2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--4.1　平面向量基本定理

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2025北师大版高中数学必修第二册
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　基的概念与判断
1.(多选题)已知{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列说法中正确的是(　　)
A.若存在实数m,n使得me1+ne2=0,则m=n=0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2,其中m,n为实数
C.对于m,n∈R,me1+ne2不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量a,存在两对以上的实数m,n,使得a=me1+ne2
2.(2023江西抚州一中月考)设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下面四组向量中,不能作为基的是(　　)
A.e1+e2和e1-3e2　　　　B.e1+6e2和e1+e2
C.3e1-4e2和6e1-8e2　　　　D.e1+2e2和2e1-e2
3.(多选题)O为 ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能组成平面ABC内所有向量的一组基的是(　　)
A.与与　　　　
C.与与
题组二　用基表示向量
4.(2023河南漯河高级中学开学考试)在△ABC中,点D在BC边上,且.设=a,=b,则可用a,b表示为(　　)
A.(a+b)　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.(a+b)
5.(2024江西宜丰中学开学考试)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则=(　　)
A.a-b　　　　B.-a+b
C.-a+b　　　　D.-a+b
6.(2024浙江四校联考)已知六边形ABCDEF为正六边形,且=a,=b,则下列结论错误的是(　　)
A.a+b　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.a+b
7.(2024北京中国农业大学附属中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,M是DC的中点,则以{a,b}为基,向量=　　　　.
8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分别为AD,DC边的中点,BE与AF相交于点O,记=a,=b.
(1)以{a,b}为基,写出向量的分解式;
(2)若,求实数λ的值.
9.(2024江苏扬州学情调研)在矩形ABCD中,E是DC边的中点,F是BC边上一点,且,设=a,=b.
(1)在基{a,b}下,分解下列向量:;
(2)若G为矩形ABCD所在平面内一点,且a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形.
题组三　平面向量基本定理及其应用
10.(多选题)(2023安徽师范大学附属中学期中)下列命题中,正确的有(　　)
A.若与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
B.对非零向量a,若|λ|>1,则|λa|>|a|
C.若=0,则M,N,P三点共线
D.平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线的向量表示
11.(2024湘豫名校联考)在平行四边形ABCD中,,F为CD的中点,G为EF的中点,若,λ∈R,μ∈R,则(　　)
A.λ=
C.λ=
12.(2024江西抚州学业质量监测)如图,在△ABC中,D,E分别为BC,BA的三等分点,点D靠近点B,点E靠近点A,AD交CE于点P,设=a,=b,则=(　　)
A.-a+b　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.a+b
13.(2023江西南昌期中)如图,平面内有三个向量的夹角为120°,的夹角为150°,|,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　　　D.9
14.(2023辽宁营口大石桥第三高级中学期末)在△ABC中,,若(x,y均大于0),则的值为　　　　.
15.如图,A,B,P是圆O上的三点,OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q,若(a,b∈R),求a+b的取值范围.
能力提升练
题组一　用基表示向量
1.(2024江西赣州期中联考)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上靠近点A的三等分点,F为AB边上靠近点B的四等分点,且EF交AC于点P.若=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b　　　　C.a+b　　　　D.a+b
2.(2024江苏南通调研)所谓黄金分割,指的是把长为l的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比,黄金分割比为≈0.618.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD,,则=(　　)
A.
C.
3.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合加工而成的.已知向量n,k,则向量a=(　　)
A.2n+3k
B.(2+)n+3k
C.(2+)n+(2+)k
D.(1+)n+(2+)k
4.(2024陕西咸阳实验中学月考)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则+…+=(　　)
A.2 025(a+b)　　　　B.2 026(a+b)　　　　
C.1 012(a+b)　　　　D.1 013(a+b)
题组二　平面向量基本定理的应用
5.正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,,Q是AC上一点,(λ∈R),则△QBC的面积为(　　)
A.
6.(2024广东珠海实验中学等校联考)在平行四边形ABCD中,AE=BC,CE与DF交于点O.设=a,=b,若=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.
7.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是　　(　　)
A.若,则
B.若,则M,B,C三点共线
C.若M是△ABC的重心,则=0
D.若且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
8.(2024山东青岛月考)如图,在△ABC中,,D为线段BC上的动点,AD与BE相交于点F,设(λ∈[0,1]),(μ∈[0,1]),则λ+6μ的最小值为　　　　.
