2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--5.1　正弦函数的图象与性质再认识

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2025北师大版高中数学必修第二册
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　正弦函数的图象
1.以下对正弦函数y=sin x的图象的描述不正确的是 (　　)
A.当x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)且k取不同值时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
2.函数y=1+sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(　　)
3.(2024四川绵阳期末)函数f(x)=-sin|x|在区间[-π,π]上的图象大致是(　　)
　　　　
　　　　
题组二　正弦函数图象的应用
4.(2022陕西西安铁路中学月考)不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集是(　　)
A.
C.
5.(2022辽宁沈阳铁路实验中学一模)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(2024浙江温州联考)已知a为实数,且满足a=sin x+1(x∈[-π,π])的x的值只有1个,则实数a的值为(　　)
A.0　　　　 B.1　　　　
C.1或2　　　　D.0或2
7.(2024四川成都期末)函数f(x)=sin +ln x的零点个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
8.(2023河南开封通许第一高级中学期末)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(　　)
A.[0,3]　　　　B.[1,3]　　　　
C.(1,3)　　　　D.(0,3)
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是　　　　　　　　　.
10.用“五点法”作出函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象,并写出使1≤y≤2 成立的x的取值范围.
题组三　正弦函数的性质及应用
11.已知函数f(x)=-sin x,则下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上单调递减
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
12.(2024重庆第一中学校期末)函数f(x)=ln(2sin2x-5sin x+2)的定义域是(　　)
A.(k∈Z)　　　　
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
13.(2024安徽A10联盟开学联考)函数f(x)=的值域是　　　　.
14.(2023江苏镇江期初考试)已知函数f(x)=asin x+2>0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围为　　　　.
15.(2024上海建平中学一检)已知函数f(x)=sin x+x+x3+2,若f(m)=4,则f(-m)=　　　　.
16.(2024江苏扬州大学附属中学月考)已知f(x)=-sin2x+asin x+2,若a=,求f(x)在上的值域.
17.判断下列每组中两个三角函数值的大小.
(1)sin(-3)与sin(-2);
(2)sin与sin;
(3)sin与cos.
能力提升练
题组一　正弦函数的图象及应用
1.(2024山西运城期末)函数f(x)=sin x的大致图象是(　　)
　　　　
　　　　
2.函数f(x)=(x-π)sin x+1在区间[-2π,4π]上的所有零点之和为　　(　　)
A.0　　　　B.π　　　　C.4π　　　　D.8π
3.(2024湖南邵阳期末)已知函数f(x)=2sin x,若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1A.5　　　　B.6　　　　
C.7　　　　D.8
题组二　正弦函数的性质及应用
4.函数y=(　　)
A.是奇函数,但不是偶函数
B.既是奇函数,也是偶函数
C.是偶函数,但不是奇函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
5.(2022江苏靖江调研)已知函数f(x)=-4sin2 x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为(　　)
A.
C.
6.(多选题)(2024湖北荆门期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)的周期为π
7.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知x,y∈,则“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=ln+sin x,则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是　　　　.
9.已知函数f(x)=,且f(x-2)+f(-x)-a>0.
(1)a的取值范围为　　　　;
(2)f(x)的最大值与最小值的和为　　　　.
10.(2024贵州遵义期末)已知f(x)=-sin2x+sin x+a.
(1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈R,恒有1≤f(x)≤,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§5　正弦函数、余弦函数的
图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.C　由正弦函数y=sin x的图象可知,C项不正确.
2.A　根据五点法找出五个关键点,分别为(0,1),,(2π,1),依此五点判断可知A项符合.
3.A　f(-x)=-sin|-x|=-sin|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,C;当x∈(0,π)时,f(x)=-sin|x|<0,排除D,故选A.
4.A　在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-,如图所示:
由图可知,原不等式的解集为.故选A.
5.C　不等式可化为sin x≤.在同一平面直角坐标系内作出正弦曲线y=sin x及直线y=,如图所示.
