2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--3.2 第2课时　基本事实4与等角定理

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2025北师大版高中数学必修第二册
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
题组一　空间两条直线的位置关系
1.(2024湖北华中师大一附中期中)下列说法中正确的是(　　)
A.空间中两直线的位置关系有平行、垂直和异面三种
B.若空间中两直线没有公共点,则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则这两直线可能相交,也可能异面
2.(2024吉林长春二中月考)下列关于异面直线的说法正确的是(　　)
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
3. (2024四川内江二中月考)下图是正方体的展开图,则还原图形后,下列说法正确的是(　　)
A.AB与EF平行　　　　B.AB与EF异面
C.GH与CD平行　　　　D.GH与CD相交
4.(2024上海曹杨中学期中)如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点,下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
A.直线DD1　　　　B.直线B1C　　　　
C.直线AD1　　　　D.直线AC
5.(2024上海延安中学期中)下图是正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F',与直线AB异面的侧棱共有　　　　条.
题组二　基本事实4及等角定理的应用
6.(2024山东高密第三中学开学检测)若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　)
A.一定平行且方向相同　　　　
B.一定平行且方向相反
C.一定不平行　　　　
D.不一定平行
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等　　　　B.互补　　　　C.相等或互补　　　　D.不确定
8.(多选题)(2024吉林通化梅河口第五中学期中)下列说法中,正确的是(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
9. (2023山东德州月考)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是　(　　)
A.M,N,P,Q四点共面　　　　
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ　　　　
D.四边形MNPQ为梯形
10.如图,在正方体中,A,B,C,D分别是顶点或所在棱的中点,则A,B,C,D四点共面的图形是　　　　(填上所有正确答案的序号).
　
　
11.如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
题组三　异面直线的夹角
12.在正四面体A-BCD中,E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,则EF与GH的夹角为(　　)
A.
13.(2024江西宜春宜丰中学月考)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC夹角的余弦值为(　　)
A.　　　　
C.
14.(2022河南南阳期末)
如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD夹角的正弦值为(　　)
A.1　　　　B.
15.(多选题)(2024河北秦皇岛开学考试)下图是正方体的展开图,则在原正方体中(　　)
A.AB⊥HG
B.AB⊥CD
C.直线HG与EF的夹角为60°
D.直线CD与EF的夹角为60°
能力提升练
题组一　空间中两条直线的位置关系
1.(2022福建福州质检)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点,F是AB的中点,则(　　)
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
2.如图,已知直线a,b是异面直线,直线c,d与a,b都相交,则关于直线c,d的位置关系说法正确的是(　　)
A.可能是平行直线
B.一定是异面直线
C.可能是相交直线
D.平行、相交、异面都有可能
3.(2023河北沧衡八校联盟期中)一个四棱锥P-ABCD的平面展开图如图所示,其中E,F,M,N,Q分别为P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中点,关于该四棱锥,现有下列四个结论:
①直线AF与直线BQ是异面直线;
②直线BE与直线MN是异面直线;
③直线BQ与直线MN共面;
④直线BE与直线AF是异面直线.
其中正确结论的个数为(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
题组二　异面直线的夹角及其应用
4.(2024浙江杭州第二中学期中)在正四面体S-ABC中,M是SC的中点,N是SB的中点,则异面直线BM与AN夹角的余弦值为(　　)
A.
5.(多选题)(2024山东德州夏津第一中学月考)已知E,F分别是三棱锥P-ABC的棱PA,BC的中点,且PC=6,AB=8.若异面直线PC与AB的夹角的大小为60°,则线段EF的长可能为(　　)
A.
6.(2023河北定州第二中学月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AA1与底面ABCD垂直,M,N分别在BD,B1D1上,且BD=3BM,B1D1=3D1N,AB=3,AA1=4,则异面直线MN与AD1夹角的余弦值为(　　)
A.　　　　
C.
7.(2024上海青浦高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足直线D1P与CC1的夹角的大小为,则线段DP扫过的面积为(　　)
A.
