2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--3.1 3.2 第1课时　基本事实1~3

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2025北师大版高中数学必修第二册
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
题组一　点、直线、平面之间的位置关系的三种语言转换
1.如图所示,下列用符号语言表述正确的是(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
2.(2023上海市西中学期中)点A∈平面α,点A∈平面β,平面α∩平面β=直线l,则点A　　　　直线l.(用集合符号表示)
题组二　基本事实1,2,3的应用
3.(2024海南中学期中)有下列四个判断:①两条相交直线确定一个平面;②两条平行直线确定一个平面;③三个点确定一个平面;④一条直线和一点确定一个平面.正确判断的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
4.(2023上海位育中学期末)下列说法正确的是(　　)
A.四边形一定是平面图形
B.三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面
C.梯形不一定是平面图形
D.平面α和平面β一定有交线
5.已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有(　　)
A.1条或2条　　　　B.2条或3条
C.1条或3条　　　　D.1条或2条或3条
6.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　)
A.点A　　　　B.点B
C.点C但不过点M　　　　D.点C和点M
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC,BD交于点O,判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)由点A,O,C可以确定一个平面;
(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
题组三　共点、共线、共面问题
8.(2024山东菏泽鄄城第一中学月考)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩GH=P,则点P(　　)
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.既在直线AC上也在直线BD上
D.既不在直线AC上也不在直线BD上
9.(多选题)(2024山西大同第一中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线　　　　
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面　　　　
D.B,B1,O,M四点共面
10.已知三条直线a、b、c互相平行,且分别与l相交于A、B、C三点.证明:四条直线a、b、c、l必共面.
11.(2023广东广州玉岩中学期中)如图,已知正四棱柱ABCP-A'B'C'P',点Q,R分别在棱A'B',B'C'上.
(1)请在正四棱柱ABCP-A'B'C'P'中画出经过P,Q,R三点的截面(不用证明);
(2)若Q,R分别为A'B',B'C'的中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1,AA1的中点.
(1)画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由;
(2)设H为直线B1D与平面BED1F的交点,求证:B,H,D1三点共线.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　基本事实1~3
基础过关练
1.A　
2.答案　∈
解析　因为点A∈平面α,点A∈平面β,
所以点A∈平面α∩平面β,
又平面α∩平面β=直线l,
故点A∈直线l.
3.B　两条相交直线和两条平行直线均能确定一个平面,①②正确;在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误;直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确判断的个数为2.
故选B.
4.B　 四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A错误;易知B正确;梯形中,有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形,故C错误;若平面α和平面β平行,则平面α和平面β没有交线,故D错误.
故选B.
5.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选D.
6.D　对于A,B,易得A,B β,故A,B不在γ与β的交线上,故A,B错误;
对于C,D,因为过A,B,C三点的平面记作γ,所以AB 平面γ,C∈γ.因为直线AB∩l=M,所以M∈AB,则M∈γ,又C∈γ,所以MC γ.
因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l β,又C∈β,所以MC β,所以β∩γ=MC,
故γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确.
故选D.
7.解析　(1)不正确.因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面.
(2)正确.因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面.又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
8.B　如图,
∵EF 平面ABC,GH 平面ACD,EF∩GH=P,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD,
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,即点P一定在直线AC上.故选B.
9.ABC　连接A1C1,AC,AO,因为O为B1D1的中点,所以A1C1∩B1D1=O,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AO,
因为A1C∩平面AB1D1=M,A1C 平面AA1C1C,所以点M在平面AA1C1C和平面AB1D1的交线上,
即M∈AO,A,M,O三点共线,故A正确;
因为A,M,O三点共线,所以A,M,O,A1四点共面,A,M,O,C四点共面,故B,C正确;
取AC的中点O1,连接OO1,交A1C于点E,则E为A1C的中点,易得△A1OM∽△CAM,
所以,即M为A1C上靠近A1的三等分点,连接BD,因为平面BB1D1D∩A1C=E,所以点M 平面BB1D1D,因为O,B1,B不共线,O,B1,B∈平面BB1D1D,所以B,B1,O,M四点不共面,故D错误.
故选ABC.
10.证明　证法一(平面重合法):∵a∥b,∴a、b确定一个平面α,
又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l α,
同理b、c确定平面β,且l β.
又b∩l=B,∴b与l确定一个平面γ.
∴α、β、γ共有两相交直线b、l,从而α、β、γ为同一平面,∴a、b、c、l四线共面.
证法二(反证法):∵a∥b,∴a、b确定一个平面α,
又a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,即l α.
假设c α,过点C在平面α内作c'∥b,则c∩c'=C,
又c∥b,∴c'∥c,这与c∩c'=C矛盾,∴c α,
∴a、b、c、l四线共面.
方法总结
证明共面问题常用的方法有三种
(1)纳入平面法:先用部分点、线确定一个平面,再证明其余点、线在此平面内;
(2)辅助平面法(平面重合法):分别用部分点、线确定两个(或多个)平面,再证明这些平面重合；
(3)反证法.
11.解析　(1)作直线QR,分别交P'A',P'C'的延长线于点M,N,连接PM交AA'于点S,连接PN交CC'于点T,连接SQ,TR,如图1所示,五边形PSQRT即为所求.
(2)证明:如图2,在正四棱柱中,BC∥B'C'.
因为R为B'C'的中点,所以BB'与CR必相交于一点,设该点为O,易知,
同理,BB'与AQ也相交于一点,设该点为O',易知,所以O,O'重合,所以AQ,CR,BB'三线共点.
　
12.解析　(1)如图所示,延长D1F交DA的延长线于点P,连接PB,则直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
理由如下:∵P∈AD,P∈D1F,DA 平面ABCD,D1F 平面BED1F,
∴P∈平面ABCD,P∈平面BED1F,
即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点,
∴直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.
(2)证明:连接BD,B1D1,
∵BB1 DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形.
∵H为直线B1D与平面BED1F的交点,∴H∈B1D,
又∵B1D 平面BB1D1D,
∴H∈平面BB1D1D,
又∵H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1,∴H∈BD1,
∴B,H,D1三点共线.
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