2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

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2025北师大版高中数学必修第二册
第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
基础过关练
题组一　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上一点,如图,∠BAD=75°,DC=1,AC=,则AB=(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.3
2.(2024重庆荣昌中学校月考)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=　　(　　)
A.2　　　　D.4
3.(2024江西部分地区联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且∠BAC=,AD平分∠BAC交BC于D,AD=1,则△ABC的面积的最小值为　　　　;若a=2,则△ABC的面积为　　　　.
4.(2023云南昆明第一中学月考)在平面四边形ABCD中,∠ABD=,对角线AC与BD交于点E,且AE=2EC,DE=EB.
(1)求BD的长;
(2)求cos∠ADC的值.
5.(2024江西贵溪实验中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2(A+B)=C,AC=2.
(1)求sin A;
(2)若点D在边AB上,且∠ACD=30°,求AD.
题组二　解三角形的实际应用
6.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD上、下两端的视角为(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.75°
7.(2024江西师范大学附属中学素养测试)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上的点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得楼的顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为(　　)
A.74 m　　　　B.60 m　　　　C.52 m　　　　D.91 m
8.(2024河南郑州、洛阳等校联考)圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根水平长尺(称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆(称为“表”).如图,利用圭表测得某市在夏至这一天的早上6:00和中午12:00的太阳高度角分别为10°(∠ABC)和80°(∠ADC).设表高AC为1米,则影差BD约为(参考数据:tan 70°≈2.747)(　　)
A.2.747米　　　　B.5.494米　　　　
C.8.241米　　　　D.10.988米
9.(多选题)(2024山东栖霞第一中学月考)如图,在海面上有两个观测点B,D,B在D的正北方向,距离为2 n mile,在某天10:00观察到某船在C处,此时测得∠CBD=45°,
5分钟后该船行驶至A处,此时测得∠ABC=30°,∠ADB=60°,
∠ADC=30°,则(　　)
A.观测点B位于A的北偏东75°方向
B.当天10:00时,该船到观测点B的距离为 n mile
C.当船行驶至A处时,该船到观测点B的距离为 n mile
D.该船由C行驶至A行驶了 n mile
10.(2024江西师范大学附属中学月考)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为12 km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 km.货轮由A向正北方向航行到D时,再看灯塔B在货轮的南偏东60°方向,则灯塔C与D之间的距离是　　km.
11.(2023陕西西安中学模拟)如图,从气球A上测得一河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球距离地面的高度AD=46 m(D在直线BC上),则河流的宽度BC约为　　　　m.(参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
(2023山东济宁期末)如图所示,A,B,C为山脚两侧共线的三点,现计划沿直线AC开通穿山隧道,在山顶P处测得A,B,C三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,在地面上测得AD=5千米,BE=1千米,BC=10(3-)千米.求隧道DE的长度.
.
能力提升练
题组一　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.(2024河南南阳六校联考)如图,在 ABCD,∠DAB=60°,AB=2AD,E为AB的中点,AC与DE交于点F,则cos∠AFE=(　　)
A.-
2.(2024江苏镇江中学月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,b2+c2-a2=bc,AD是△ABC的边BC上的中线,AD=,则△ABC的外接圆的面积是(　　)
A.4π　　　　B.8π　　　　C.12π　　　　D.16π
在△ABC中,cos∠BAC=-,AB=6,D,E在BC上,且满足BD=2DC,
∠BAE=∠EAC,AD=,则AC=　　　　,AE=　　　　.
4.(2022浙江衢温“51”联盟期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B=bcos A.
(1)求角A的大小;
(2)若D是BC边上靠近B的三等分点,且AD=,c=2,求△ABC的面积.
