2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--4.2　平面向量及运算的坐标表示

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2025北师大版高中数学必修第二册
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
题组一　平面向量的坐标表示
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2)　　　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　　　D.(3,4),(-2,-3)
2.(2024河南创新发展联盟月考)已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为(　　)
A.(6,4)　　　　B.(1,-1)　　　　C.(5,5)　　　　D.(-1,1)
3.已知a与x轴的非负半轴所成的角为120°,且|a|=2,则a的坐标为　　　　　　.
题组二　平面向量运算的坐标表示
4.(2024山东第一次调研)已知向量=(-3,-2),则向量的坐标是(　　)
A.(1,-5)　　　　B.(7,-1)　　　　C.(-7,1)　　　　D.(7,1)
5.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x的值为(　　)
A.-1　　　　B.-1或4　　　　C.4　　　　D.1或-4
6.(2024天津田家炳中学月考)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A. B. C. D.
7.(多选题)(2024江西抚州期中)已知a=(-1,2),b=(2,5),下列选项中关于a,b的坐标运算正确的是(　　)
A.a+b=(7,1)　　　　
B.a-2b=(-5,-8)
C.若=a,A(2,3),则B(3,1)　　　　
D.2a+3b=(4,19)
8.(多选题)(2024山东济宁邹城开学考试)已知O为坐标原点,向量=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P的坐标可能为(　　)
A.
9.(2024江西南昌第十中学月考)古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC⊥CD,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.-
10.(2023重庆辅仁中学第一次质量检测)已知点O(0,0),A(1,2).
(1)若点B(3t,3t),,则实数t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P位于第二象限
(2)若点B(4,5),P(1+3m,2+3m),则四边形OABP能成为平行四边形吗 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
11.(2024江苏南通海门中学月考)设A,B,C,D是平面直角坐标系xOy内的四点,已知点O(0,0),A(3,1),B(-2,2),C(-1,4).
(1)若,求点D的坐标;
(2)若,求点P的坐标;
(3)若(λ,μ∈R),求λ,μ的值.
题组三　平面向量平行的坐标表示
12.(2024江西宜丰中学月考)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则“”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
13.已知=(1,-3),则(　　)
A.A,B,C三点共线　　　　B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线　　　　D.A,C,D三点共线
14.(2023江西景德镇质检)已知向量a=(2,3),b=(2,sin α-3),c=(2,cos α),若(a+b)∥c,则tan α的值为(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.
15.(多选题)(2024青海西宁五中月考)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b　　　　　　　　B.a+b=0
C.b-a与a反向　　　　 D.{a,b}可以作为一组基
16.(2023甘肃天水第一中学检测)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,m,n∈R,则等于(　　)
A.-　　　　C.-2　　　　D.2
17.(2024河南郑州外国语学校月考)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为　　　　.
18.(2024山西临汾高级中学月考)已知A(2,3),B(4,-3),点M在直线AB上,且||,则点M的坐标为　　　　　.
19.(2022吉林长春德惠一中月考)已知平面内的三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(1,-1).
(1)若a=λb+μc(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若向量a+kb与向量2b-c共线,求实数k的值.
20.(2024甘肃酒泉联考)已知向量=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若P(2,y)满足P,B,D三点共线,求y的值.
能力提升练
题组一　平面向量运算的坐标表示
1.(2022江苏南京中华中学月考)已知A(-3,0),B(0,-2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|,且∠AOC=,设(λ∈R),则λ的值为(　　)
A.1　　　　B.
(2023江苏扬中第二高级中学期中)已知OA=2,OB=2,OC=1,
∠AOB=60°,∠BOC=90°,若(x,y∈R),则=(　　)
A.
3.(2024河南信阳高级中学月考)定义向量的一种运算“ ”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),a b=mq-np,则下列说法错误的是(　　)
A.若a与b共线,则a b=0
B.若a·b=mp+nq,|a|=,则(a b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2
C.对任意的λ∈R,有(λa) b=λ(a b)
D.a b=b a
4.
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在BC上,且满足(m,n均为正数),则的最小值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　
C.-
5.(2024重庆万州二中月考)设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足||,且(λ,μ∈R),则λ+2μ的最大值为　　　　.