8.(多选题)(2022四川攀枝花统考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列说法错误的是(　　)
A.直线EF,AO是异面直线
B.直线EF,BB1是相交直线
C.直线EF与BC1的夹角的大小为30°
D.直线EF与BB1夹角的余弦值为
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为A1B1,BB1的中点.
(1)求直线AP与CQ夹角的余弦值;
(2)求直线AP与BD夹角的余弦值;
(3)连接BC1,A1D,证明BC1⊥A1D.
题组三　空间四边形
10.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为　　　　.
11.(2023安徽合肥六校联盟期中)在四面体A-BCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别是AB,BC上的点,且.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)直线EH,BD,FG相交于一点.
12.如图,空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的夹角为θ,AC=a,BD=b,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,当θ为何值时,四边形EFGH的面积最大 最大值是多少
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
第2课时　基本事实4与等角定理
基础过关练
1.D　对于A,空间中两直线的位置关系有平行、相交和异面三种,故A错误;
对于B,若空间中两直线没有公共点,则这两直线异面或平行,故B错误;
对于C,和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线,故C错误;
对于D,如图,画出正方体ABCD-A'B'C'D',面ABB'A'与面BCC'B'相邻,面对角线A'B与BC'相交,A'B与B'C异面,故D正确.
2.D　对于A,如图①,此时a与b相交,A中说法错误;对于B,如图②,此时a与c平行,B中说法错误;对于C,如图①,此时a与b相交,C中说法错误;根据异面直线的定义知D中说法正确.
3.B　还原正方体如图,由图可知AB与EF为异面直线,GH与CD为异面直线.故选B.
4.D　当P位于A1C1的中点时,易知P∈B1D1,由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形,此时BP、DD1 平面BB1D1D,故A错误;
当P与C1重合时,BP、B1C 平面BB1C1C,四边形ABPD1为平行四边形,此时BP∥AD1,故B、C错误;
易知四边形ACC1A1为平行四边形,B 平面ACC1A1,P∈平面ACC1A1,AC∥A1C1,AC、A1C1 平面ACC1A1,BP∩A1C1=P,故AC与BP始终异面,故D正确.
故选D.
5.答案　4
解析　侧棱中,没有与AB平行的直线;与AB相交的直线有AA',BB',共2条.
正六棱柱共有6条侧棱,所以与直线AB异面的侧棱共有6-2=4(条).
6.D　有两种情况,如图,则OB与O'B'不一定平行.
7.B　因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1,FG∥BC1,又A1B1∥AB,所以EF∥AB,
所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,且一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.故选B.
8.BD　由等角定理可知,A错误,B正确;由基本事实4可知,D正确;对于C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角不一定相等,如图.
9.D　由三角形中位线定理知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由基本事实4得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;对于B、C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故B、C中说法正确;易得MQ NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中说法不正确.故选D.
10.答案　①③④
解析　对于题图①,取GD的中点F,连接BF,EF,如图a,
∵B,F均为所在棱的中点,∴BF HG,
又∵HG AE,∴BF AE,
∴四边形ABFE为平行四边形,∴AB∥EF.
同理,CD∥EF,∴AB∥CD,
故A,B,C,D四点共面,题图①符合;
对于题图②,显然AB与CD异面,故题图②不符合;
对于题图③,连接AC,BD,EF,如图b,
∵BE FD,∴四边形BDFE为平行四边形,∴BD∥EF.
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,
∴BD∥AC,故A,B,C,D四点共面,题图③符合;
对于题图④,连接AC,BD,EF,GH,如图c,
∵GE HF,∴四边形GEFH为平行四边形,∴GH∥EF,
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,∴GH∥AC.
同理,BD∥GH,∴BD∥AC,
故A,B,C,D四点共面,题图④符合.
故答案为①③④.
11.证明　(1)连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,∴MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.
12.C　因为E,F,G,H分别是AC,BC,BD,CD的中点,所以AB∥EF,BC∥GH,因此EF与GH的夹角为AB与BC的夹角.
因为在正四面体A-BCD中,∠ABC=,所以EF与GH的夹角为.故选C.