题组二　解三角形的实际应用
5.如图,有四座城市A,B,C,D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机与城市B间的距离为(　　)
A.120 km　　　　B.60 km　　　　
C.60 km　　　　D.60 km
6.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交会处,至今已有四百六十多年的历史.该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30°、45°、60°,且AB=BC= m,则文星塔高为(　　)
A.20 m　　　　B. m　　　　C. m　　　　D.30 m
7.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在山脚一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点行驶到B点历时14 s,则这辆汽车速度的大小为　　　　m/s.(精确到0.1 m/s,参考数据:≈1.414,≈2.236)
8.(2023山东省实验中学模拟)如图,已知点C为山顶P在水平面上的射影,一辆汽车由南向北沿AD行驶,在水平面上的A处测得∠BAC=15°,匀速向北行驶20分钟到达B处,测得∠DBC=60°,山顶P的仰角为60°,已知山高为2千米.
(1)求汽车的行驶速度;
(2)若汽车继续行驶10分钟到达D处,此时点C位于D的南偏东什么方向
(2024河北邢台一中月考)某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中,抽象并构建了如图所示的几何模型,该模型中MA,NB均与水平面ABC垂直.在已测得可直接到达的两点间距离AC,BC的情况下,四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数:①∠MCA,∠NCB,∠ABC;②∠ACB,
∠NCB,∠MCN;③∠MCA,∠NCB,∠MCN;④∠MCA,∠NCB,∠ACB.
(1)请指出其中一定能唯一确定M,N之间的距离的组号;(指出所有满足条件的组号)
(2)若已知AC=3,BC=6,∠MCA=,∠MCN=,∠NCB=,∠ABC=,
∠ACB=,请你结合在(1)中的选择,从中选出一组利用所给数据,求MN的值.
第二章　平面向量及其应用
§6　平面向量的应用
第2课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
基础过关练
1.B　∠ADC=∠B+∠BAD=45°+75°=120°,故∠ADB=60°.
在△ACD中,根据余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos 120°,即7=AD2+1-2AD×1×,
所以AD2+AD-6=0,所以AD=2,
在△ABD中,根据正弦定理得,
则AB=.
2.A　在△ABM中,由正弦定理得,
即,∴sin∠AMB=,
又∠AMB∈,∴∠AMB=,∴∠BAM=,
∴BM==4,
又M是BC的中点,∴BC=2BM=8,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B=22+82-2×2×8×cos 60°=68-16=52,∴AC=2.
3.答案　
解析　由题意可得S△ABC=S△ABD+S△ACD,即bcsin c·ADsin b·ADsin ,整理,得bc=b+c,
又b+c≥2(当且仅当b=c时取等号),所以bc≥2,即bc≥4,当且仅当b=c时取等号,所以(S△ABC)min=×4×.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC,
即20=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,
因为b+c=bc,所以(bc)2-bc-20=0,
即(bc-5)(bc+4)=0,
因为bc>0,所以bc=5,
因此S△ABC=bcsin∠BAC=.
方法总结　对于三角形的角平分线问题,要注意以下两种解题策略
(1)等面积法:若△ABC的内角A的平分线AD与BC相交于点D,则S△ABC=S△ABD+S△ACD.
(2)角平分线定理:若△ABC的内角A的平分线AD与BC相交于点D,则.
4.解析　(1)在△ABD中,由正弦定理得,即,解得sin∠ADB=1,
又因为0<∠ADB<π,所以∠ADB=,
所以BD==2.
(2)在△ADE中,DE=BD=1,∠ADE=,
所以AE=,cos∠DAE=,
在△ACD中,AC=,cos∠DAC=cos∠DAE=,
由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=,所以CD=,
所以cos∠ADC=.
5.解析　(1)由2(A+B)=C,得A+B+C=3(A+B)=π,∴A+B=,
则cos C=,解得c=,
由得sin A=.
(2)在△ABC中,cos B=,
∵∠ACD=30°,
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=120°-30°=90°,
则∠ADC=∠DCB+∠B=90°+∠B,
故sin∠ADC=sin(90°+∠B)=cos B=,
由正弦定理,得,
故AD=.
6.B　依题意可得AD=20 m,AC=30 m,CD=50 m,
所以cos∠CAD==,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.
7.A　在Rt△ABC中,AC= m,
易得∠ACM=180°-∠ACB-∠MCN=105°,∠CAM=15°+30°=45°,则∠CMA=180°-∠MAC-∠ACM=30°,
在△ACM中,由正弦定理,得,
则MC=×sin 45°=×sin 45°=74(m),
在Rt△MNC中,MN=MC·sin 45°=74 m.
