2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--3.1　二倍角公式

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2025北师大版高中数学必修第二册
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
题组一　二倍角的正弦公式
1.已知点P是角α的终边与单位圆的交点,则sin 2α=(　　)
A.
2.化简:=(　　)
A.sin 2-cos 2　　　　B.cos 2-sin 2
C.cos 2　　　　 D.-cos 2
3.(2024江苏无锡期末)计算:sin 140°(tan 10°-)=(　　)
A.-　　　　
C.-1　　　 　D.-
4.已知cos,x∈,则sin 2x=　　　　.
题组二　二倍角的余弦公式
5.(2023河北邢台期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-2,3),则cos 2α=(　　)
A.
6.(2024江西师范大学附属中学素养测试)设a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且a∥b,则cos 2θ=(　　)
A.-
7.(2024江西南昌期末调研)在△ABC中,若AB=AC,则cos A+cos B的取值范围为(　　)
A.
8.(2024江苏镇江调研)已知sin,则sin=　　　　.
题组三　二倍角的正切公式
9.(2023北京清华大学附中永丰学校期中)已知tan 2α=,那么tan α =(　　)
A.-　　　　C.-2　　　　D.-2或
10.(2023安徽黄山期末)已知,则tan 2α=(　　)
A.
11.(2024天津耀华中学期末)已知tan,则tan(α-2β)=(　　)
A.-　　　　
C.
12.已知α,β均为锐角,且tan α=7,cos β=,则α+2β=　　　　.
题组四　二倍角公式的综合应用
13.(2023湖北黄冈月考)已知sin ,cos ,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
14.(2023黑龙江哈尔滨第三中学校模拟)已知向量a=(-2,
cos α),b=(1,sin α),且a∥b,则=(　　)
A.
15.(2024福建福州一中月考)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示,即=2sin 18°,设θ为正五边形的一个内角,则=(　　)
A.　　　　
C.
16.(多选题)(2024江西多校教学质量检测)下列计算正确的是(　　)
A.sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=
B.=1
C.cos422.5°-sin422.5°=
D.sin215°+sin275°+sin 15°sin 75°=
17.(2024江西赣州期末)a=sin 84°-cos 84°,b=,则(　　)
A.bC.c18.(2022上海宝山中学期中)若关于x的方程a=cos 2x+sin x有实数解,则实数a的取值范围为　　　　.
19.(2024江西南昌期末调研)已知4sin α-3cos α=5.
(1)求sin α的值;
(2)求的值.
20.(2024江西宜丰中学月考)已知f(x)=cos2x-sin2x+2sin xcos x+1,求:
(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)-3≥m恒成立,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　给角求值问题
1.(多选题)(2024广东江门期末)下列计算结果正确的是(　　)
A.cos(-15°)=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=-
D.
2.(2023云南昆明期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数(约为0.618),该值也可用三角函数m=2sin 18°来表示,则=(　　)
A.2　　　　B.
3.(2024江苏连云港高级中学期中)计算:cos 40°×=　　　　.
题组二　条件求值问题
4.在平面直角坐标系中,角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则tan=(　　)
A.-　　　　D.0
5.(2023湖南岳阳期末)已知sin(π-x)=2sin,则3sin 2x+
4cos 2x=(　　)
A.
6.(2023吉林长春东北师大附中期末)已知θ∈,且cos θ-sin θ=
-,则等于(　　)
A.-
7.(2024江苏邗江中学期中)若2α∈,tan α=, 则sin=(　　)
A.-　　　　
C.-
8.(2024江西景德镇期末质量检测)已知sin α+cos α=
,,α∈,β∈,则cos(α+2β)的值为(　　)
A.-
9.若tan α=(1-tan 20°)·sin 80°,则下列可能是α的是(　　)
A.20°　　　　B.40°　　　　C.50°　　　　D.70°
10.(2022四川宜宾期末)已知cos(α+β)·cos,则sin=　　　　.
11.(2023湖北十七所重点中学联考)已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4满足对任意θ∈R, f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ,则a1-a2+a3-a4=　　　　.(用数字作答)
12.(2024重庆南开中学期末)已知tan α=,cos β=-,α,β∈(0,π).
(1)求α-β的值;
(2)若sin(θ+α-β)=-,θ∈,求cos的值.
题组三　二倍角公式的综合应用
13.(2023江苏连云港调研)若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则常数m的值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
14.(多选题)(2024江西九江期末)将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得函数图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=sin2的图象,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的值域为[0,1]
C. f(x)的图象关于直线x=-对称
D. f(x)在上单调递增
15.(2022河南信阳期末)“分离参数法”是数学中常用的解题方法,例如,已知含参数λ的方程f(x,λ)=0有解的问题,可分离出参数λ,将方程化为F(λ)=g(x),根据g(x)的值域,求出F(λ)的范围,进而求出λ的取值范围.已知x∈,若关于x的方程(λ+1)sin x+cos 2x+2=0有解,则实数λ的取值范围为　　　　.