题组二　平面向量平行的坐标表示
6.(2024福建莆田二中月考)某同学绘制了一个迷宫图,如图所示,该同学为让迷宫图更加美观,在绘制过程中给迷宫图标记了刻度,他发现图中A,B,C三点恰好共线,则m=(　　)
A.7　　　　B.　　　　D.82
7.(2022山东省实验中学三诊)设向量=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
8.(2022四川遂宁射洪中学月考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按顺序连接可构成平行四边形,求点A的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
1.C　由题图可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,
∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
2.C　设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,即B的坐标为(5,5).
3.答案　(-1,)或(-1,-)
解析　如图所示,或即为向量a,
设A(x1,y1),由三角函数的定义,得x1=2cos 120°=-1,y1=2sin 120°=,得A(-1,).
同理可得B(-1,-),
所以a的坐标为(-1,)或(-1,-).
4.B　∵=(-3,-2),∴=(3,2),又=(4,-3),∴=(7,-1).
5.A　∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0),
又∵a=,即(x+3,x2-3x-4)=(2,0),
∴解得x=-1,故选A.
6.D　设c=(x,y),∵a-2b+3c=0,
∴(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(0,0),
即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0),∴
解得x=-,∴c=.故选D.
7.BD　对于A,a+b=(-1,2)+(2,5)=(1,7),故A错误;
对于B,a-2b=(-1,2)-(4,10)=(-5,-8),故B正确;
对于C,设O为坐标原点,则=(2,3)+(-1,2)=(1,5),∴B的坐标为(1,5),故C错误;
对于D,2a+3b=(-2,4)+(6,15)=(4,19),故D正确.故选BD.
8.AC　因为=(6,-3),
所以=(4,-6),
因为P是线段AB的三等分点,
所以或.
当时,,所以,则点P的坐标为;
当时,,所以,则点P的坐标为.
综上,点P的坐标为或.
故选AC.
易错警示　若P是线段AB的三等分点,则P有两种可能:一种是靠近A的三等分点,一种是靠近B的三等分点.
9.B　以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
由题意得AC=2,则A(0,2),C(0,0),D(-2,0),所以).
因为=λ+μ,所以
解得所以λ+μ=.故选B.
10.解析　(1)∵O(0,0),A(1,2),B(3t,3t),
∴=(3t,3t),
∴=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
若点P位于第二象限,则∴-.
(2)由题意得=(3-3m,3-3m).
若四边形OABP为平行四边形,则,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
11.解析　(1)易得=(-5,1),设D(x,y),则=(x,y)-(-1,4)=(x+1,y-4),
因为,所以解得
所以点D的坐标为(-6,5).
(2)设P(a,b),则=(-2-a,2-b),因为,所以
解得所以点P的坐标为.
(3)易得=(-2,2),
所以=λ+μ=λ(3,1)+μ(-2,2)=(3λ-2μ,λ+2μ),
所以解得
12.A　若,则x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,故a∥b,充分性成立;不妨取a=(0,1),b=(0,2),此时a∥b,但不满足,必要性不成立.所以“”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
13.D　由题意可得,=(-2,6),则,又AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线.故选D.
14.A　易得a+b=(4,sin α),因为(a+b)∥c,所以4cos α=2sin α,则
tan α==2.
15.ABC　因为a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a=-b,b-a=(-2,4),所以a∥b,a+b=0,b-a=-2a,所以b-a与a反向,又a∥b,所以{a,b}不可以作为一组基.故选ABC.
16.A　ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),
因为ma+nb与a-2b共线,
所以(2m-n)×(-1)=(3m+2n)×4,
即14m=-7n,所以.故选A.
17.答案　{m|m≠2}
解析　因为A,B,C三点不共线,即不共线,易得=(-3,m+1),又=(-1,m-1),
所以-(m+1)≠-3(m-1),解得m≠2.
故实数m的取值范围为{m|m≠2}.
18.答案　(6,-9)或(-2,15)
解析　解法一:由题意得=(2,-6),
设M(x,y),可得=(x-2,y-3),
因为点M在直线AB上,且||,
所以=±2,
当时,解得即点M(6,-9);
当时,解得即点M(-2,15).
综上,点M的坐标为(6,-9)或(-2,15).