故选A.
8.B　在Rt△ACD中,AD=米.在△ABD中,由正弦定理得,即,
所以BD==2tan 70°≈2×2.747=5.494(米).
9.ACD　A中,∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°,
因为B在D的正北方向,所以B位于A的北偏东75°方向,故A正确.
B中,在△BCD中,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,∠CBD=45°,
BD=2 n mile,所以BC=2 n mile,故B错误.
C中,在△ABD中,∠ADB=60°,∠BAD=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得,即AB= n mile,故C正确.
D中,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·
cos∠ABC=6+8-2××2=2,则AC= n mile,故D正确.
故选ACD.
10.答案　8
解析　在△ABD中,B=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得AD==24(km),
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°=+242-2×8×24×=192,
所以CD=8 km.
11.答案　60
解析　由题意得AD=46 m,∠ACD=30°,∠BAC=37°,∠ABC=113°.
在Rt△ACD中,因为∠ACD=30°,所以AC=2AD=92 m,
在△ABC中,由正弦定理可得,即,
所以BC=≈=60(m),
所以河流的宽度BC约为60 m.
12.解析　∵在山顶P处测得A,B,C三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,
∴∠C=30°,∠BPC=15°,∠PBC=135°,∠PAC=60°,∠APC=90°.
在△PBC中,由正弦定理可得,
即,∴PC=20千米.
在Rt△PAC中,sin∠PAC=,得AC=,
即AC==40(千米),
∴DE=AC-AD-BE-BC=40-5-1-10(3-)千米.
故隧道DE的长度为(4+10)千米.
能力提升练
1.C　因为AB=2AD,E为AB的中点,所以AE=AD,又∠DAB=60°,所以△ADE是等边三角形,所以∠AED=60°,易知△AFE∽△CFD,所以,
所以EF=DF,即EF=AE,
令EF=1,则AE=3,在△AEF中,由余弦定理可得AF=,
所以cos∠AFE=.
2.A　在△ABC中,∵b2+c2-a2=bc,∴cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,∴∠BAC=,
∵D是BC的中点,∴),
又AC=b=2,∴·),即7=c2+2c×2×cos +22,
解得c=4(负值舍去),
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=22+42-2×2×4cos =12,∴a=2(负值舍去),
故2R==4(R为△ABC的外接圆的半径),∴R=2,
故△ABC的外接圆的面积S=πR2=4π.
3.答案　9;
解析　设DC=x,AC=y,则BD=2x,
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=,
∴9x2=y2+3y+36,即x2=y+4.
在△ABD中,由余弦定理得cos∠ABD=,
即,化简得3x2-y2=-33,
即3-y2=-33,化简得2y2-3y-135=0,解得y=9或y=-(舍去),即AC=9.
∴x2=×92+×9+4=16,∴x=4,即CD=4,
∴BD=2x=8.
在△ABE中,由正弦定理得,
即BE=,
在△ACE中,由正弦定理得,
即CE=,
又∵∠BAE=∠EAC,∠AEB+∠AEC=π,
∴sin∠BAE=sin∠EAC,sin∠AEB=sin∠AEC,
∴,又∵BE+CE=BC=12,∴BE=.
在△ABE中,由余弦定理得cos∠ABC=,
即,
解得AE=(负值舍去).
4.解析　(1)因为asin B=bcos A,
所以sin Asin B=sin Bcos A,
又因为sin B≠0,
所以sin A=cos A,故tan A=,
又0(2)解法一:依题意可得,,
等号两边平方,得·,
即bccos ,
又c=2,所以b2+4b-5=0,
解得b=1或b=-5(舍去),
故△ABC的面积S=bcsin A=.
解法二:因为∠ADB+∠ADC=π,
所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,
所以=0,
又CD=2BD,所以6BD2-1-b2=0,
即6-1-b2=0,整理得2a2-3b2-3=0,
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+4-2b,
所以b2+4b-5=0,解得b=1或b=-5(舍去),
故△ABC的面积S=bcsin A=.
