2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--5.2　向量数量积的坐标表示

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2025北师大版高中数学必修第二册
5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
基础过关练
题组一　向量数量积的坐标表示
1.(2024江苏南通质量监测)若向量a=(,1),b=(-1,),则a·(a-b)=(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.-2
2.已知过点A(1,1)的直线l的方向向量为m=(1,2),则原点O到直线l的距离为(　　)
A.
3.(2024安徽县中联盟联考)在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上,若·=1,则·=(　　)
A.
4.(多选题)(2024江西南昌第十中学月考)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是(　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影数量为
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
5.(2024江西宜春丰城第九中学期末)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=,AB=3,CD=1,若k与垂直,则k=　　　　;若P为AB边上的动点(不包括端点),则()·的最小值为　　　　.
题组二　向量长度的计算
6.已知|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则|a-b|=(　　)
A.　　　　D.4
7.(2023湖南衡阳第四中学开学考试)若平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(　　)
A.　　　　C.4　　　　D.12
8.(2024江西南昌二中月考)已知向量a=(2,0),b=,若向量b在向量a方向上的投影向量为c=,则|a+b|=(　　)
A.　　　　C.3　　　　D.7
9.(2023湖北宜昌英杰学校月考)已知向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=　　　　.
题组三　向量夹角的计算
10.(2024江西九江期末)已知a,b满足|a|=|b|=,a·b=-3,则cos=(　　)
A.
11.(2023浙江名校协作体开学考试)若向量a,b满足|a|=,|b|=2,a⊥(a-b),则a与b的夹角为(　　)
A.
12.(多选题)(2024江苏常州联盟学校调研)已知a=(t,1),b=(2,t),t∈R,则下列说法正确的是　(　　)
A.|a|的最小值为1
B.若a⊥b,则t=0
C.若t=1,则与a垂直的单位向量为
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0)
能力提升练
题组一　向量长度与夹角的计算
1.已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则||=(　　)
A.
2.(2024陕西咸阳实验中学月考)已知平面向量a,b,|a|=2,当|a-tb|最小时,t|b|=,则a与b的夹角为(　　)
A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°
3.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　 B.
C.∪(1,)
4.(多选题)(2024海南琼中中学月考)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),
c=a+λb,λ∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=-时,|c|最小
B.当|c|最小时,b⊥c
C.当λ=1时,a与c的夹角最小
D.当a与c的夹角最小时,a=c
5.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,2a+b=0,2|c-a|=|c-b|,则c-b与a夹角的最大值为　　　　.
6.(2024湖南师范大学附属中学月考)在△OAB中,·|=4,E点满足(t∈R),D为OB的中点.
(1)当t=时,求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值;
(2)求||的最小值及相应的t的值.
题组二　向量数量积坐标表示的综合应用
7.(2022河南名校期中联考)在正方形ABCD中,AB=2,P为BC的中点,Q为CD的中点,M为边AB上的动点(包括端点),则·的取值范围为(　　)
A.　　　　D.[-1,1]
8.(2024山西部分学校联考)美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高学生的审美素养具有积极作用.下图是某学生关于“杯子”的联想创意图,它是由一个正方形和三个半圆组成的,其中A,B是正方形的两个顶点,P是三段圆弧上的动点,若AB=4,则·的取值范围是(　　)
A.[-24,24]　　　　 B.[-8,24]　　　　
C.[-16]
9.(2024福建莆田二中段考)已知⊥.若P是△ABC所在平面内一点,且,则·的最大值为(　　)
A.13　　　　B.5-2　　　　
C.5-2
10.如图,在等腰梯形ABCD中,高为a,下底BC的长为3,底角C为45°,E为上底AD的中点,F为折线段C-D-A上的动点,设·的最小值为g(a),若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　.
11.(2024天津第五中学月考)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6.
(1)求·的值;
(2)若·,求实数λ的值;
(3)在(2)的条件下,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,求·的最小值.
12.(2023黑龙江鹤岗一中月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2).
(1)若四边形ABCD为平行四边形,求与夹角的余弦值;
(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求·的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
基础过关练
1.A　由题知a-b=(),
所以a·(a-b)=×(=3.
