2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--6.3　球的表面积和体积

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2025北师大版高中数学必修第二册
6.3　球的表面积和体积
基础过关练
题组一　球的表面积和体积
1.(2024陕西西安期中)两个球的表面积的比为1∶4,则体积比为(　　)
A.1∶2　　　　B.1∶4　　　　C.1∶8　　　　D.不确定
2.(多选题)(2024福建福州屏东中学期中)若一个球的直径为2R,一个圆柱和一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等,则下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
3.(2022山东潍坊期末)牙雕套球又称“鬼工球”,取鬼斧神工的意思,制作相当繁复,工艺要求极高.现有某“鬼工球”,由外及里的两层是表面积分别为64π cm2和36π cm2的同心球(球壁的厚度忽略不计),在外球表面上有一点A,在内球表面上有一点B,连接AB,则线段AB长度的最小值是(　　)
A.1 cm　　　　B.2 cm　　　　
C.3 cm　　　　D. cm
4.(2023江苏南通期末)已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面边界均在一个球面上,则该圆锥与球的体积的比值为　　　　.
5.(2024重庆凤鸣山中学教育集团期中)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱的高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需涂胶多少克
题组二　球的截面问题
6.(2024贵州毕节模拟)如图所示,圆O1和圆O2是球O的两个截面圆,且两个截面互相平行,球心O在两个截面之间,记圆O1,圆O2的半径分别为r1,r2,若r2=3r1=3,O1O2=4,则球O的表面积为(　　)
A.40π　　　　B.42π　　　　C.44π　　　　D.48π
7.(2022广东汕头澄海中学段考)球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面圆的面积为(　　)
A.
8.(2023上海曹杨第二中学月考)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为9π,则球O的表面积为　　　　.
题组三　与球有关的切、接问题
9. (2023甘肃高考诊断)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2,其外接球的体积为36π,则此长方体的表面积为(　　)
A.34　　　　B.64　　　　
C.4+34
10.(2024皖豫名校联盟模拟)已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,其外接球球心O满足,则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积的比值为(　　)
A.　　　　
C.
11.(2024天津塘沽一中等十二校联考)圆柱容球定理是古希腊数学家阿基米德发现并证明的.如图,圆柱内有一个内切球,球的直径恰好与圆柱的高相等,在当时并不知道球的表面积和体积公式的情况下,阿基米德用穷竭法解决面积问题,用杠杆法解决体积问题.我们现在来计算一下圆柱与球的表面积的比值和圆柱与球的体积的比值分别为(　　)
A.　　　　
C.
12.(2024云南开远第一中学期中)已知四面体A-BCD的各顶点均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,则球O的表面积为(　　)
A.　　　　B.14π　　　　C.28π　　　　D.32π
13.(2023辽宁朝阳北票高级中学月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中,B,C是线段AD的三等分点,且AD=3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π,则AA1=　　　　.
14.(2024江西赣州期末)如图所示的正四棱台的上、下底面边长之比为1∶3,体积为,若此正四棱台的内切球存在,则这个内切球的表面积为　　　　.
15.(2024天津第二南开学校期中)已知圆锥的母线PB,PA的长均为6,O为圆锥底面圆的圆心,连接PO,则PO=4.
(1)求圆锥的体积;
(2)有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切,求这个球的体积.
能力提升练
题组一　球的表面积和体积
1.(2024河北邢台模拟)如图,正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1的高为12 cm,AB=10 cm,A1B1=2 cm,容器中水的高度为6 cm.
现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没),水位上升了3 cm,若忽略该容器壁的厚度,则小铁球的半径为(　　)
A. cm　　　　B. cm　　　　C. cm　　　　D. cm
2.(2022云南保山期中)如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分(其中∠BAC=30°)以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,则该几何体的表面积(包括内壁面积)为　　　.
题组二　球的截面问题
3.(2023江西金溪第一中学月考)已知圆柱O1O2的轴截面是边长为4的正方形,底面圆O2的圆周在球O的表面上,且底面圆O1所在平面截球O所得的是半径为2的圆面,若点O在圆柱O1O2内,则球O的表面积与圆柱O1O2的表面积的比值为(　　)
A.2　　　　B.
4.(2024海南海口部分学校期中)球面被平面所截后剩下的曲面叫做球冠(如图1),截得的圆面叫做球冠的底,垂直于圆面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球的半径为R,球冠的高为h,则球冠的表面积为2πRh.某同学制作了一个工艺品,如图2所示,该工艺品可以看作一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π,则该工艺品的表面积为(　　)
　　
A.20π　　　　B.(24-34)π　　　　C.16π　　　　D.12π
题组三　与球有关的切、接问题
5.(2024河南新乡多校期中)一个高为h的圆锥形容器(容器壁厚度忽略不计)内部能完全容纳的最大球的半径为R,若h=3R,则这个圆锥的体积与这个最大球的体积的比值为(　　)
A.
