2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第二章　平面向量及其应用复习提升

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2025北师大版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视向量的方向致错
1.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是(　　)
A.cos=
B.b在a上的投影向量为a
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量a+λb与a-λb共线,则实数λ=0
易错点2　已知两向量夹角为锐角(钝角)求参数时忽略向量共线致错
2.(2024天津耀华中学月考)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,若a+b与ta-b的夹角为钝角,则满足条件的t的取值范围为　　　　.
3.(2024陕西咸阳实验中学月考)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为　　　　;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　.
易错点3　解三角形时弄不清解的个数致错
4.(2022河南南阳六校联考)在△ABC中,若a=25,b=30,A=42°,则此三角形解的情况为(　　)
A.无解　　　　B.有两解
C.有一解　　　　D.有无数解
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,不解三角形,下列判断正确的是(　　)
A.B=60°,c=4,b=5,有两解
B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解
C.B=60°,c=4,b=3,有一解
D.B=60°,c=4,b=2,无解
易错点4　解三角形时忽视隐含条件致错
6.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状是　(　　)
A.锐角三角形　
B.直角三角形
C.钝角三角形　
D.等腰三角形或直角三角形
7.(2024四川成都石室中学月考)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a2-c2=a-b且b=1,则△ABC的面积的取值范围为　　　　.
8.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=
sin B+sin A=2,求△ABC的面积.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.(多选题)(2024江苏南通质量监测)已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为(0,3),(-1,0),(3,0),则第四个顶点坐标可以是(　　)
A.(-4,3)　　　　B.(-5,3)　　　　
C.(4,3)　　　　D.(2,-3)
2.(2023吉林第一中学检测)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=-sin Bsin C,b=4.若△ABC为直角三角形,则△ABC的面积为　　　　.
二、数形结合思想
3.(2023四川南充适应性考试)已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,点P是AC边上的任意一点(包含端点),则·的最小值是(　　)
A.-　　　　B.-4　　　　
C.-　　　　D.0
4.(多选题)(2024江西南昌第五高级中学期中)已知a≠e,|e|=1,满足对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则(　　)
A.a·e=0　　　　B.e·(a-e)=0
C.a·e=1　　　　D.e·(a-e)=1
三、函数与方程思想
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,△ABC的面积为2,则b+c=(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10
6.(2022湖南永州期中)如图,在△ABC中,点M是AB上的点且满足,N是AC上的点且满足,CM与BN交于P点,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.a+b
7.(2024广东深圳致理中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,∠DAB=,∠ABC=,AB∥DC,||=2.
(1)求·;
(2)若k与共线,求实数k的值;
(3)若P为BC边上的动点(不包括端点),求()·的最小值.
四、转化与化归思想
8.(2023河南安阳重点高中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A-csin C=(b-c)sin B.若D是BC边的中点,且AD=4,则△ABC面积的最大值为(　　)
A.16　　　　B.32-16　　　　
C.64
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
本章复习提升
易混易错练
AD　由题意知|a|==5,a·b=1×(-3
)+1×4=1.
对于A,cos=,故A正确;
对于B,b在a上的投影向量为··a=a,故B错误;
对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为(x0,y0),
可得解得或
所以与b垂直的单位向量的坐标为或,故C错误;
对于D,因为向量a+λb与a-λb共线,
所以存在t∈R,使得a+λb=t(a-λb)=ta-λtb,
则解得故D正确.
故选AD.
易错警示　已知向量共线或模长时,需要考虑向量的方向,若不能确定,则需分类讨论.
2.答案　(-∞,-1)∪(-1,1)
解析　根据题意,得(a+b)·(ta-b)=ta2-b2+(t-1)a·b=,
因为a+b与ta-b的夹角为钝角,
所以(a+b)·(ta-b)<0,且不反向共线,
即<0,解得t<1,
设a+b=λ(ta-b)(λ<0),则(1-λt)a+(1+λ)b=0,
则解得
所以t<1且t≠-1,
故t的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).
3.答案　∪
解析　因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos=,即a与b夹角的余弦值为.
若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线,
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),
即ka+b=λa+3λb(λ∈R),
易知a与b不共线,所以解得k=,
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠,
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-,
所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为∪.
易错警示　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况.
4.B　由正弦定理得,
∴sin B= sin B=sin A,
∵sin 30°∴∴∵b>a,∴B>A,
∴B可能为锐角,也可能为钝角,
∴此三角形有两解,故选B.
5.D　结合各选项可知,B=60°,c=4,作AD⊥BD,垂足为D,如图所示,
在Rt△ABD中,AD=c×sin 60°=2.
由图可知,当b=2或b≥4时,有一解;
当b<2时,无解;当2结合选项可知D正确.
