2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--7.3　正切函数的图象与性质

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2025北师大版高中数学必修第二册
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及应用
1.(2024辽宁沈阳期末)函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)
A B
C D
2.(2024河南新乡开学考试)函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.
3.(2022上海华东师范大学第二附属中学期末)直线y=a与函数f(x)=tan ωx(ω>0,ω为常数)的两个相邻交点间的距离是　　　　.
4.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组二　正切(型)函数的性质及应用
5.(多选题)(2024江西南昌第十九中学期末)在下列函数中,最小正周期T不是2π的是(　　)
A.f(x)=2sin
C.y=
6.(2024江西抚州临川第十六中学月考)已知函数f(x)=的单调递增区间是(k∈Z),则φ=(　　)
A.
7.下列各式中正确的是(　　)
A.tan 735°>tan 800°　　　　B.tan 1>-tan 2
C.tan 8.(2024江苏南京师大附中段考)设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个周期可能是(　　)
A.
9.(多选题)(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=tan,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)的定义域为xx≠,k∈Z
C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
10.(2024福建莆田期末)函数y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为　　　　　.
能力提升练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2024北京师大附中期中)函数f(x)=-tan x-sin x+|tan x-sin x|在区间内的图象是(　　)
　　　　
　　　　
2.设f(x)=(k∈Z),g(x)=sin |x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　　)
A.7　　　　B.8　　　　
C.9　　　　D.10
3.(多选题)(2022江西景德镇期中)若函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
题组二　正切(型)函数的性质及其应用
4.函数f(x)=tan(sin x)的值域是(　　)
A.
C.[-tan 1,tan 1]　　　　D.[-1,1]
5.(2022广东广州期中)已知函数f(x)=tan x+sin x,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.
6.(2023江西赣州中学月考)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象经过点(0,),若f(x)在区间[0,π]内恰有2个零点,则实数ω的取值范围是(　　)
A.　　　　
C.
7.(多选题)(2024湖南衡阳联考)已知函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则(　　)
A.ω=1
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)的图象的对称中心为(k∈Z)
D.f 是奇函数
8.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A. f(2)>f(0)>f
B. f(0)>f(2)>f
C. f(0)>f>f(2)
D. f >f(0)>f(2)
9.(2023河北衡水二中月考)已知f(x)=2tan(ωx+φ),周期T∈是f(x)图象的一个对称中心,则
f的值为(　　)
A.-
10.(2023河南濮阳第一高级中学期末)函数f(x)=a-tan 2x在x∈上的最大值为7,最小值为3,则ab的值为(　　)
A.
11. (2024安徽淮北期末)已知定义在上的函数f(x)=x3+tan x+2,则不等式f(x-2)+f >4的解集是(　　)
A.
C.
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的取值集合;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
13.(2024江西部分高中联考)已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)与函数g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,若图中阴影部分的面积为4.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若h(x)=3f(x)+x2-4是定义在上的函数,求关于x的不等式h(x)≤0的解集.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
7.3　正切函数的图象与性质
基础过关练
1.A　当x=时,tan=0,故排除C,D;
当x=时,tan=tan ,无意义,故排除B.故选A.
A　因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则,解得ω=4,即f(x)=
tan 4x,故f=tan π=0.故选A.
3.答案　
解析　根据题意,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象及直线y=a,
由图可知,这两个相邻交点间的距离等于函数f(x)的最小正周期,即.
4.解析　由3+tan 2x≥0得tan 2x≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,
∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
AB　对于A,T==4π;对于B,T==π;对于C,T==2π;对于D,
T==2π.故选AB.
特别提醒　函数y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期T=.
6.C　令-+kπ<2x-φ<+kπ,k∈Z,解得-,k∈Z,故,且-,解得φ=,故选C.
7.D　tan 735°=tan(720°+15°)=tan 15°,tan 800°=tan(720°+80°)=tan 80°,∵tan 15°∵-tan 2=tan(π-2),0<1<π-2<,∴tan 1<-tan 2,故B错误;
∵<π,∴tan >tan ,故C错误;
tan =tan 方法总结　利用正切函数的单调性比较大小时,要注意利用诱导公式使自变量的值在同一个单调区间内.
8.C　因为函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,
所以(k∈Z),可得ω=3k+2(k∈Z),
因为ω>0,所以k∈N,故函数f(x)的正周期T=(k∈N),
当k=1时,可知函数f(x)的一个正周期为.
故选C.
9.ABD　由已知得f(x)的最小正周期T=,故A正确;
令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠,k∈Z,
所以f(x)的定义域为xx≠,k∈Z,故B正确;
令2x-,k∈Z,解得x=,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故C错误;
令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故D正确.