5.D　取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF的长即为所求.
因为E为AB的中点,且AB=120 km,
所以AE=60 km.
又∠DAE=90°-30°=60°,AD=60 km,
所以三角形DAE为等边三角形,
所以DE=60 km,∠ADE=60°.
在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,
所以∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠ADB=90°,所以BD=60 km.
因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,
所以∠CBD=90°,
所以CD==240(km),
所以cos∠BDC=,
因为DF=360×=90(km),所以在三角形BDF中,
BF=
=(km),
即此时飞机与城市B间的距离为60 km.
6.B　如图所示:
设文星塔PO的高为h m,
则PA==2h m,PB=h m,PC=h m,
在△PAB中,由余弦定理可得cos∠PBA=,
在△PBC中,由余弦定理得cos∠PBC=.
∵∠PBA+∠PBC=π,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=cos∠PBA+cos(π-∠PBA)=0,
即=0,可得h=(m).故选B.
7.答案　22.6
解析　由题意得AB==200 m,AC= m,
在△ABC中,由余弦定理可得
BC=
≈316.2(m),则这辆汽车速度的大小为316.2÷14≈22.6(m/s).
8.解析　(1)由题意知∠BCP=90°,∠PBC=60°,PC=2,
在Rt△BCP中,tan∠PBC=,则BC==2,
在△ABC中,可得∠BCA=60°-15°=45°,
由正弦定理得,
即,所以AB=+1),
故汽车的行驶速度是+1)(千米/时).
(2)易得BD=+1,
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC×BDcos∠DBC
=22+-2×2×(+1)×=6,
故CD=,在△BCD中,由正弦定理得,
即,解得sin∠CDB=,
因为CD>BC,所以∠CDB为锐角,所以∠CDB=45°,
故点C位于D的南偏东45°方向.
9.解析　(1)不妨记BC=a,AC=b,AB=c,CM=m,CN=n,NB=h,MA=d,MN=x,∠ACB=α,
∠NCB=β,∠MCA=γ,∠MCN=θ,∠ABC=φ.
①中,已知a,b,β,γ,φ,在Rt△NCB中,由tan β=,可确定h,同理,在Rt△MCA中,可确定d,
在△ABC中,已知a,b,φ,利用余弦定理解三角形可能有两解,
例如,若a=,b=1,φ=30°,则1=3+c2-2c×,解得c=1或c=2,
由|=d2+c2+h2-2dh可得MN有两个值,故①不满足条件;
②中,已知a,b,α,β,θ,在Rt△NCB中,由tan β=,cos β=可确定h,n,
在△ABC中,利用余弦定理可得c,在Rt△MCA中,由勾股定理可得m=,
在△MCN中,由余弦定理得x2=(d2+b2)+n2-2n·cos θ(*),
又x2=d2+c2+h2-2dh(**),联立(*)(**)可得MN,但此方程组可能有两解,故②不满足条件;
③中,已知a,b,γ,β,θ,在Rt△NCB中,由cos β=可确定n,同理,在Rt△MCA中,可确定m,在△MCN中,由余弦定理可唯一确定MN,故③满足条件;
④中,已知a,b,γ,β,α,在△ABC中,由a,b,α及余弦定理可确定c,在Rt△NCB中,由tan β=,可确定h,
同理,在Rt△MCA中,可确定d,再由|=d2+c2+h2-2dh可唯一确定MN,故④满足条件.
(2)若选③,在Rt△MAC中,AC=3,∠MCA=,可得MC=3,
在Rt△NCB中,BC=6,∠NCB=,可得NC=12,
在△MCN中,由余弦定理可得MN2=18+144-2×3×12×=90,所以MN=3.
若选④,在Rt△MAC中,AC=3,∠MCA=,可得MC=3,
在Rt△NCB中,BC=6,∠NCB=,可得NC=12,NB=6,
在Rt△ACB中,AC=3,BC=6,∠ACB=,可得AB=3.
过点M作NB的垂线,垂足为D(图略),
在△MDN中,MD=AB=3-3,
所以MN2=45+,
所以MN=.
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