2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--5.2　余弦函数的图象与性质再认识

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2025北师大版高中数学必修第二册
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　余弦函数的图象及应用
1.用五点法作y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),,(2π,1)
B.(0,1),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),
2.(2024云南昆明期末)函数y=(|cos x|-cos x),x∈[0,2π]的大致图象为(　　)
　　　　　　　　
　　　　
3.使得sin x>cos x成立的一个区间是(　　)
A.　　　　
C.
4.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(　　)
A.没有实根　　　　B.有且仅有一个实根
C.有且仅有两个实根　　　　D.有无穷多个实根
5.(2024山东青岛期末)当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　
C.3π　　　　D.4π
题组二　余弦函数的性质及应用
6.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y=2sin x+1　　　　B.y=2sin x-3
C.y=2cos x+1　　　　D.y=2cos x-3
7.(2024湖北黄石二中月考)设a=cos 1,b=ln(cos 1),c=ecos 1,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b8.(多选题)(2023重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=|2cos x|,则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数f(x)在上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称
9.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
10.(2024福建厦门月考)已知函数f(x)的定义域为(2π,4π),则函数g(x)=的定义域为　　　　.
11.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],求b-a的值.
能力提升练
题组一　余弦函数的图象与性质及其应用
1.(2023北京房山诊断性评价)若角α,β是锐角三角形的两个内角,则下列各式中一定成立的是　(　　)
A.cos α>cos β　　　　
B.sin αC.cos α>sin β　　　　
D.cos α2.(2024广东深圳外国语学校期末)已知函数f(x)=cos(sin x),则f(x)=在[-π,π]内的解的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
3.(多选题)(2023江苏苏州实验中学期中)已知函数f(x)=cos x+,则(　　)
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象关于点中心对称
4.写出一个同时满足以下条件的函数:f(x)=　　　　　　　　.
①f(x)的解析式中含有cos x;
②f(x)的最大值为3,最小值为-1;
③f(x)在[0,1]上单调.
5.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　　　.
6.已知f(x)=-cos2x+acos x-.
(1)用a表示f(x)的最大值M(a);
(2)当M(a)=2时,求a的值.
题组二　正弦函数、余弦函数的综合应用
7.(2022河北廊坊期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f,且当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则(　　)
A.f(cos 120°)>f(sin(-20°))>f(sin 190°)
B.f(cos 120°)>f(sin 190°)>f(sin(-20°))
C.f(sin 190°)>f(cos 120°)>f(sin(-20°))
D.f(sin 190°)>f(sin(-20°))>f(cos 120°)
8.(2024湖南长沙长郡中学月考)若cos5θ-sin5θ<3(sin3θ-cos3θ),且θ∈[0,2π),则θ的取值范围为　　　　.
9.函数f(x)=|x-1|与g(x)=2cos的图象的所有交点的横坐标之和为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.B　
2.A　设f(x)=cos x,x∈[0,2π],令f(x)≥0,得x∈∪,令f(x)<0,得x∈.
因此y=(|cos x|-cos x)=故选A.
3.A　在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=cos x的图象,如图所示:
由图象及选项知,在区间内满足sin x>cos x,故选A.
4.C　分别作出函数y=|x|,y=cos x的大致图象,如图所示,
由图可知这两个函数的图象有两个交点,即方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内有且仅有两个实根.故选C.
方法总结　形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题常转化为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数问题.
5.A　作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象,如图所示,
由图可知,当x∈(0,2π)时,两图象恰有2个交点,且这2个交点的横坐标分别为,
故所有交点的横坐标之和为=π.
6.C　选项A,B中的函数不是偶函数,不符合题意;选项C,D中的函数是偶函数,但选项D中的函数不存在零点.故选C.
7.C　因为0e0=1,所以b8.BD　f(x)=|2cos x|=2|cos x|,作出其大致图象,如图:
由图象可知,函数f(x)的最小正周期T=π,故A错误;
由图象可知,函数的单调递增区间为(k∈Z),故函数f(x)在上单调递增,故B正确;
当x∈时,cos x∈,f(x)∈[0,2],故C错误;
f(2 025π)=2|cos 2 025π|=2=f(x)max,故函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称,故D正确.
9.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以当且仅当-π10.答案　
解析　由f(x)的定义域为(2π,4π),得解得故g(x)的定义域为.