13.B　连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB,
由题意知EO∥PC,则异面直线BE与PC的夹角为∠BEO(或其补角),
在△BEO中,EO=1,BO=,
则由余弦定理得cos∠BEO=,
则异面直线BE与PC夹角的余弦值为.故选B.
解题模板　
求异面直线的夹角的一般步骤
(1)作:通过作平行线或平移直线,构造异面直线的夹角;
(2)证:证明所作的角或其补角为异面直线的夹角;
(3)计算:一般在三角形中求角.
14.B　连接B1C,取B1C的中点E,连接DE,BE,
∵D是AC的中点,∴DE是△ACB1的中位线,∴AB1∥DE,∴∠EDB(或其补角)为异面直线AB1与BD的夹角.
设AB=m(m>0),则BD=m,由勾股定理得AB1=B1C=m,∴DE=BE=m,
∴△BDE为等边三角形,∴∠EDB=,
∴sin∠EDB=.
15.BCD　还原正方体如图所示,
根据正方体的性质知BH∥AG,BH=AG,所以四边形ABHG是平行四边形,所以AB∥HG,
又HG⊥CD,所以AB⊥CD,A错误,B正确;
直线HG与EF的夹角为∠BAC(或其补角),连接BC,易知△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°,C正确;
连接FD,易知△EFD是等边三角形,直线CD与EF的夹角为60°,D正确.
故选BCD.
能力提升练
1.A　由题意知,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,因为E是BC的中点,F是AB的中点,所以AC∥EF,所以AC与EF是共面直线,易知AE=CF=.
2.B　设c与a,b的交点分别为A,B,d与a,b的交点分别为C,D,
若c,d是平行直线,则存在平面α,使得c α,d α,
∵A∈c,B∈c,C∈d,D∈d,
∴A∈α,B∈α,C∈α,D∈α,
又A∈a,C∈a,B∈b,D∈b,∴a α,b α,
∴a,b共面,与a,b是异面直线矛盾,
∴c,d不是平行直线,故A错误;
当c,d相交时也可以确定一个平面,使得直线a,b共面,与题目矛盾,
故c,d一定是异面直线.故选B.
3.B　将平面展开图还原,如图所示,
对于①,易知FN∥CD,又AB∥CD,所以FN∥AB,故F,N,A,B四点共面,故直线AF与直线BQ(即直线BN)共面,①错误;
对于②,E在平面ABNF外,故直线BE与直线MN是异面直线,②正确;
对于③,N,Q重合,故直线BQ(即直线BN)与直线MN共面,③正确;
对于④,E在平面ABNF外,故直线BE与直线AF是异面直线,④正确.
综上,正确结论的个数为3.故选B.
4.A　取SM的中点E,连接EN,AE,如图,
∵N是SB的中点,∴EN∥MB,EN=MB,
∴∠ANE(或其补角)即为异面直线BM与AN的夹角.
设正四面体的棱长为4,
∵M是SC的中点,N是SB的中点,△SAB和△SBC均为正三角形,∴BM⊥SC,AN⊥SB,且BM=AN=2,∴EN=,
在△ASE中,由余弦定理得AE2=SA2+SE2-2SA·SE·cos∠ASE=16+1-2×4×1×=13,
在△ANE中,由余弦定理得cos∠ANE=,
∴异面直线BM与AN夹角的余弦值为.故选A.
5.BD　如图,取AC的中点H,连接EH,FH,
因为E,F分别为PA,BC的中点,PC=6,AB=8,
所以AB∥HF,HE∥PC,HF=4,HE=3,
所以异面直线PC与AB所成的角即为∠EHF(或其补角),所以∠EHF=60°或∠EHF=120°.
当∠EHF=60°时,根据余弦定理得cos∠EHF=,解得EF=;
当∠EHF=120°时,根据余弦定理得cos∠EHF=,解得EF=.故选BD.
易错警示　通过立体图形无法直接判断∠EHF是锐角还是钝角,因此∠EHF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.