9.(2023吉林第一中学检测)在△ABC中,O是BC的三等分点,||,过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且(m>0,n>0),若的最小值为3,则正数t的值为　　　　.
10.(2023北京亦庄实验中学诊断)如图所示,在△ABC中,D是BC边的中点,E是线段AD上靠近点A的三等分点,过点E的直线与边AB,AC分别交于点P,Q.设,其中λ,μ≥0.
(1)试用与分别表示;
(2)求证:λ+μ为定值,并求此定值.
11.(2024江西南昌第十中学月考)在△ABC中,=a,=b,若D是AB的中点,则a+b;若D是AB上靠近点A的一个三等分点,则a+b;若D是AB上靠近点A的一个四等分点,则a+b.
(1)如图1,若(λ∈R),用a,b表示,能得出什么结论 并加以证明;
(2)如图2,若,AM与BN交于点O,过点O的直线l与CA,CB分别交于点P,Q.
①利用(1)的结论,用a,b表示;
②设(x>0,y>0),求x+y的最小值.
　
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
1.AB　易知A,B正确;
对于C,因为{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,所以me1+ne2在该平面内,故C错误;
对于D,对平面内的某一个向量a,存在唯一的一对实数m,n,使得a=me1+ne2,故D错误.故选AB.
2.C　平面内共线的两个向量不能作为一组基,易知选C.
3.AB　要组成平面内所有向量的一组基,两个向量不能共线,易知在平行四边形ABCD中,∥∥,故排除C,D;与不共线,与不共线.故选AB.
4.C　因为,所以,
所以b.故选C.
D　由题意得
b.
C　设AC与BD交于点M,因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠ABC=∠BCD=120°,△ABC和△DCB均是等腰三角形,所以∠BAC=∠BCA=∠DBC=30°,所以∠ACD=∠DBA=90°,
则CM=BM=AMsin 30°=AM,
所以a,同理,b,所以b,故A的结论正确;
a,故B的结论正确;
b,故C的结论错误;
b,故D的结论正确.故选C.
7.答案　b+a
解析　根据题意得a,所以a.
8.解析　(1)b.
(2)因为与共线,
所以设=μ=μa-b,μ∈R,
则b+μa-b,
又a+b,且=λ,
所以b+μa-b=λa+b,
即λa+λb=μa+(1-μ)b,
则解得所以λ=.
9.解析　(1)根据题意,得a,∵,∴CF=CB,∴BF=CB,即,
∴b,
故b.
(2)证明:由(1)知b,
∵b,∴b,
∴,∴∥,
又与有公共点E,∴E,G,F三点共线,
即E,G,F三点不能构成三角形.
10.BD　在平行四边形ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,故A错误;
当|a|≠0,|λ|>1时,|λa|=|λ||a|>|a|,故B正确;
若=0,则,则共面,但M,N,P三点不一定共线,故C错误;
易知D正确.故选BD.
11.D　解法一:因为F为CD的中点,G为EF的中点,
所以,
又,所以,
故λ=,μ=.
解法二:=,
故λ=,μ=.
12.B　设=λ=μ(λ,μ∈R),
所以=λ=λ(,
又,所以+(1-λ),
因为,所以+μ+μ((1-μ)+μ,
所以解得
所以b.故选B.
13.B　延长BO至点B',使OB'=OB,再以OB'为对角线作 ODB'E,其中OE在直线OA上,如图,
因为<>=120°,<>=150°,
所以∠EOB'=∠OB'D=60°,∠DOB'=90°,
所以||=tan 60°||=2,
所以,
所以,
即,
又=λ+μ不共线,
所以λ=-6,μ=-3,所以λ+μ=-9.故选B.
14.答案　15
解析　如图所示,在△ABM中,,
因为,所以,
所以.①
在△ABN中,,
因为,所以,
所以.②
将②代入①,得,
因为,所以x=,
故×20=15.
15.解析　设,k∈(0,1),=λ+μ(λ,μ∈R),
∵A,B,Q三点共线,∴λ+μ=1,
∴=k(λ+μ)=kλ+kμ,
又,∴a=kλ,b=kμ,∴a+b=kλ+kμ=k(λ+μ),又k∈(0,1),λ+μ=1,
∴a+b∈(0,1),
故a+b的取值范围是(0,1).