解法二:设M(x,y),因为点M在直线AB上,且||,所以=±2,
当时,,由定比分点坐标公式可知x=×2+×4=6,y=×3+×(-3)=-9,所以点M(6,-9);
当时,,由定比分点坐标公式可知x=×2+×4=-2,y=×3+×(-3)=15,所以点M(-2,15).
综上,点M的坐标为(6,-9)或(-2,15).
记忆结论　定比分点的坐标表示
已知A(x1,y1),B(x2,y2),若存在一个实数λ(λ≠-1),使=λ,O为坐标原点,则有,点M的坐标为.
19.解析　(1)∵b=(-1,2),c=(1,-1),
∴λb+μc=(-λ,2λ)+(μ,-μ)=(-λ+μ,2λ-μ),
又a=λb+μc=(3,2),
∴解得∴λ+μ=13.
(2)∵a=(3,2),b=(-1,2),c=(1,-1),
∴a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-3,5),
又a+kb与2b-c共线,∴5×(3-k)=-3×(2+2k),
解得k=-21.
方法总结　在已知两向量共线求参数的问题中,参数一般设置在两个位置,一是向量坐标本身含有参数,二是相关向量用两向量的含参关系式表示.解题时应根据向量共线的坐标表示建立方程(组)求解.
20.解析　(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),
则解得∴B(3,1),
同理可得D(-4,-3),
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2==-1,∴M.
(2)由(1)知,B(3,1),D(-4,-3),则=(-7,-4),∵P(2,y),∴=(1,1-y),∵P,B,D三点共线,∴∥,∴-4+7×(1-y)=0,解得y=.
方法总结　(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(x,y),则x=.
(2)三点共线问题可转化为相应两向量共线问题求解,如要证A,B,C三点共线,只需证∥,再借助向量共线基本定理或共线的坐标形式加以解决即可.
能力提升练
1.D　由题意得,点C在第三象限内,因为|,且∠AOC=,所以C(-2,-2),所以=(-2,-2),
又=λ,
所以(-2,-2)=λ(-3,0)+(0,-2)=(-3λ,-2),所以λ=.
2.C　如图所示,以OC,OB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(,1),B(0,2),C(-1,0),
∴=(-1,0),
∵,
∴(0,2)=x(x-y,x),
∴x=2,y=2,故.故选C.
3.D　对于A,若a与b共线,则mq=np,所以a b=mq-np=0,故A中说法正确;
对于B,a b=mq-np,a·b=mp+nq,则(a b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(mq)2+(np)2-2mnqp+(mp)2+(nq)2+2mnqp=m2(q2+p2)+n2(q2+p2)=(m2+n2)(q2+p2)=|a|2·|b|2,故B中说法正确;
对于C,(λa) b=λmq-λnp=λ(a b),故C中说法正确;
对于D,a b=mq-np,b a=pn-qm,不一定相等,故D中说法错误.故选D.
4.D　以A为原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),
则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),
所以=(-3,4).
设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈R),
则=(4-3λ,4λ).
因为=(4m,4n),
所以消去λ,得m+n=1.
因为m>0,n>0,所以≥,
当且仅当m=n时,等号成立.
故的最小值为.
5.答案　
解析　设P(x,y),则=--x,-y,由||,得,整理得x2+y2=1,
易知=(2,1),
因为=λ+μ,所以(x+2,y)=λ+μ(2,1)=λ+2μ,μ,即
所以x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ),所以λ+2μ=(x+y+2),
由1=x2+y2≥2xy,得xy≤,当且仅当x=y=时等号成立,
所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2,解得-≤x+y≤,
所以λ+2μ=(x+y+2)≤,
当且仅当x=y=时等号成立,
即λ+2μ的最大值为.
6.C　由题图可知,A(3,3),B(5,6),C(m,10),
则=(m-5,4),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以3(m-5)=2×4,解得m=.
7.C　∵=(-b,0),
∴=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴与为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴≥4+2=8,
当且仅当,2a+b=1,即a=时取等号,故的最小值为8,故选C.
8.解析　(1)由题意可得=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,
∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的向量,
∴解得故λ的值为-.
(2)由(1)得,e2,
则e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)∵A,B,C,D四点按顺序连接可构成平行四边形,
∴.设A(x,y),则=(3-x,5-y),
又=(-7,-2),∴
解得∴点A的坐标为(10,7).
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