2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--5.1　向量的数量积

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2025北师大版高中数学必修第二册
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量数量积的定义
1.(2022陕西榆林十中期中)已知圆O的半径为3,圆心为O,点A和点B在圆O上,且AB=3,则·=(　　)
A.4　　　　B.　　　　
C.5　　　　D.
2.已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4,则a·b=(　　)
A.12　　　　B.-12
C.5　　　　D.12或-12
3.(2022黑龙江哈三中三检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,O为△ABC的外心,则·=(　　)
A.5　　　　B.2　　　　
C.-4　　　　D.-6
4.(2024江西九江期末)如图,单位圆M与数轴相切于点O,把数轴看成一个“皮尺”,对于任意一个正数α,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,点A对应圆M上的点A',这样就得到一个以M为顶点,MO为始边,MA'为终边的圆心角∠OMA',记∠OMA'=α,若扇形OMA'的面积为,则·=(　　)
A.
题组二　投影向量和投影数量
5.(2024江西南昌期末调研)已知向量在方向上的投影向量为,且||=2,则||=(　　)
A.2　　　　B.
6.(2024江西宜春中学月考)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,则向量a在b方向上的投影数量为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
7.(2023湖北新高考联考协作体期末)若向量a在b方向上的投影向量为4b,且|b|=2,则数量积a·b=　　　　.
8.(2022湖南长沙一中月考)在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,则在方向上的投影数量为　　　　.
9.(2024河南濮阳外国语学校月考)如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则·的取值范围是　　　　.
题组三　向量数量积的运算性质与应用
10.(2022广西百校联盟暨桂林质检)给出下列五个命题:
①|a|2=a2;
②=;
③(a·b)2=a2·b2;
④(a-b)2=a2-2a·b+b2;
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是(　　)
A.①②③　　　　B.①④
C.②④　　　　D.②⑤
11.(2024江西师范大学附属中学月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则|2a-b|=(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.13
12.(2024山东淄博实验中学月考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=(　　)
A.36　　　　B.-36　　　　C.32　　　　D.-32
13.(2024四川绵阳南山中学月考)已知a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,且(a+λb)⊥(2a-λb),则实数λ的值为(　　)
A.2　　　　B.±2　　　　C.
14.(2024江西宜春丰城第九中学期末)若O是△ABC所在平面内的一点,且满足||,则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形　　　　 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.直角三角形
15.(2023浙江Z20名校联盟联考)已知△ABC是边长为1的正三角形,,则·=(　　)
A.　　　　D.1
16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若·=-3,则cos∠DAB=　　　　.
17.(2024安徽六安一联)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=,∠BAC=30°,F是线段AC上的动点(异于端点),点E在BC边上,且.
(1)若F是AC边的中点,求·的值;
(2)当·时,请确定点F的位置.
18.(2023吉林四平第一高级中学月考)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一个动点(不含端点),且满足(0<λ<1).
(1)若λ=,用向量表示;
(2)若||=2,且∠AOB=120°,求·的取值范围.
能力提升练
题组　向量数量积及其运算性质的应用
1.(2022湖北新高考协作体联考)已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在CD上,且,则·=(　　)
A.-　　　　D.4
2.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=(　　)
A.
3.(2024安徽定远三中月考)《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　
C.
4.(2022河南省实验中学期中)如图所示,点C在以O为圆心,2为半径的圆弧上运动,且∠AOB=,则·的最小值为(　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.2
5.(多选题)(2024江西多校教学质量检测)已知a,b,c是三个非零向量,则下列说法正确的是(　　)
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
C.若|a-b|=|a|+|b|,则a∥b
D.若a∥c,则(a·b)c=(b·c)a
6.(2024江西新余期末质量检测)在△ABC中,BC=6,∠ACB=60°,AB,BC上的点M,N满足,P为AC的中点.
(1)若,求实数λ,μ的值;
(2)若·=-8,求线段AC的长.
7.(2024江西南昌期末调研)如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,,BE与AC,AF分别相交于M,N两点.
(1)若(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若AB=2AE=2,∠BAD=,求||;
(3)若BE⊥AF,求cos∠ACB的最小值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
1.B　由题意得∠BAO=60°,OA=AB=3,故·=3×3×cos 60°=.
2.D　∵向量a与向量b平行,∴向量a与向量b的夹角θ为0°或180°,
当θ=0°时,a·b=3×4×cos 0°=12,
当θ=180°时,a·b=3×4×cos 180°=-12,故选D.
易错警示　本题要注意两向量平行时其夹角有两种情况:0°和180°.
3.D　由已知得∠ABC=30°,∴<>=150°,又O为Rt△ABC的外心,∴O是AB的中点,∴AO=AB=2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,∴BC=,∴·|·||·cos 150°=2×2=-6.
4.A　设圆M的半径为R,则R=1,由题知,扇形OMA'的面积S=αR2=α=,解得α=,所以△MOA'为等边三角形,所以OA'=1,∠AOA'=,所以·|cos∠AOA'=×1×cos π.故选A.
5.D　因为向量在方向上的投影向量为,则⊥,所以在△ABC中,∠ACB=90°,
又||=2,所以||=2,
所以|,故选D.