能力提升练
1.B　设=λ(0<λ<1),由题意得,则=λ=λ()=λ+3λ,
由E,F,P三点共线,得λ+3λ=1,解得λ=,
所以b.
2.D　由题易得BE=DG,BO=OD=BD,
∵,∴,∴,
同理,∴.故选D.
3.D　如图.根据题意可得|n|=|k|,由对称性可得AB=BC=CD=DE=EQ=QF,CE=EF=FG=|n|,由图可得点B,C,E,Q共线,点Q,F,G共线,所以)n,所以a=)n.故选D.
4.D　取A0A2 025的中点A,则=a+b,
因为A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,
所以点A也是A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点,
则=…==a+b,
则+…+(a+b)=1 013(a+b).故选D.
方法技巧　处理多个向量的和的问题,大多是将相关具有对称性的两个向量分别相加,再按规律求所有向量的和,本题中A0,A1,A2,A3,…,
A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以A0A2 025,A1A2 024,A2A2 023,…,
A1 012A1 013的中点相同,再利用向量加法的平行四边形法则求解.
5.D　+λ,
由A,Q,C三点共线,得=1,解得λ=,
即,又,
∴),即,
故S△QBC=S△ABC=×22=.故选D.
6.A　连接AF,AC,∵D,O,F三点共线,
∴可设(x,y∈R),则x+y=1,
∴b+ya.
∵E,O,C三点共线,
∴可设(m,n∈R),则m+n=1,
∴b+na,
则解得
∴b,即λ+μ=.
7.ACD　对于A,,故A正确;
对于B,假设M,B,C三点共线,则存在实数λ,使得=λ,即=λ(),整理得=-λ+(1+λ),当λ=-2时,,与条件中的不一致,所以M,B,C三点不共线,故B错误;
对于C,如图,取BC的中点H,连接AH,若M是△ABC的重心,则点M在AH上,且,又,所以=0,故C正确;
对于D,因为,所以3,3x+3y=1,不妨设,则点Q在直线BC上,由于△MBC与△ABC相同的底BC上的高的比等于MQ与AQ的比,为2∶3,所以△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.
8.答案　1
解析　由题意得,+μ+μ()=(1-μ)+μ,
所以=λ=(1-μ)λ+λμ,
又,所以=(1-μ)λ+4λμ,
因为B,F,E三点共线,
所以(1-μ)λ+4λμ=1,解得λ=,
令1+3μ=x,则x∈[1,4],λ=,3μ=x-1,
则λ+6μ=+2x-2,
显然对勾函数y=+2x在[1,4]上单调递增,
则当x=1时,=3,此时(λ+6μ)min=1,
所以当μ=0,λ=1时,λ+6μ取得最小值,为1.
9.答案　3-
解析　∵在△ABC中,O是BC的三等分点,||,∴,∴,
∵,∴,
∵O,E,F三点共线,∴n=1,
∴≥2,
当且仅当,即2m2t2=n2时取等号,
∴的最小值为,故=3,
∵t>0,∴t=3-.
10.解析　(1)因为D是BC边的中点,
所以,
.
(2)因为=λ=μ,
所以=(1+μ)=(1+λ),
因为D是BC边的中点,所以),
所以,
因为P,E,Q三点共线,所以=1,
解得λ+μ=4,所以λ+μ为定值,且定值为4.
11.解析　(1)结论:=(1-λ)a+λb(λ∈R).
证明:因为=λ(λ∈R),所以+λ+λ()=(1-λ)+λ,因为=b,所以=(1-λ)a+λb(λ∈R).
(2)①因为,
所以,
因为A,O,M三点共线,所以可设(0则+t×b,
因为B,O,N三点共线,所以可设=μ(0<μ<1).
则=(1-μ)+μ=(1-μ)+μ×=(1-μ)·b+a,
因为a与b不共线,所以解得
所以b.
②因为(x>0,y>0),
所以a=,
所以,
因为P,O,Q三点共线,所以=1,
所以x+y=(x+y),
因为x>0,y>0,所以>0,
所以≥,
当且仅当即时,等号成立,
所以x+y的最小值为.
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