6.B　取DM的中点K,连接D1K,AK,
易知D1N=KM=DB,D1N∥KM,所以四边形D1NMK为平行四边形,所以D1K∥MN,
所以异面直线MN与AD1的夹角为∠AD1K(或其补角).
因为底面ABCD是菱形,所以AB=AD,
又∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.
所以AD=DB=AB=3,所以DK=1,
在△ADK中,利用余弦定理得AK=,
又AD1=,
所以在△AD1K中,利用余弦定理得cos∠AD1K=,
所以异面直线MN与AD1夹角的余弦值为.
故选B.
7.A　因为DD1∥CC1,所以直线D1P与CC1的夹角即为DD1与D1P的夹角,
易知DD1⊥PD,所以DD1与D1P的夹角为∠DD1P,即∠DD1P=,故tan∠DD1P=,即DP=,
所以点P的轨迹是以D为圆心,为半径的圆的四分之一,
故线段DP扫过的面积为.
故选A.
8.ABD　连接OF,∵O为正方形A1B1C1D1的中心,F是A1D1的中点,∴OF∥A1B1∥AB,∴OF,AE共面,从而EF,AO共面,A中说法错误.
连接B1E,∵F 平面BEB1,BB1 平面BEB1,E BB1,E∈平面BEB1,∴EF,BB1是异面直线,B中说法错误.
连接OB,易得FO∥EB,且FO=EB,∴四边形EFOB是平行四边形,∴EF∥OB,∴∠OBC1(或其补角)是异面直线EF与BC1的夹角.
连接OC1,设正方体的棱长为1,在△BC1O中,BC1=,
∴cos∠OBC1=,
∴∠OBC1=30°,C中说法正确.
同理得∠OBB1是EF与BB1的夹角,连接OB1,
在Rt△OBB1中,易得cos∠OBB1=,D中说法错误.故选ABD.
9.解析　(1)取AB的中点F,FB的中点E,连接B1F,QE,CE,如图a,易知AF PB1,
所以四边形APB1F为平行四边形,所以AP∥B1F.
因为E为FB的中点,Q为BB1的中点,所以EQ∥B1F,所以AP∥EQ,所以∠EQC(或其补角)是直线AP与CQ的夹角.
设正方体的棱长为1,则BE=,所以EQ=,
所以cos∠EQC=,
即直线AP与CQ夹角的余弦值为.
(2)取A1D1的中点M,连接AM,PM,B1D1,如图b,
因为BB1 DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD∥B1D1,
因为M为A1D1的中点,P为A1B1的中点,
所以PM∥B1D1,所以PM∥BD,
所以∠APM(或其补角)是直线AP与BD的夹角.
设正方体的棱长为1,则A1P=,
所以AP=,
所以cos∠APM=,
即直线AP与BD夹角的余弦值为.
(3)证明:连接AD1,如图c,
因为AB D1C1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,所以BC1∥AD1.
又因为AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D.
10.答案　6
解析　因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,且EF=BD=1,
所以四边形EFGH的周长为2EH+2HG=6.
11.证明　(1)连接EF,HG,
在△ABC中,,∴EF∥AC,
∵H,G分别是AD,CD的中点,∴GH∥AC,
∴EF∥GH,则E,F,G,H四点共面.
(2)∵,H为AD的中点,∴EH与BD不平行,
∵EH,BD 平面ABD,
∴EH与BD相交,设交点为P,
∵P∈BD,BD 平面BCD,∴P∈平面BCD,
同理P∈平面EFGH,
∵平面BCD∩平面EFGH=FG,∴P∈FG,
∴直线EH,BD,FG相交于一点.
12.解析　∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,且EF=GH=a,EH∥BD∥FG,且EH=FG=b,∴四边形EFGH为平行四边形.∵AC,BD的夹角为θ,
∴∠EFG=θ或∠EFG=π-θ,∴sin∠EFG=sin θ,
∴四边形EFGH的面积S=EF·FG·sin θ=a··bsin θ=absin θ,
∴当θ=时,四边形EFGH的面积最大为ab.
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