2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质

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2025北师大版高中数学必修第二册
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
题组一　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1.(2022北京东城期末)在平面直角坐标系xOy中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的终边与单位圆O的交点坐标为(　　)
A.
C.
2.(2024江西部分学校联考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若A(1,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=(　　)
A.-3　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.1
3.(2024江苏南京九中期中)已知函数f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点P,若P是角θ终边上的一点,则sin θ=　　　　.
4.(2022四川成都外国语学校月考)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,求角α的余弦值.
题组二　正弦、余弦函数值的符号及特殊角的三角函数值
(2024湖北A9高中联盟期末联考)若角α是第四象限角,则点P(
sin α,cos α)在(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2024山西太原期末)已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是(　　)
A.第一象限角　　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　　D.第四象限角
7.(多选题)下列各三角函数值为负的是(　　)
A.sin(-100°)　　　　B.cos(-220°)
C.sin(-10)　　　　 D.cos 0
8.cos =(　　)
A.　　　　
C.
9.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为　　　　.
题组三　正弦函数与余弦函数的基本性质及其应用
10.(2024江西赣州期末)函数y=的定义域是　　　　.
11.函数y=2-3cos x的单调递减区间是　　　　　　.
12.函数y=cos x-1的最大值为　　　　.
13.(2024湖北武汉期末)函数f(x)=-cos2x+cos x+1,x∈[0,π]的值域是　　　　.
能力提升练
题组一　正弦函数、余弦函数的定义及其应用
1.(2023湖南雅礼中学月考)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发,在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是(　　 )
A.　　　　
C.
2. (2024江苏盐城期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3,2cos α),则sin α=(　　)
A.
3.(多选题)(2022重庆八中月考)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1-m),若m>0,则下列各式的符号无法确定的是(　　)
A.sin α　　　　 B.cos α
C.sin α-cos α　　　　D.sin α+cos α
4.(2023海南海口第一中学月考)已知角α的顶点为原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边过点P(-,y),且sin α=y(y≠0).
(1)判断角α的终边所在的象限;
(2)求cos α和tan α的值.
题组二　正弦、余弦函数值的符号
5.若角α是第三象限角,且,则角的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2024河南洛阳期末)已知集合M=yy=,N={a,b,lg a}(a>0),若M=N,则ab=(　　)
A.-4　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.4
7.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟期末)给出下列四个命题,其中是真命题的为(　　)
A.如果α≠β,那么sin α≠sin β
B.如果sin α≠sin β,那么α≠β
C.如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0
D.如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角
8.已知,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m及sin α的值.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、
余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
1.A　
2.A　由题意得sin θ=,所以y=-3.故选A.
3.答案　
解析　令x+2=1,得x=-1,则f(-1)=1,
∴P(-1,1),∴sin θ=.
4.解析　设角α的终边与单位圆的交点为(x,y),
则x2+y2=1,又3x-y=0,∴或
则cos α=x=±.
5.B　由于角α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,所以点P在第二象限.故选B.
6.A　∵|cos θ|=cos θ,∴cos θ≥0,
又sin θcos θ>0,∴sin θ>0,且cos θ>0,
因此角θ是第一象限角.故选A.
7.AB　因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;
因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;
因为-10∈,所以角-10是第二象限角,所以sin(-10)>0;cos 0=1>0.
故选AB.
方法总结　已知角α的大小判断sin α,cos α的符号的一般步骤
(1)把角α化为β+k·360°(0°≤β<360°,k∈Z)或β+2kπ(0≤β<2π,k∈Z)的形式;
(2)根据(1)确定角α的终边所在的象限;
(3)根据角α的终边所在的象限确定sin α,cos α的符号.
8.B　如图,以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P.设点P(u,v),则u=-,所以cos ,故选B.
9.答案　-5解析　∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限内或落在y轴的非负半轴上,
∴∴-510.答案　[-π,0]∪[π,5]
解析　由题意得
解得
当k=0时,-π≤x≤0;当k=1时,π≤x≤5.
所以函数的定义域为[-π,0]∪[π,5].
11.答案　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析　函数y=2-3cos x 的单调递减区间即为函数y=-cos x的单调递减区间,也即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
12.答案　-
解析　∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,函数y=cos x-1取得最大值
-.
13.答案　
解析　令t=cos x(x∈[0,π]),则t∈[-1,1],g(t)=-t2+t+1=-,
故g(t)在上单调递增,在上单调递减,
又g(-1)=-1-1+1=-1,g,g(1)=-1+1+1=1,所以g(t)∈,所以f(x)的值域为.
能力提升练
C　根据题意,得第1 804次相遇的时间为1 804×2π÷=
3 608(秒),
故P转过的角度为×3 608=300π+,其对应的坐标为,即点P的坐标为.故选C.
2.A　由角α的终边经过点A(3,2cos α),可得|OA|=(O为坐标原点),根据三角函数的定义,可得cos α=,整理得4cos4α+9cos2α-9=0,解得cos2α=或cos2α=-3(舍去),所以cos α=或cos α=-(舍去),所以sin α=.故选A.
3.AC　sin α=,cos α=,
当m∈(0,1)时,sin α>0,当m∈(1,+∞)时,sin α<0,当m=1时,sin α=0,故sin α的符号不确定,故A符合;
cos α=>0,符号确定,故B不符合;
sin α-cos α=,当m∈时,sin α-cos α>0,当m∈时,sin α-cos α<0,当m=时,sin α-cos α=0,故sin α-cos α的符号不确定,故C符合;
sin α+cos α=>0,符号确定,故D不符合.故选AC.
4.解析　(1)由题意知,点P到原点O的距离r=,
∴sin α=y.
∵y≠0,∴9+3y2=16,∴y2=,
∴y=±,∴角α的终边在第二或第三象限.
(2)结合(1)可知,当角α的终边在第二象限时,y=,cos α=,tan α=-;
当角α的终边在第三象限时,y=-,cos α=,tan α=.
5.B　因为角α是第三象限角,所以π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以+kπ,k∈Z,则角是第二或第四象限角,又,所以cos≤0,所以角是第二象限角.故选B.
6.B　由题意得θ≠,k∈Z,
当θ是第一象限角时,y=×(1+1)=1;当θ是第二象限角时,y=×(1-1)=0;当θ是第三象限角时,y=×(-1-1)=-1;当θ是第四象限角时,y=×(-1+1)=0,因此M={-1,0,1}.
由M=N,且a>0,得a=1,故lg a=0,所以b=-1,所以ab=-1.故选B.
7.BC　对于A,取α=,则≠,但sin α=sin β,故A是假命题;
对于B,如果sin α≠sin β,那么α≠β,故B是真命题;
对于C,若θ是第一或第二象限角,则由正弦函数的性质可知,sin θ>0,故C是真命题;
对于D,如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角或θ的终边在y轴非负半轴上,故D是假命题.故选BC.
8.解析　(1)∵,∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②
由①②得角α的终边位于第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,解得m=±.
由(1)知角α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sin α=-.
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