2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--4.3　诱导公式与对称　　4.4　诱导公式与旋转

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2025北师大版高中数学必修第二册
4.3　诱导公式与对称　　4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江西泰和中学月考)sin 300°cos 0°的值为(　　)
A.0　　　　B.
(2024河南洛阳强基联盟期末)已知函数f(x)=则f(
-1)=(　　)
A.-
3.的值是　　　　.
4.计算下列各式的值:
(1)sin;
(2)sin(-1 200°)cos 1 290°.
题组二　给值求值
5.(2024北京育才学校月考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若cos α=,则cos β=(　　)
A.
6.(2024江西抚州临川第十六中学月考)已知角α的终边上有一点P(1,3),则cos+2cos(-π+α)的值为(　　)
A.
7.(2024四川成都一联)若cos,则sin=(　　)
A.-
8.(2024江西宜春中学月考)已知cos,则sin
=　　　　.
(2023北京朝阳期末)已知角α∈,若sin(π+α)=,则α=
　　　　,sin=　　　　.
题组三　 化简、证明
10.设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(其中a,b,α,β均为非零实数),若f(2 005)=5,则f(2 024)的值为　　　　.
11.化简:(k∈Z).
12.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
题组四　诱导公式的综合应用
13.(多选题)已知函数f(x)=sin,则以下结论恒成立的是(　　)
A.f(-x)=-f(x)　　　　B.f(-x)=f(x)
C.f(2π-x)=f(x)　　　　D.f(π+x)=f(2π-x)
14.(2023江苏南通中学开学考试)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　)
A.-　　　　
C.
15.(2024江西抚州月考)从cos,sin ,cos ,sin ,sin 这五个数中任取两个数,则这两个数相等的概率为　　　　.
16.(2024江西宜春联考)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动,点M转一周的时间为12秒,若点M的初始位置为,则经过3秒,动点M所处的位置的坐标为　　　　.
17.(2023重庆第一中学校期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+π)-f(x)=sin x,且f ,则f =　　　　.
18.(2023北京顺义期末)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第一象限的点P.
(1)求y1的值;
(2)将角α的终边绕坐标原点O按逆时针方向旋转角β后与单位圆交于点Q(x2,y2),请从下面的①、②、③这三个条件中任意选择一个作为已知条件,求的值.
①β=.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
1.D　sin 300°cos 0°=sin(360°-60°)=sin(-60°)=-sin 60°=-.故选D.
2.A　由题意可得f(-1)=sin.故选A.
3.答案　-2
解析　原式=
=
=
==-2.
4.解析　(1)sin
=sin+cos π+1=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)
=-sin 120°·cos 210°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)
=sin 60°cos 30°
=.
5.C　由题意得β=180°-α+k·360°,k∈Z,所以cos β=cos(180°-α+k·360°)=-cos α=-.故选C.
6.D　因为角α的终边上有一点P(1,3),所以由三角函数的定义得sin α=,cos α=,所以cos+2cos(-π+α)=-sin α-2cos α=-.故选D.
7.A　因为cos,即cos,
所以sin,则sin.故选A.
8.答案　-
解析　sin.
方法总结　利用诱导公式解决给值求值问题时,先寻找未知角与已知角之间的联系,再利用诱导公式把未知角的三角函数用已知角的三角函数表示出来,从而得出结论.
9.答案　
解析　因为sin(π+α)=,所以-sin α=,
所以sin α=-,
又角α∈,所以α=,
所以sin=sin =sin2π-=-sin .
10.答案　3
解析　因为函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,
所以f(2 005)=asin(2 005π+α)+bcos(2 005π+β)+4=-asin α-bcos β+4=5,
所以asin α+bcos β=-1,
所以f(2 024)=asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)+4=asin α+bcos β+4=3.
11.解析　当k=2n(n∈Z)时,
原式=
=
==-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
==-1.
综上,原式=-1.
易错警示　在化简含参的三角函数式时,要注意对参数进行分类讨论.
12.证明　①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin
=sin,
右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos
=cos,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
13.AC　f(-x)=sin=-f(x),故A正确,B错误;
f(2π-x)=sin=f(x),故C正确;
f(π+x)=sin,而由C中分析知f(2π-x)=sin ,故D错误.
故选AC.
14.B　因为f(sin x)=cos 3x,cos 10°=sin 80°,
所以f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.
因为cos 10°=sin 100°,
所以f(cos 10°)=f(sin 100°)=cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=,
故f(cos 10°)=±,故选B.
15.答案　
解析　由诱导公式,得cos=sin =sin ,cos =sin=sin .
易知从五个数中任取两个数,有10种不同的情况,cos,sin ,sin 这三个数相等,从这三个数中任取两个数,有3种不同的情况,
cos 与sin 相等,取出这两个数,有1种情况,
故从五个数中取出的两个数相等的情况有3+1=4(种),所以所求概率P=.
16.答案　
解析　∵点M转一周的时间为12秒,∴经过3秒,点M转了rad,
设点M的初始位置的坐标为(cos α,sin α),
则cos α=,sin α=,
故经过3秒,动点M所处的位置的坐标为,即M(-sin α,cos α),
∴经过3秒,动点M所处的位置的坐标为-.
17.答案　-
解析　由题可得f(x+π)=f(x)+sin x,
所以f(x+π+π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x+π)-sin x
=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以f(x+2π)=f(x),
所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数,
所以f=f=f.
对于f(x+π)-f(x)=sin x,
令x=,得f -f =sin ,
所以f =f =f ,
所以f =f .
18.解析　(1)因为角α的终边与单位圆交于第一象限的点P,所以解得y1=.
(2)易得sin α=,cos α=,sin(α+β)=y2,cos(α+β)=x2.
若选条件①β=,
则.
若选条件②β=π,
则.
若选条件③β=,
则.
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