11.解析　易知当≤x≤π时,y=2cos x单调递减,因为当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cos π=-2,所以-2≤y≤1,即函数y=2cos x的值域是[-2,1],所以a=-2,b=1,所以b-a=1-(-2)=3.
能力提升练
1.D　由题意得,<α+β<π,且0<α<,
所以0<,
又函数y=cos x在上单调递减,
所以cos>cos α,即sin β>cos α,
又角α,β的具体大小不确定,所以A、B中式子不一定成立,故选D.
D　解法一: 依题意得cos(sin x)=,因为x∈[-π,π],所以sin x∈
[-1,1],令t=sin x,则t∈[-1,1],cos t=,解得t=或t=-,即sin x= 或
sin x= - ,在同一平面直角坐标系中画出函数t=sin x在x∈[-π,π]上的图象和直线t=±,如图,
由图可知,两图象有4个不同的交点,即f(x)=在[-π,π]内的解有4个.故选D.
解法二:易知f(x)=cos(sin x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,
又f(x+π)=cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为π,
由题知,cos(sin x)=,
故当x∈[0,π]时,sin x=,此时x有两个解,故函数f(x)在[0,π]内有两解,
又函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在[-π,0]内也有两解,
故f(x)=在[-π,π]内的解的个数为4.故选D.
BCD　∵cos x≠0,∴x≠kπ+,k∈Z,令t=cos x,则t∈[-1,0)∪(0,1],
g(t)=t+,易知g(t)=t+在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递减,∴g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∴f(x)没有最小值,故A错误;
∵x≠kπ+,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=cos(-x)+
=cos x+=f(x),
∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故B正确;
f(π+x)=cos(π+x)+=-cos x-,
f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-,
∴f(π-x)=f(π+x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确;
f =sin x+,
-f =-=sin x+,
∴f =-f ,∴f(x)的图象关于点,0中心对称,故D正确.
故选BCD.
4.答案　2cos x+1(答案不唯一)
解析　若f(x)=2cos x+1,则显然满足条件①;由cos x∈[-1,1],可得2cos x+1∈[-1,3],满足条件②;由于y=cos x在区间[0,1]上单调递减,所以f(x)=2cos x+1在区间[0,1]上单调递减,满足条件③.故答案为2cos x+1(答案不唯一).
5.答案　
解析　作出函数f(x)的图象如图,
令f(x)=t,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,只需方程t2+at+1=0有两个不同的实根t1,t2,且t1,t2∈(0,2).
设g(t)=t2+at+1,
则有
解得-因此实数a的取值范围是.
6.解析　(1)f(x)=-cos2x+acos x-
=-,
∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1.
①当0≤≤1,即0≤a≤2时,M(a)=;
②当>1,即a>2时,M(a)=f(0)=;
③当<0,即a<0时,M(a)=f .
∴M(a)=
(2)当=2时,a=3或a=-2,均不符合题意;
当=2时,a=,符合题意;
当-=2时,a=-6,符合题意.
综上,a=或a=-6.
7.A　因为f =f ,所以f(x)=f(x+π),故f(x)的一个周期为π.
当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则f(x)在上单调递减,所以f(x)在上单调递减.
因为-<-1故f(cos 120°)>f(sin(-20°))>f(sin 190°).故选A.
8.答案　
解析　由cos5θ-sin5θ<3(sin3θ-cos3θ),得3sin3θ+sin5θ>3cos3θ+cos5θ.
设f(x)=3x3+x5,则原不等式可化为f(sin θ)>f(cos θ),
易知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以sin θ>cos θ,故2kπ+(k∈Z),
又因为θ∈[0,2π),所以θ的取值范围是.
方法总结　利用同构法解不等式,是通过移项、变号等操作将不等式转化为一个等价的、更容易求解的形式.例如本题,将原不等式通过移项、同构转化为f(sin θ)>f(cos θ)的形式,再利用函数f(x)=3x3+x5的单调性脱去“f ”求解.
9.答案　10
解析　因为f(2-x)=|2-x-1|=|1-x|=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=0.
g(x)=2cos=2sin x,
作出函数f(x)与g(x)的大致图象,如图所示,
由图可知两函数图象共有10个交点,且两两关于直线x=1对称,
因此所有交点的横坐标之和为2×5=10.
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