2.B　设n=(x,y),且n⊥l,则n⊥m,
所以n·m=(x,y)·(1,2)=x+2y=0,
令y=-1,则x=2,n=(2,-1),
而=(-1,-1),
所以点O到直线l的距离d=·==.故选B.
3.C　建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(0,),B(0,0),E(1,0),设F(2,y),0≤y≤,
则=(2,y),
由·=1,得1×2-y=1,解得y=,
所以F,则,
又),所以·=0×2-=2,故选C.
4.CD　对于A,由题知,a·b=2-1=1>0,∴a与b的夹角不为钝角,故A错误;
对于B,,∴向量a在b方向上的投影数量为,故B错误;
对于C,a-b=(1,2),∵(a-b)∥c,∴2(m-2)=-n,即2m+n=4,故C正确;
对于D,4=2m+n≥2,即mn≤2,当且仅当2m=n=2时,等号成立,∴mn的最大值为2,故D正确.
故选CD.
5.答案　
解析　过D作DO⊥AB于O,因为四边形ABCD为等腰梯形,∠ABC=,AB=3,CD=1,所以AO=1,OB=2,∠DAB=45°,所以OD=1,
以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),
所以=(2,1),
故k=(3k,0)-(1,1)=(3k-1,-1),
因为k与垂直,
所以(3k-1)×2+(-1)×1=0,解得k=.
设P(x,0),-1所以()·=(1-2x,2)·(-1-x,0)=2x2+x-1,
令y=2x2+x-1,则函数y的图象的对称轴为直线x=-,
易知函数y=2x2+x-1在(-1,2)上的最小值为2×,
故()·的最小值为-.
6.A　(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos+12=3,所以|a-b|=.故选A.
7.B　易得|a|==2,a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×=1,
∴|a+2b|=,故选B.
B　由已知可得,b在a方向上的投影向量为·(2,0)=(
sin α,0),
又b在a方向上的投影向量为c=,所以sin α=,
故b=,则a+b=,
所以|a+b|=.
9.答案　
解析　因为a⊥c,所以a·c=(x,1)·(-2,2)=-2x+2=0,解得x=1.因为b∥c,所以-2y=4,解得y=-2,
所以a=(1,1),b=(2,-2),
所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=.
10.B　∵a·(a+b)=a2+a·b=5-3=2,|a+b|==2,
∴cos=.
11.A　因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=2-|a||b|cos=2-2cos=0,
解得cos=,又∈[0,π],
所以=.
12.AB　|a|=,当t=0时,|a|取得最小值,为1,故A正确;
若a⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B正确;
若t=1,则a=(1,1),
设与a垂直的单位向量为m=(x,y),
则解得或
故与a垂直的单位向量为或,故C错误;
若a与b的夹角为钝角,则cos=<0,且向量a与b不共线,即t2-2≠0,解得t<0且t≠-,故D错误.
易错警示　(1)当向量a与b的夹角为钝角时,不仅要考虑a·b<0,而且还要排除两向量共线的情形,因为当两向量夹角为180°时,夹角的余弦值为-1,但180°不是钝角.
(2)与非零向量a=(x,y)垂直的单位向量的坐标为±,正、负号表示不同的方向.
能力提升练
1.D　如图,建立以A为原点的平面直角坐标系,连接EF,交AC于点G,
由题意得,AE=ABsin 60°=2,
所以AG=AEcos 30°=3,EG=AEsin 30°=,
所以E(3,-),
所以),
所以),
所以|.
2.D　设a与b的夹角为θ,则|a-tb|2=|a|2+t2|b|2-2ta·b=t2|b|2-4|b|tcos θ+4,
由二次函数的图象可知,当且仅当t=时,|a-tb|2取得最小值,此时|a-tb|最小,
将t=代入t|b|=得cos θ=,
因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°.故选D.
3.C　设表示向量a,b的有向线段的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1),所以∠AOX=.如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=,∠B2Ox=,故B1),又a与b的夹角不为0,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).
