
题组一　对积化和差与和差化积公式的理解
1.下列各式中不正确的是(　　)
A.sin α+sin β=2sin
B.cos α+cos β=2cos
C.sin α-sin β=2cos
D.cos α-cos β=2sin
2.sin化成和差的形式为(　　)
A.sin(α-β)
B.sin(α-β)
C.cos(α-β)
D.cos(α-β)
题组二　利用公式化简、求值、证明
3.(2023辽宁抚顺重点高中六校协作体期中)2sin sin -sin +
cos =(　　)
A.0　　　 　B.sin 　　　　
C.2cos 　　　　D.2sin
4.(2023江西鹰潭一中期中)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是(　　)
A.
5.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学阶段练习)sin 20°+sin 40°+
sin 60°-sin 80°=(　　)
A.　　　　D.1
6.若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为(　　)
A.2　　　　B.
7.(2024山东部分学校调研)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)的值为(　　)
A.-
8.(2023江苏淮安期末)若sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ),0°<θ<180°,则θ=(　　)
A.50°　　　　B.60°　　　　C.70°　　　　D.80°
9.(多选题)(2022福建龙岩一中月考)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则下列判断正确的是(　　)
A.sin 2α=　　　　
B.cos(α-β)=
C.cos αcos β=　　　　
D.tan αtan β=
10.(2024江西萍乡期中联考)求值:=　　　　.
11.(2023江西师大附中期中)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+
cos 3x+cos 5x=b,则tan 3x=　　　　.(结果用a,b表示)
12.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°;
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°.
13.已知A,B,C为△ABC的内角,求证:sin A+sin B+sin C=4cos cos cos .
题组三　利用公式研究函数的性质
14.(2024山东临沂三中月考)函数y=sin的最大值是(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.
15.(2023福建师范大学附属中学月考)函数f(x)=sin是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
16.(多选题)函数f(x)=sin的图象的对称轴方程不可能为(　　)
A.x=-　　　　C.x=
17.(多选题)(2024福建莆田期末)已知函数f(x)=sin 3x-sin 2x,则(　　)
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π
18.在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.4　积化和差与和差化积公式
基础过关练
1.C　
2.B　sinsin+α++β+sin+α--β=sin+α+β+sin(α-β)=cos(α+β)+sin(α-β).
3.C　2sin sin -sin +cos +cos
=cos -cos -cos +cos +cos =2cos .
4.A　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]
=sin 50°-cos 40°
=.故选A.
5.C　sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-
sin 80°=2××sin 80°+-sin 80°=.故选C.
6.A　由已知得2sin cos ,
2cos cos ,
两式相除得tan =2.
7.A　由和差化积公式,得cos α+cos β=2cos cos ①,sin α-sin β=2cos sin ②,
,得tan ,
所以tan(α-β)=tan.
8.D　sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ)=cos [10°-(20°-θ)]+cos[10°+(20°-θ)]=cos(θ-10°)+cos(30°-θ)=cos(θ-10°)+cos θ+sin θ,
则cos(θ-10°)=-cos θ+sin θ=cos(θ-150°),
又∵0°<θ<180°,
∴-10°<θ-10°<170°,-150°<θ-150°<30°,
显然θ-10°=θ-150°不成立,
∴θ-10°=-(θ-150°),解得θ=80°.
9.AC　因为cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,所以sin(α+β)=,sin 2α=,故A正确;
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=,故B错误;
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=,故C正确;
sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=,
所以tan αtan β=,故D错误.
10.答案　2
解析　∵cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
=cos 10°+sin 10°,2cos 10°cos 20°=cos(20°+10°)+cos(20°-10°)
=cos 30°+cos 10°=+cos 10°,
∴.
11.答案　
解析　易得sin 5x+sin x=2sin cos
=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2cos cos =2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
且cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故=tan 3x,
故tan 3x=.
12.解析　(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°
=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°
=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°
=sin 120°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°
=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°
=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°
=-cos 60°=-.
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°
=-2sin sin sin 20°
=-2sin 60°sin(-20°)-sin 20°
=sin 20°-sin 20°=0.
13.证明　因为A+B+C=π,
所以C=π-(A+B),,
所以sin A+sin B+sin C=2sin cos +sin(A+B)
=2sin cos cos
=2sin =2sin ·2cos cos
=2cos ·2cos cos =4cos cos cos .
故等式成立.
14.B　y=sin=2sin ·cos
=2sin xcos =sin x≤1,
所以函数y的最大值为1.
15.D　f(x)=sin
=sin
=sin+1=,
所以f(x)的最小正周期T==π,
由函数奇偶性的定义知,f(x)为非奇非偶函数.
故选D.
16.CD　f(x)=sin
=sin
=2cos sin
=,
令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,
所以f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z),
因此x=和x=不可能是f(x)的图象的对称轴方程.
17.ABD　对于A,f(x-2π)=sin(3x-6π)-sin(2x-4π)=sin 3x-sin 2x=f(x),故A正确;
对于B,f(2π-x)=sin(6π-3x)-sin(4π-2x)=-sin 3x+sin 2x
=-(sin 3x-sin 2x)=-f(x),故B正确;
对于C,若f(x)的最大值为2,则sin 3x=1,sin 2x=-1,当3x=2kπ+,k∈Z时,x=,k∈Z,sin 2x≠-1,故C不正确;
对于D,f(x)=sin 3x-sin 2x=2cos sin =2cos sin ,
令f(x)=0,得cos sin =0,所以sin =0或cos =0,
又x∈(0,2π),所以∈(0,5π),
所以或或或或,
解得x=或x=或x=π或x=或x=,即f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π,故D正确.故选ABD.
18.解析　因为B=30°,所以A+C=150°,因此cos A·sin C=sin 150°-sin(A-C),
由A+C=150°,得0°因此-150°于是-1≤sin(A-C)≤1,-≤sin(A-C)≤,
故cos Asin C的取值范围是.
方法总结　与三角形内角有关的三角函数式的取值范围问题,常利用函数思想将其转化为相应函数的值域问题进行求解.
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