6.(2022江苏南京师大附中开学考试)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,侧棱AA1⊥底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积为4π,则该三棱柱的侧面积的最大值为(　　)
A.6　　　　D.3
7.(多选题)(2024湖南郴州一中等校联考)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都是6,D,E分别是三棱锥P-ABC外接球和内切球上的点,则(　　)
A.三棱锥P-ABC的体积是18
B.三棱锥P-ABC内切球的半径是
C.DE长度的取值范围是[]
D.三棱锥P-ABC外接球的体积是27π
8.(2024山东新泰第一中学月考)在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,BD⊥CD,平面ABC⊥平面BCD,若该三棱锥的外接球的表面积为16π,则AD=　　　　.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§6　简单几何体的再认识
6.3　球的表面积和体积
基础过关练
1.C　设两个球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,则,∴,
∴,故V1∶V2=1∶8.
规律总结　两个球的表面积之比等于它们半径之比的平方,体积之比等于它们半径之比的立方.
2.CD　由题意得圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2,A错误;
圆锥的母线长l=R,则侧面积为πRl=πR2,B错误;
球的表面积为4πR2,故圆柱的侧面积与球的表面积相等,C正确;
∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,D正确.
故选CD.
3.A　设外球和内球的半径分别为R cm和r cm,则4πR2=64π,4πr2=36π,解得R=4,r=3,
易知当A,B与球心在同一直线上,且B在A与球心之间时,线段AB的长度最小,
∴线段AB长度的最小值是R-r=1(cm).故选A.
4.答案　
解析　画出轴截面,如图所示,圆锥的轴截面为正三角形ABC,
设球心为O,圆锥底面中心为O1,球的半径为R,
则圆锥的高为R+R,底面半径为R,
所以圆锥与球的体积的比值为.
5.解析　(1)因为半球的直径是6 cm,所以其半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3).
又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),
所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).
(2)根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),
又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),
所以1个这种“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).
所以2 500个这种“浮球”的表面积之和为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).
所以共需涂胶100×12π=1 200π(克).
6.A　设球O的半径为R,依题意得R2=O,即+9,解得OO2=1,因此R2=10,所以球O的表面积S=4πR2=40π.
7.D　易知球O的半径为1,设球心到截面圆的距离为d,截面圆的半径为r,连接OA,OC,OM,则V三棱锥O-ACM=V三棱锥M-AOC,即S△ACM·d=S△AOC,易得S△ACM=,S△AOC=,∴d=.又d2+r2=1,∴r=,∴截面圆的面积为π×.故选D.
8.答案　48π
解析　设圆M的半径为r,球O的半径为R,
根据题意作出球O的轴截面,如图:
则πr2=9π,解得r=3(负值舍去),
在Rt△OBM中,OB2=OM2+BM2,即R2=+r2,
即R2=R2+9,解得R2=12,
所以球O的表面积S=4πR2=48π.
9.B　设外接球的半径为R,则πR3=36π,解得R=3.
设底面正方形ABCD的边长为a,易知长方体外接球的直径等于长方体体对角线的长,所以=2R=6,解得a=4(负值舍去),
所以此长方体的表面积为2×(4×4+2×4+2×4)=64,故选B.
10.B　设圆台O1O2的高为4h,则由题意得||=3h,作出圆台的轴截面如图:
由圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,得圆O1,O2的半径分别为2,6,
设外接球半径为R,由勾股定理得R2=4+9h2=36+h2,解得h=2,R=2,
故所求体积的比值为.故选B.
11.C　设球的半径为R,则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,
所以圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,体积V1=πR2·2R=2πR3,
球的表面积S2=4πR2,体积V2=πR3,
所以.
12.A　由题意可将四面体A-BCD看成底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示:
则四面体A-BCD的外接球即为直三棱柱的外接球,
因为底面△ABC的外心到△ABC的顶点的长度为,
所以直三棱柱的外接球的半径r=,则球O的表面积S=4πr2=4×π×,故选A.
技巧点拨　若三棱锥一条侧棱垂直于底面,则求解其外接球相关问题时,可将该三棱锥补形成直三棱柱求解.
13.答案　2
解析　设球O的半径为r,则4πr2=12π,解得r=(负值舍去),
分别取直三棱柱上、下底面的中心E,F,连接EF,则EF的中点即为直三棱柱外接球的球心O,作图如下:
连接OC,CF,则OC=r=,EF⊥平面ABC,EF=AA1=2OF.∵CF 平面ABC,∴OF⊥CF,
在等边△ABC中,CF=·BC·sin 60°=1,
在Rt△OFC中,OF=,
则AA1=2OF=2.
14.答案　12π
解析　如图所示,分别取AB,CD的中点O1,O2,
令AB=2a, CD=6a,
设该正四棱台的内切球球心为O,
则O为O1O2的中点,且CM=CO2=3a,BM=BO1=a,
所以BC=4a,则O1O2=2a,
由题知,正四棱台的体积V=×2a×(4a2+36a2+12a2)=,
解得a=1,所以O1O2=2,
所以内切球半径r=OO1=,
故内切球的表面积为4πr2=12π.