6.B　根据题意,得a·b=|a||b|cos 120°=2×4×=-4,所以向量a在b方向上的投影数量为=-1.
7.答案　16
解析　设a,b的夹角为θ,则|a|cos θ=4|b|,
所以a·b=|a||b|cos θ=4|b|2=16.
方法总结　若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影,则可利用数量积的几何意义求两向量的数量积.
8.答案　
解析　由已知可得AB2=AC2+BC2,则BC⊥AC,所以cos A=,即cos<,所以在方向上的投影数量为|>=4×.
9.答案　[0,2]
解析　·|·||·cos∠AOP,即·等于||与在方向上的投影数量的乘积,
由题图可得||=2,0≤||·cos∠AOP≤1,
所以·的取值范围为[0,2].
10.B　
11.B　由题意得a·b=|a||b|cos =1×,则|2a-b|=.故选B.
12.B　设a与b的夹角为θ,则cos θ=,故(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3|a||b|cos θ-2|b|2=2×4+3×2×5×-2×25=-36.
13.B　∵(a+λb)⊥(2a-λb),
∴(a+λb)·(2a-λb)=2a2+λa·b-λ2b2=0,①
又a,b相互垂直,∴a·b=0,②
把②代入①,得2a2-λ2b2=0,即2×2-λ2=0,
解得λ=±2.
14.D　∵||,
||,
||,
∴||,即,
即··,
∴·=0,即⊥,故△ABC为直角三角形,
∵AB不一定等于AC,∴△ABC不一定为等腰直角三角形.故选D.
15.A　由,可知E为BC的中点,因为△ABC是边长为1的正三角形,所以AE⊥BC,AE=,如图所示:
因为,所以,
所以··.
16.答案　
解析　∵,∴,
∴.
∵,
∴··
=·
=×32-×4×3×cos∠DAB-×42=-3,
∴cos∠DAB=.
解析　由题意知,.
(1)因为F是AC边的中点,
所以,
因此··.
(2)不妨设=λ,λ∈(0,1),则+λ,
因为·|cos 30°=,
所以··(-+λ·=-2+λ+(2λ-1)·+1)λ-2-,又·,
所以(+1)λ-2-,
解得λ=,即,
故F是线段AC上靠近点A的四等分点.
18.解析　(1)因为=λ,所以,
所以,当λ=时,.
(2)由(1)可知,
所以··()
=-·.
因为||=2,∠AOB=120°,
所以·×6×2×,
由题知0<λ<1,所以-52<-<-26,
所以-42<·<-16,
即·的取值范围为(-42,-16).
能力提升练
1.C　由题意可知·)·(·)··,
∵,∴,
∴··.
由题意得AB=2,∵D是斜边AB的中点,
∴CD=,
∴·×(.故选C.
2.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,
则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,
由3a+4b+5c=0,得c=-b,
所以(a-b)·c=(a-b)·a·b=,
易知|a-b|=,
所以cos=.故选B.
3.D　在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则HC∥AB,
易知∠ABC=∠BCD=135°,所以∠BCH=45°,所以∠HCD=90°,
在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,
所以·|×||cos∠CHD=||×|.
4.B　如图,连接AB,OC,过O作OP垂直于AB于点P,则P为AB的中点.
∵OA=OB=2,∠AOB=,∴∠OBP=,
∴OP=OB·sin∠OBP=2×=1.
设<>=θ,则θ∈,
∴·)·()
=·)·
=2×2×cos·+4
=2-2×1×2×cos θ=2-4cos θ,θ∈,
易知当θ=0时,·取得最小值,为2-4×1=-2,
∴·的最小值为-2.故选B.
5.BCD　对于A,由a·c=b·c,得|a|cos=|b|·cos,不一定有a=b,故A错误;
对于B,因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以a·b=0,所以a⊥b,故B正确;
对于C,因为|a-b|=|a|+|b|,所以|a-b|2=(|a|+|b|)2,即a2-2a·b+b2=a2+2|a||b|+b2,
所以cos=-1,故a与b反向,所以a∥b,故C正确;
对于D,因为a∥c,所以存在实数λ,使得a=λc,此时(a·b)c=(λc·b)c=λ(c·b)c,(b·c)a=(b·c)·λc=λ(c·b)c,即(a·b)c=(b·c)a,故D正确.
故选BCD.
6.解析　(1)因为,
所以,
又=λ+μ,所以λ=,μ=-.
(2)因为P为AC的中点,
所以,
由(1)知,,
所以···×62-×6×||××||2=-8,解得||=8(负值舍去),
即线段AC的长为8.
7.解析　(1)因为E为AD的中点,所以AE=AD,
所以,
因为=λ+μ,
所以λ=-,μ=1,故λ+μ=-.
(2)由题知,,
因为,所以,
设,x,y∈(0,1),
则=y=y,
又A,M,C三点共线,A,N,F三点共线,
所以解得
则,
故|·)2+2×2
×cos)2=49,
所以||=7,故|.
(3)因为,所以,
因为BE⊥AF,所以·=0,
所以·=0,
即·,
所以|·||cos∠ACB=||2,
所以cos∠ACB=≥,当且仅当||时,等号成立,所以cos∠ACB的最小值为.
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