由图可知,原不等式的解集为x2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
D　在同一平面直角坐标系内作出直线y=a及函数y=sin x+1(x∈
[-π,π])的图象,
由图可知,当直线y=a与曲线y=sin x+1在x∈[-π,π]上只有1个交点时,a=0或a=2.故选D.
7.B　函数f(x)=sin +ln x的零点个数,即y=-sin 与y=ln x(x>0)的图象的交点个数,在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图:
结合图象可知,两个函数图象的交点有1个,因此函数f(x)=sin +ln x的零点有1个.故选B.
8.C　f(x)=sin x+2|sin x|=
在同一平面直角坐标系中作出f(x)的图象和直线y=k,如图所示,
若使函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(1,3).
9.答案　2kπ,k∈N
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图所示,
由图可知,不等式的解集为x-10.解析　按五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=1-sin x 1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:
由图可知,当x∈{0}∪[π,2π]时,有 1≤y≤2成立.
11.C　最小正周期T==2π,故A正确;
y=sin x在上单调递增,则f(x)=-sin x在上单调递减,故B正确;
结合函数f(x)=-sin x的图象(图略)可知, f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,是奇函数,故C错误,D正确.故选C.
12.C　令2sin2x-5sin x+2>0,整理得(2sin x-1)(sin x-2)>0,解得sin x<或sin x>2,
又-1≤sin x≤1,因此-1≤sin x<.
由正弦函数的图象知2kπ-,k∈Z,
因此f(x)的定义域为(k∈Z).
故选C.
13.答案　
解析　f(x)=,
因为-1≤sin x≤1,所以1≤sin x+2≤3,
所以-4≤≤-,所以-2≤2+≤,即f(x)的值域是.
一题多解　令y=,去分母得ysin x+2y=2sin x,
即sin x=,由|sin x|≤1,得≤1,
即4y2≤(2-y)2,解得-2≤y≤,
所以f(x)的值域是.
方法总结　求解y=(ac≠0)型函数的值域的两种方法
(1)反解出sin x,得到sin x=f(y),再根据-1≤sin x≤1列出不等式 -1≤f(y)≤1,此不等式的解集即为此函数的值域.
(2)利用分离常数法,化为只有分母含sin x的函数,然后利用sinx的有界性,求得值域.
14.答案　-2解析　因为f(x)=asin x+2>0对任意实数x都成立,所以(asin x+2)min>0.
当a=0时,符合题意;
当a>0时,(asin x+2)min=-a+2>0 0当a<0时,(asin x+2)min=a+2>0 -2综上,实数a的取值范围为-2方法总结　对于恒成立或有解问题,求解时通常将其等价转化为最大值或最小值问题.
15.答案　0
解析　设F(x)=f(x)-2=sin x+x+x3,则F(x)的定义域为R,关于原点对称,
∵F(-x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数,
∵f(m)=4,
∴F(m)=f(m)-2=2,
∴F(-m)=-F(m)=-2,
即F(-m)=f(-m)-2=-2,
∴f(-m)=0.
一题多解　由f(x)=sin x+x+x3+2得f(x)+f(-x)=sin x+x+x3+2+sin(-x)
+(-x)+(-x)3+2=4,
所以f(m)+f(-m)=4+f(-m)=4,
即f(-m)=0.
16.解析　由题意知,f(x)=-sin2x+sin x+2,
当x∈时,sin x∈,
令t=sin x,则t∈,
g(t)=-t2+,
故g(t)在上单调递增,在上单调递减,
则f(x)min=g,
所以f(x)∈.
17.解析　(1)∵y=sin x在上单调递减,-,
∴sin(-3)>sin(-2).
(2)sin,
∵y=sin x在上单调递增,且-,
∴sin,即sin.
(3)sin,
∵y=sin x在上单调递减,且,
∴sin,
∴-sin,
∴sin.
能力提升练
1.B　根据题意,得f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=(-sin x)=f(x),
所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈时,f(x)<0,故排除A.故选B.