4.ABD　由题意得c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),则|c|2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=5+10λ+25λ2=25+4,
当λ=-时,|c|取得最小值,故A正确;
当|c|最小时,c=,所以b·c=-3×+4×=0,所以b⊥c,故B正确;
设向量a与c的夹角为θ,则cos θ=,
要使向量a与c的夹角最小,则cos θ最大,由于θ∈[0,π],所以cos θ的最大值为1,令=1,解得λ=0,所以当λ=0时,a与c的夹角最小,此时a=c,故C错误,D正确.
故选ABD.
5.答案　
解析　∵2a+b=0,∴b=-2a,
∵2|c-a|=2|c-b+b-a|=|c-b|,即2|c-b-3a|=|c-b|,∴4[(c-b)2-6a·(c-b)+9a2]=(c-b)2,
又|a|=1,∴(c-b)2-8a·(c-b)+12=0,
∴a·(c-b)=,
∴cos=≥,
当且仅当(c-b)2=12,即|c-b|=2时取等号,
又∈[0,π],
∴c-b与a夹角的最大值为.
6.解析　(1)由·=0,得⊥,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则O(0,0),A(2,0),B(0,4),D(0,2),故=(-2,2),
因为,所以E为AB的中点,故E(1,2),
所以=(1,2),
设与的夹角为θ,
则cos θ=,
所以直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值是.
(2)解法一:由(1)知=(-2,0),则=(-2t,4t),
则|,
故当t=时,||取得最小值,为.
解法二:(t∈R)表示E是直线AB上任意一点,||,其最小值就是原点O到直线AB的距离,设为d,
则||·d=||·||,可得d=,
此时|,则t=,
故当t=时,||取得最小值,为.
7.D　以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则P(1,0),Q(2,1),
设M(0,n),则0≤n≤2,
所以·=(1,1)·(-1,n)=n-1,
因为0≤n≤2,所以-1≤n-1≤1,
即·∈[-1,1].故选D.
8.B　如图,作CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D,F,且CD与左半圆相切,切点为C,EF与右半圆相切,切点为E.
·>,其中|>为在方向上的投影数量,
因为AB=4,所以三个半圆的直径均为4,所以AD=BF=2.
当P与E重合时,|>取得最大值,最大值为4+2=6,此时·取得最大值,为4×6=24;
当P与C重合时,|>取得最小值,最小值为-2,此时·取得最小值,为4×(-2)=-8.
故·的取值范围是[-8,24].
9.B　
思路分析　
解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(t,0),C=(0,2),
所以=(1,2),即P(1,2),
故,
所以·≤5-2,当且仅当t=,即t=时,等号成立.所以·的最大值为5-2.故选B.
10.答案　
解析　以B为坐标原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,使A在第一象限内,
则B(0,0),A(a,a),E,
易知当F落在A点时,·取最小值g(a),
即g(a)=·(a,a)=a2+,
若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实数根,
则a2+a+1=0在a∈上有两个不相等的实数根,
故解得.
故实数k的取值范围是.
11.解析　(1)·|·||cos 120°=3×6×=-9.
(2)因为=λ,所以AD∥BC,所以∠BAD=120°,
所以·|cos∠BAD=-,
解得||=1,又||=6,所以,即λ=.
(3)以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为∠ABC=60°,AB=3,
所以A,则D,
不妨设M(x,0),N(x+1,0),
因为M,N是线段BC上的两个动点,
所以解得0≤x≤5,
易得,
所以·,
所以当x=2时,·取得最小值,为.
12.解析　(1)由题可得=(0,-3).
设D(x,y),则=(1-x,2-y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以,
所以解得即D(-5,6),
所以=(12,-5).
设与的夹角为θ,则cos θ=
=,
所以与夹角的余弦值为.
(2)因为M,N分别是线段AC,BC的中点,
所以M,所以,
因为点P在线段MN上运动,所以可设=λ,λ∈[0,1],则=(3λ,
-2λ),
所以,
所以·=-3λ(6-3λ)+=13λ2-20λ-,0≤λ≤1.
令f(λ)=13λ2-20λ-,λ∈[0,1],
因为二次函数y=13x2-20x-的图象开口向上,对称轴方程为x=∈[0,1],且f(0)=-, f(1)=-,所以当λ=0时, f(λ)取得最大值-,
即·的最大值为-.
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