16.(2022湖北华中师大一附中期中)已知函数f(x)=
cos 2x+sin x.
(1)解不等式:f(x)≥;
(2)若△ABC为锐角三角形,O为其外心,BC=2,f ,令t=·,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
1.C　由三角函数的定义可得sin α=,cos α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×.
故选C.
2.A　=|cos 2-sin 2|,
∵2弧度角的终边位于第二象限,∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2,故选A.
3.C　sin 140°(tan 10°-)=sin 40°
=
=
=-=-1.
故选C.
4.答案　-
解析　因为x∈,所以x-∈,
所以sin,
所以sin x=sincos sin ,
所以cos x=-,
所以sin 2x=2sin xcos x=-.
5.D　由已知得,sin α=,cos α=.
解法一:cos 2α=cos2α-sin2α=.
解法二:cos 2α=1-2sin2α=1-2×.
解法三:cos 2α=2cos2α-1=2×.
6.D　因为a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且a∥b,
所以1×1=sin θ·3sin θ,
解得sin2θ=,
故cos 2θ=1-2sin2 θ=1-.
7.A　因为AB=AC,所以B=C,
则cos A+cos B=cos A+cos= cos A+sin +sin ,
令sin =t,因为A∈(0,π),所以∈,
则t∈(0,1),f(t)=-2t2+t+1=-2,
则f(t)∈,
故cos A+cos B的取值范围为.
故选A.
8.答案　
解析　因为sin,所以sin=cos2=1-2sin2=1-2×.
9.D　因为tan 2α=,
所以2tan2α+3tan α-2=0,
即(tan α+2)(2tan α-1)=0,
解得tan α=-2或tan α=.故选D.
10.D　因为 ,所以tan α=2,
则tan 2α=.
11.B　由tan,得tan,
因此tan(α-2β)=tan.故选B.
12.答案　
解析　因为β为锐角,cos β=,所以sin β=,
故tan β=,则tan 2β=.
因为β为锐角,且tan 2β>0,所以0<2β<,
又α为锐角,所以0<α+2β<π,
又tan(α+2β)==-1,
所以α+2β=.
13.C　∵sin θ=2sin cos =2×<0,
cos θ=cos2<0,
∴角θ的终边所在的象限是第三象限.
14.A　由题意得,-2sin α=cos α,所以tan α=-,
所以.故选A.
15.A　因为θ==108°,
所以
=2cos 36°=2(1-2sin218°)=2×,故选A.
16.AC　sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=,故A正确;
tan 45°=,故B错误;
cos422.5°-sin422.5°=(cos222.5°+sin222.5°)·(cos222.5°-sin222.5°)
=cos 45°=,故C正确;
sin215°+sin275°+sin 15°sin 75°=sin215°+cos215°+sin 15°cos15°
=1+sin 30°=,故D错误.
故选AC.
17.D　a=sin 84°-cos 84°=sin 84°cos 60°-cos 84°sin 60°=sin(84°-60°)=sin 24°,
b==tan(2×13°)=tan 26°,
c==sin 25°,
因为y=sin x在上单调递增,所以a因为0sin 26°,故b>c,即a故选D.
18.答案　
解析　cos 2x+sin x=-2sin2x+sin x+1
=-2,
因为sin x∈[-1,1],
所以-2∈,
因为关于x的方程a=cos 2x+sin x有实数解,
所以实数a的取值范围为.
19.解析　(1)因为4sin α-3cos α=5,
所以4sin α-5=3cos α ,
即16sin2α+25-40sin α=9cos2α,
则25sin2α-40sin α+16=0,所以sin α=.
(2)由(1)知,sin α=,
因为4sin α-3cos α=5,所以cos α=-,
则tan α=,
所以=-7.
20.解析　(1)∵f(x)=cos2x-sin2x+2sin xcos x+1
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x+∈,
令t=2x+,则t∈,
易知函数y=sin t在上单调递增,在上单调递减,且sin,sin ,∴(sin t)min=-,即,
∴当2x+,即x=-时,f(x)min=-×2+1=0,
要使f(x)-3≥m恒成立,则f(x)min≥m+3,即0≥m+3,可得m≤-3,
故实数m的取值范围是(-∞,-3].
能力提升练
1.BD　对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+
sin 45°sin 30°=,所以A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°
=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;
对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,所以C错误;
对于D,=2×=2×,所以D正确.故选BD.
2.C　
=
==-2.
3.答案　1
解析　cos 40°×
=cos 40°×
=cos 40°×
=cos 40°×
=cos 40°×
=cos 40°×
=cos 40°×=1.
4.C　由题意知,旋转后终边对应的角为θ+,
则tan,
所以tan.
奇思妙解　注意终边绕坐标原点旋转后过点(-1,),而(k∈Z),因此可取特殊值,即原来的角θ的终边按逆时针方向旋转后所得的终边对应的一个角为,故原角θ可取特殊值,所以tan2θ+=tan.