2.D　当x=π时,f(π)=0+1=1,所以π不是f(x)的零点.当x≠π时,令f(x)=(x-π)sin x+1=0,可得sin x=,作出函数y=sin x和y=的图象,如图,
它们均关于点(π,0)对称,由图象可知它们在[-2π,4π]上有8个交点,且这8个交点可分成4对关于点(π,0)对称的点,每对对称点的横坐标之和均为2π,所以这8个点的横坐标之和,即f(x)在区间[-2π,4π]上的所有零点之和,为8π.故选D.
3.B　在平面直角坐标系中画出f(x)=2sin x在区间[0,4π]上的图象,如图所示,
因为对任意xi,xj(i,j=1,2,…,m),都有|f(xi)-f(xj)|≤f(x)max-f(x) min=2-(-2)=4,
所以f(x)在区间[0,4π]上取得最大值和最小值的点共有4个,4×3=12,16-12=4,
要使m取得最小值,则可取|0-2|+|2-(-2)|+|-2-2|+|2-(-2)|+|-2-0|=16,
即m的最小值为6.故选B.
4.D　由题意知,1-sin x≠0,所以函数的定义域为,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
5.C　设t=sin x,则f(x)=-4sin2x+4sin x可转化为g(t)=-4t2+4t=
-4+1,所以g(t)≤g=1,且g(0)=0,又函数f(x)=-4sin2x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],所以≤a≤π,故实数a的取值范围为.故选C.
方法总结　对于y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的值域问题,常将sinx视为一个整体,将函数式看成关于sin x的“二次函数”,再通过配方法求值域.
AC　由题知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称,因为f(-x)=sin|-x|
+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;
当x∈[0,π]时,|x|=x,|sin x|=sin x≥0,所以f(x)=2sin x;
当x∈(π,2π)时,|sin x|=-sin x≥0,所以f(x)=0,所以f(x)的图象如图所示,
所以f(x)在上单调递增,故B错误;
f(x)的最大值为2,故C正确;
由图象可知,函数f(x)不是周期函数,故D错误.
故选AC.
7.A　设F(x)=x3+sin x,x∈,定义域关于原点对称,
因为F(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin x)=-F(x),
所以函数F(x)为奇函数,
又y=x3与y=sin x在x∈上均单调递增,
所以函数F(x)在上单调递增.
若x3+y3>-sin x-sin y,则x3+sin x>-y3-sin y,
即F(x)>F(-y),
所以x>-y,即x+y>0,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充分条件;
当x+y>0,即x>-y时,有F(x)>F(-y),
即x3+sin x>-y3-sin y,即x3+y3>-sin x-sin y,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的必要条件.
综上所述,“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充要条件.故选A.
8.答案　(,2)
解析　由>0,得-1因为f(-x)=ln+sin(-x)=-ln -sin x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
又f(a-2)+f(a2-4)<0,
所以f(a-2)<-f(a2-4)=f(4-a2).
由函数y=-1,y=sin x在(-1,1)上都单调递增,可得函数f(x)在其定义域上单调递增,
所以解得9.答案　(1)(-∞,2)　(2)2
解析　(1)由f(x)=,得f(x-2)+f(-x)=
==2,
所以2-a>0,即a<2,故a的取值范围为(-∞,2).
(2)解法一:由(1)知,f(x-2)+f(-x)=2,则f(x)的图象关于点(-1,1)对称,所以f(x)max+f(x)min=2.
解法二:f(x)=+1,
记g(x)=,则g(x-1)=,
易知g(x-1)在R上为奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=g(x-1)max+g(x-1)min=0,
所以f(x)max+f(x)min=1+g(x)max+1+g(x)min=2.
10.解析　(1)由f(x)=0,得a=sin2x-sin x=.
当sin x=-1时,amax=2;当sin x=时,amin=-.
故实数a的取值范围为.
(2)由1≤f(x)≤,得1≤-sin2x+sin x+a≤,则a≤sin2x-sin x+,且a≥sin2x-sin x+1对x∈R恒成立.
由sin2x-sin x++4≥4,得a≤4.
由sin2x-sin x+1=≤3,得a≥3.
故3≤a≤4,即实数a的取值范围为[3,4].
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