故选ABD.
10.答案　[-4,4]
解析　当x∈时,tan x∈[-1,1],
∵y=tan2x+4tan x-1=(tan x+2)2-5,
∴当tan x=-1时,ymin=-4;当tan x=1时,ymax=4.
∴y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为[-4,4].
能力提升练
1.B　当x∈时,tan x<0当x∈时,tan x>0>sin x,∴f(x)=-tan x-sin x+|tan x-sin x|=
-2sin x,
则f(x)=结合选项知B正确.故选B.
一题多解　f =-2tan >2,排除A,C,D,故选B.
2.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示:
由图知方程f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.
易错警示　当03.AD　当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-所以f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图.
由图可得,f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
4.C　易得sin x∈[-1,1],因为-,且y=tan x在上单调递增,所以f(x)min=tan(-1)=-tan 1, f(x)max=tan 1.故函数f(x)=tan(sin x)的值域为[-tan 1,tan 1].
5.A　因为函数y=tan x和y=sin x在上均单调递增,所以函数f(x)=tan x+sin x在上单调递增,所以f(x)>f ,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,则a≤-.故选A.
6.D　由题意得f(0)=tan φ=,因为|φ|<,所以φ=,故f(x)=tan,
当x∈[0,π]时,ωx+∈,
若函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点,则2π≤ωπ+<3π,解得≤ω<.故选D.
7.BD　由题知,=2π,解得ω=,故A错误;
由选项A知f(x)=tan,当x∈时,∈,f(x)单调递增,故B正确;
令,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的图象的对称中心为(k∈Z),故C错误;
设函数g(x)=f=tan,且≠+kπ,k∈Z,即x≠2π+2kπ,k∈Z,
所以函数g(x)的定义域为{x|x≠2π+2kπ,k∈Z},关于原点对称,
因为g(-x)=tan=-g(x),
所以f x-是奇函数,故D正确.
故选BD.
8.C　由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,解得ω=1,
故f(x)=tan,
令-+kπ得-+kπ当k=1时,,即函数f(x)在上单调递增,
又f(0)=f(π), f =f =f ,
且π>π>,
所以f(0)>f >f(2).故选C.
9.D　由题知f(0)=2tan φ=,∴tan φ=,
又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2tan.
∵T=∈,∴<ω<4.
又是f(x)图象的一个对称中心,
∴,k∈Z,∴ω=3k-1,k∈Z,
∴ω=2,∴f(x)=2tan,
∴f =2tan =-2tan .故选D.
10.B　∵x∈,∴b>-,2x∈,
∵函数f(x)在x∈上的最大值为7,最小值为3,∴2b<,即b<,
又正切函数y=tan x在上单调递增,
∴f(x)=a-tan 2x在上单调递减,
∴f =a+3=7,解得a=4,
∴f(b)=4-tan 2b=3,则tan 2b=,
∵2b∈,∴2b=,∴b=,
∴ab=4×,故选B.
11.C　由f(x-2)+f>4,得f(x-2)-2>-,
令g(x)=f(x)-2=x3+tan x,x∈,其定义域关于原点对称,又g(-x)
+g(x)=-x3-tan x+x3+tan x=0,故g(x)为奇函数,
则f(x-2)-2>-等价于g(x-2)>-g,
因为y=x3,y=tan x在上均单调递增,
所以g(x)在上单调递增,
所以解得12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,
∴θ=kπ,k∈Z.
故θ的取值集合为{θ|θ=kπ,k∈Z}.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪,k∈Z.
13.解析　(1)如图,阴影部分的面积等于矩形ABCO的面积,
由题知,函数f(x)=tan ωx的定义域为xx≠,k∈Z,
易知过点C且垂直于x轴的直线为x=,
所以S矩形ABCO=1×=4,解得ω=,所以f(x)=tan ,
由x≠+kπ,k∈Z,得x≠2+4k,k∈Z,
故函数f(x)的定义域为{x|x≠2+4k,k∈Z}.
(2)由(1)知f(x)=tan ,
所以h(x)=3tan +x2-4,x∈(-2,2),
因为h(x)≤0,所以3tan ≤-x2+4,
设v(x)=3tan ,u(x)=-x2+4,x∈(-2,2),
在同一平面直角坐标系中作出函数y=u(x),y=v(x)的图象,如图,
由图可知,当-2故不等式h(x)≤0的解集为(-2,1].
解题模板　对于正切曲线与其他直线或曲线围成的图形面积问题,常借助图象的对称性,利用割补法,将图形分割或补形成规则图形,再求其面积.
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