5.B　因为sin(π-x)=2sin,所以sin x=-2cos x,即tan x=-2,所以3sin 2x+4cos 2x=.故选B.
6.A　∵cos θ-sin θ=-,∴1-sin 2θ=,
∴sin 2θ=-.∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-,
∴(cos θ+sin θ)=-.故选A.
7.D　因为tan α=,且tan α=,
所以,
整理,得3sin α=sin2α+cos2α=1,所以sin α=,
因为2α∈,所以α∈,
即α∈,
所以cos α=,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×,
cos 2α=1-2sin2α=,
所以sin=sin 2αcos -cos 2αsin .
方法总结　对于弦切混合式,往往利用tan α=将切化为弦,将式子统一成弦的形式,方便求解.
8.A　由题意得(sin α+cos α)2=1+sin 2α=,
所以sin 2α=,
因为α∈,所以2α∈,所以cos 2α=,
又cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
所以cos2α=,sin2α=,
所以cos α=,sin α=.
因为β∈,所以β-∈,
又sin,所以cos,
所以sin ,
又sin =-cos 2β,
所以cos 2β=-.
因为β∈,所以2β∈,
所以sin 2β=,
所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=
.故选A.
9.A　(1-tan 20°)·sin 80°
=(1-tan 20°)·(sin 60°cos 20°+cos 60°sin 20°)
=cos 20°-sin 20°+sin 20°-
=cos 20°-sin 20°-
=-sin 20°=-sin 20°
==tan 20°,
则有tan α=tan 20°,结合选项可知α可能为20°.
10.答案　-
解析　因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin,
所以cos,即cos,
所以cos,
即cos,
所以sin
=cos.
11.答案　1
解析　由题意得, f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ
=2(2cos22θ-1)+cos θcos 2θ-sin θsin 2θ
=4(2cos2θ-1)2-2+cos θ(2cos2θ-1)-2sin2θcos θ
=4(4cos4θ-4cos2θ+1)-2+2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)·cos θ
=16cos4θ-16cos2θ+2+2cos3θ-cos θ-2cos θ+2cos3θ
=2-3cos θ-16cos2θ+4cos3θ+16cos4θ,
又f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
∴a0=2,a1=-3,a2=-16,a3=4,a4=16,
∴a1-a2+a3-a4=-3-(-16)+4-16=1.
12.解析　(1)因为tan α=,cos β=-,α,β∈(0,π),所以α∈,β∈,
所以α-β∈(-π,0),
则sin β=,所以tan β=,
所以tan(α-β)==1,
故α-β=-.
(2)由(1)得α-β=-,
则sin(θ+α-β)=sin,
因为θ∈,所以θ-∈,
所以cos,
所以cos,
又cos=-sin 2θ,
所以sin 2θ=-,
又θ∈,所以2θ∈,即2θ∈,所以cos 2θ=-,
所以cos=cos 2θcos -sin 2θsin .
13.C　f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1,
当0≤x≤时,≤2x+≤,
则当2x+时,函数f(x)取得最大值,为2sin +m+1=m+3=6,解得m=3.
14.BCD　y=sin2sin 2x,
将此函数图象上的所有点向左平移个单位长度,
得到y=的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
得到y=的图象,即为y=f(x)的图象,
∴f(x)=,
对于A,f(x)的最小正周期T==2π,故A错误;
对于B,f(x)=的最大值为1,最小值为0,故f(x)的值域为[0,1],故B正确;
对于C,f(x)的图象的对称轴为直线x=-+kπ,k∈Z,
当k=0时,f(x)的图象关于直线x=-对称,故C正确;
对于D,令2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,则2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
当k=0时,-≤x≤,
故f(x)在上单调递增,故D正确.
故选BCD.
15.答案　(-∞,-2]
解析　∵x∈,∴sin x∈(0,1].
∵(λ+1)sin x+cos 2x+2=0,
∴(λ+1)sin x+3-2sin2x=0,
∴λ+1==2sin x-,
令t=sin x,则t∈(0,1],
易知y=2t-在(0,1]上单调递增,则y≤2-3=-1,∴λ+1≤-1,解得λ≤-2,
故实数λ的取值范围为(-∞,-2].
16.解析　f(x)=cos 2x+sin x=cos 2x+cos xsin x
=sin 2x+cos 2x=.
(1)令≥,则sin≥,
∴+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
∴kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故原不等式的解集为,k∈Z.
(2)∵f=,∴sin2+=,∴sin∠BAC=,
又0<∠BAC<,∴∠BAC=,∴B+C=.
∵O为△ABC的外心,∴t=··(AB2,
由正弦定理可知,
则AC=sin B,AB=sin C,
∴t=sin2B-sin2-B=sin B+sin·sin B-sin=2sinB+·cos-2cosB+·sin-=sin-sin,
∵△ABC为锐角三角形,∠BAC=,
∴,∴,
∴-,∴-2∴实数t的取值范围是(-2,2).
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