2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--3.2　半角公式

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2025北师大版高中数学必修第二册
3.2　半角公式
基础过关练
题组一　半角的正弦公式
1.(2024广东广州联考)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A.
2.若tan α=,且α为第一象限角,则sin =(　　)
A.
3.化简=(　　)
A.cos 10°　　　 　B.sin 10°
C.2sin 10°-cos 10°　　　　D.2cos 10°-sin 10°
题组二　半角的余弦公式
4.已知α∈,sin α=,则cos=(　　)
A.-
5.已知3π<α<4π,则=(　　)
A.sin 　　　　B.-sin 　　　　C.cos 　　　　D.-cos
6.(2024上海行知中学月考)设-π<α<π,化简的结果是　　　　.
7.若α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,则cos =　　　　.
题组三　半角的正切公式
8.(2024广东珠海一中期末)若角α是第二象限角,且终边经过点(-3,4),则tan =(　　)
A.3　　　　B.或2
9.若tan=-2,则等于(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.-2
10.已知f(x)=,若α∈,则f(cos α)+f(-cos α)=(　　)
A.
C.-
题组四　半角公式的综合应用
11.(2023四川泸州泸县教育共同体模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan =(　　)
A.2
12.(2022江苏南京师范大学附属中学期中)若sin θ=<θ<3π,则tan=(　　)
A.3+　　　　
C.3+
13.(2023浙江金丽衢十二校二联)数学里有一种证明方法叫作Proof Without Words,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由tan∠BCH=可以直接证明的三角函数公式是(　　)
A.tan 　　　　
B.tan
C.tan 　　　　
D.tan
14.(2022北京海淀实验中学期中)在△ABC中,若sin Bsin C=cos2 ,则△ABC是(　　)
A.等边三角形　　　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形
15.(多选题)已知函数f(x)=(cos x+1-sin2x)·tan,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)是奇函数
D. f(x)是偶函数
16.(2023陕西宝鸡三模)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan 等于(　　)
A.3　　　　B.2　　　　
C.
17.(2024上海复旦大学附中开学考试)若一个等腰三角形的顶角的正弦值为,则其底角的余弦值为　　　　.
18.化简:(其中180°<α<360°).
19.(2024河北保定部分高中开学联考)已知sin,α∈.
(1)求sin的值;
(2)求tan 的值.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.2　半角公式
基础过关练
1.D　因为α为锐角,所以为锐角,所以sin .
2.B　因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin .故sin =±.
3.A　
=+sin 10°
=|sin 10°-cos 10°|+sin 10°
=cos 10°-sin 10°+sin 10°=cos 10°.
4.A　由α∈,得cos α=-,
∵<α<π,∴,∴cos>0,
∴cos,
∴cos.
5.D　因为3π<α<4π,所以<2π,<π,
于是=
=cos =-cos .
6.答案　cos
解析　因为-π<α<π,所以-,所以
=cos .
7.答案　
解析　由已知得cos α=-,cos β=,
因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=,
又<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,0<,
故cos .
8.C　∵角α是第二象限角,且终边经过点(-3,4),
∴sin α=,cos α=-,
∴tan =2.
9.B　因为tan=-2,所以.
10.D　因为α∈,所以∈,
所以f(cos α)+f(-cos α)=
=tan+.
11.B　因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-,
又θ是第二象限角,所以sin θ=,
所以tan .
12.B　因为sin θ=<θ<3π,所以cos θ=-,
所以cos<0,tan =3,所以cos,
所以tan.
13.C　由已知得∠CBO=,∠BCH=,
因为tan∠BCH=tan ,sin θ=,cos θ=,BH+OH=OB=OC,
所以=tan .
14.B　∵sin Bsin C=cos2 ,∴sin Bsin C=,
∴2sin Bsin C=1+cos A,
∴2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴cos Bcos C+sin Bsin C=1,即cos(B-C)=1.
又∵-π∴B=C,∴△ABC是等腰三角形.无法判断△ABC是不是等边三角形或直角三角形.故选B.
15.BC　由题意得≠kπ+(k∈Z),即x≠2kπ+π(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠π+2kπ,k∈Z},关于原点对称.f(x)=(cos x+1-sin2x)tan=
(cos x+cos2x)·sin 2x,则f(-x)=-·sin 2x,所以f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数.因为f(0)=0, f(π)不存在,所以f(x)的最小正周期不是π,而是2π.
16.C　∵α∈(0,π),∴∈,
设tan =x,则x>0.
易得sin α=,
cos α=,
∴sin α+2cos α==2,
即x+1-x2=1+x2,即x(2x-1)=0,所以x=.故选C.
17.答案　或
解析　设顶角为α,则α∈(0,π),sin α=,
∴∈,cos α=±=±=±,
∴sin ,即sin 或sin ,则此等腰三角形的底角的余弦值为cos=sin 或cos.
18.解析　原式=
==.
因为180°<α<360°,所以90°<<180°,所以cos <0,故原式=cos α.
19.解析　(1)因为sin=-cos α=,所以cos α=-,
因为α∈,所以sin α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×,
cos 2α=2cos2α-1=2×,
所以sinsin 2α+cos 2α=.
(2)解法一:因为α∈,所以∈,则sin >0,cos <0,
所以sin ,cos ,
则tan =-2.
解法二:tan =-2.
解法三:tan α=,
解得tan 或tan =-2,
因为α∈,所以∈,则tan <0,故tan =-2.
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