15.解析　(1)依题意得,圆锥的底面半径r=OA==2,
所以圆锥的体积V=π×22×4.
(2)依题意得,圆锥的内切球球心在线段PO上,设球心为G,内切球的半径为R,如图,
则S△PAB=AB·PO=(PA+PB+AB)R,
即×4×4×(6+6+4)R,解得R=,
所以内切球的体积V2=.
方法总结
　　解决与球有关的切、接问题时,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆与平面图形相接、切的问题.解题时要注意借助球的半径、截面圆的半径、球心到截面的垂线段构成的直角三角形.
能力提升练
1.A　由题意可得未放入小铁球时水面正方形的边长为×(2+10)=6(cm),水的体积V1=×(62+102+)×6=392(cm3),
放入铁球后,水的高度为9 cm,过A1B1作垂直于底面的截面A1B1FE,设水面与A1E交于点M,与B1F交于点N,如图,过B1作B1H⊥EF于H,交MN于G,
则EF=10 cm,B1H=12 cm,GH=9 cm,
所以,可得GN=1 cm,则MN=4 cm,
此时水的体积V2=×(42+102+)×9=468(cm3),
故放入的57个小铁球的体积为468-392=76(cm3),
设小铁球的半径为r cm,则57×πr3=76,解得r=.故选A.
2.答案　πR2
解析　所得几何体如图所示,
过点C作CO1⊥AB于点O1.
∵∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,
∴=π×R×πR2,
=π×R×R=πR2,又S球=4πR2,
∴S几何体表=S球+
=4πR2+πR2+πR2=πR2.
故所得几何体的表面积为πR2.
3.C　由题意得,圆柱O1O2的底面半径为2,高为4,
作出圆柱O1O2和球O的轴截面如图所示,
则O2P=2,O1Q=2,设球O的半径为R,连接OP,OQ,
则O1O2=O1O+OO2==4,解得R=(负值舍去),
则球O的表面积与圆柱O1O2的表面积的比值为 .
4.B　设截面圆的半径为r,球的半径为R,球冠的高为h,
易知球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,
因为截面圆的周长为2π,所以2πr=2π,解得r=1,故R2=22+12=5,得R=,
所以球的表面积S=20π,h=R-2=-2,
则所截的一个球冠的表面积S1=2πRh=2π××(-2)=10π-4π,
又一个截面圆的面积为π×12=π,
所以工艺品的表面积S'=S-6S1+6π=20π-60π+24π+6π=(24-34)π.故选B.
5.D　作出圆锥的轴截面,如图,
由题可知△ADO'∽△AOC,AD=R,
所以,即,解得CO=R,
则V圆锥=π·CO2·h=3πR3,V球=πR3,
所以.
解题反思　要使本题中球的体积取最大值,则该球的半径应取最大值,即该球应与该圆锥内切,从而转化为求圆锥轴截面三角形的内切圆的半径,即得球的半径的最大值.
6.B　设三棱柱上底面和下底面的外心分别为O″,O',连接O″O',A1O″,AO',取O″O'的中点O,连接OA,如图所示,
则O为该三棱柱外接球的球心,设AA1=h,AB=a,
过O'作O'E⊥AB,交AB于E,易得E为AB的中点,在Rt△AO'E中,AO'=a,
则该三棱柱外接球的半径R=,又4πR2=4π,所以R=1,
故=1≥2,即ah≤,当且仅当a=时取等号,
则该三棱柱的侧面积S=3ah≤3,当且仅当a=时取等号.故选B.
7.ACD　如图,取BC的中点M,连接AM,PM,作P在底面ABC内的射影H,
则H在AM上,且AH=2HM=2,则PH=,
故三棱锥P-ABC的体积V=×62×2,故A正确.
设三棱锥P-ABC内切球的半径为r,则VP-ABC=(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)·r=S△ABC·r,
所以r=,故B错误.
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,球心为O,
则R2=AH2+OH2,即R2=12+(2-R)2,
解得R=,则三棱锥P-ABC外接球的体积是π,
显然DE长度的取值范围是[],故C,D正确.
8.答案　2
解析　设BC=2a(a>0),BC的中点为O,连接AO,OD,则AO⊥BC,
因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AO 平面ABC,所以AO⊥平面BCD,
因为BD⊥CD,所以BC是△BCD外接圆的直径,O为外接圆圆心,
又等边△ABC的外接圆圆心为线段AO上靠近O点的三等分点,
所以该三棱锥的外接球球心为线段AO上靠近O点的三等分点,
则该外接球的半径R=2a×a.
因为4πR2=16π,所以R=2,即a=2,解得a=.
在Rt△BCD中,OD=,
所以在Rt△AOD中,AD=.
小题速解　求解有两个面互相垂直的三棱锥外接球的半径R可以应用公式(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-l2(r1,r2为两个垂直面的外接圆半径,l为两个垂直面的交线长),此公式称为双半径单交线公式.
因此此题求外接球半径时可列式为(2R)2=(2×a)2+-(2a)2,解得R=a.
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