易错警示　“已知两边a,b和其中一边的对角A,解三角形”会有一解、两解或无解三种情况.其判断和验证方法一般有以下几种:(1)利用三角函数的有界性.(2)依据“大边对大角”.(3)利用a与bsin A之间的大小关系:当A为直角或钝角时,a≤b无解,a>b有一解;当A为锐角时,a6.D　由正弦定理及已知条件,得sin2Atan B=sin2Btan A,则.
因为sin Asin B≠0,所以,
所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
所以A=B或A+B=,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
易错警示　在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.在做此类题目时,容易因忽略第二种情况而漏解.
7.答案　
解析　∵a2-c2=a-b,b=1,
∴a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
∴cos C=,
又0则S△ABC=absin C=a,
∵△ABC为锐角三角形, c2=a2+b2-2abcos C=a2+1-a,
∴
即解得∴,
故△ABC的面积的取值范围为.
易错警示　若△ABC为锐角三角形,则角A,B,C的范围均为,余弦值均大于0,本题易缺少cos A>0或cos B>0中的一个而致错.
8.解析　由,得,
即sin B=3sin A,
∵sin B+sin A=2,∴3sin A+sin A=2,
即sin A=.
∵a由a2=b2+c2-2bccos A,得7=9+c2-3c,
解得c=1或c=2.
当c=1时,由余弦定理,得cos B=<0,则角B为钝角,不符合题设条件,舍去;
当c=2时,由余弦定理,得cos B=>0,符合题设条件.
故c=2,∴S△ABC=bcsin A=.
易错警示　求得c的值后没有对其进行检验,舍去c=1的情况而致错.
思想方法练
1.ACD　设点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),第四个顶点为D(x,y),
该平行四边形各顶点的顺序未确定,故需分类讨论.
若该平行四边形为ABCD,则,即(-1,-3)=(3-x,-y),则解得即D(4,3);
若该平行四边形为ACDB,则,即(3,-3)=(x+1,y),则解得即D(2,-3);
若该平行四边形为ACBD,则,即(3,-3)=(-1-x,-y),则解得即D(-4,3).
2.答案　2或8
解析　由正弦定理知,(sin A+sin B-sin C)·(sin B-sin A-sin C)=
-sin Bsin C可化为(a+b-c)(b-a-c)=-bc,即b2+c2-a2=bc,
所以cos A=,而A∈(0,π),所以A=.
因为△ABC为直角三角形,
不确定哪个内角为直角,故分情况讨论.
所以若B=,则C=,又b=4,所以c=2,a=2,故S△ABC=×2×2=2;
若C=,则B=,又b=4,所以c=8,a=4,
故S△ABC=×4×4=8.
思想方法　在向量这一章中,分类讨论思想主要体现在:向量方向的不确定,图形位置的不确定,参数符号的不确定以及条件(或结论)的不唯一性等.
3.B　根据直角三角形的特点,建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量,从而转化为向量数量积的坐标运算.
因为32+42=52,所以△ABC是直角三角形,∠C=90°,以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,4),B(3,0),由题可设点P的坐标为(0,y),0≤y≤4,
则·=-y(4-y)=y2-4y=(y-2)2-4,
∴当y=2时,·取得最小值-4,故选B.
4.BC　不妨设=te=(t,0),
将e,a,te用有向线段表示出来,根据向量减法法则将|a-te|表示出来,通过画出图形解决问题.
如图,
则|a-te|=||,即为定点A到x轴上的动点T的距离,
显然当AT⊥x轴时,|TA|取得最小值,
若对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,
则(a-e)⊥e,可得e·(a-e)=0,故B正确,D错误;
∵e·(a-e)=e·a-e2=e·a-1=0,
∴e·a=1,故A错误,C正确.
故选BC.
思想方法　数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用.
(1)以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题.
(2)以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题.
5.B　由题意得,bcsin A=2,则有bc=8,①
由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=20,②
根据三角形的面积公式和余弦定理建立关于b,c的方程组,通过解方程组求解.
联立①②,解得或则b+c=6.故选B.
6.B　由得,由得,
由C,P,M三点共线,可得=λ+(1-λ)(λ∈R),即=λ,
由N,P,B三点共线,可得=μ+(1-μ)(μ∈R),即+(1-μ),
故解得
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
故b.
故选B.
7.解析　(1)过C作CH⊥AB于H,易知HB=AB-CD=1,
又∠CBA=45°,所以HC=1,
以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,0),B(3,0),D(0,1),C(2,1),则=(-3,1),
故·=2×(-3)+1×1=-5.
(2)由(1)可知=(2,1),
故k=(3k,0)-(0,1)=(3k,-1),
若k与共线,则3k×1=-2,
根据向量共线列关于k的方程,解方程求值.
解得k=-.
(3)设=λ,λ∈(0,1),则=λ=(λ,-λ),易知P(λ+2,1-λ),
则=(-λ-2,λ-1),=(1-λ,λ-1),=(-λ,λ),
则()·=(-2λ-1,2λ-2)·(-λ,λ)=2λ2+λ+2λ2-2λ=4λ2-λ,
通过坐标运算,将()·表示成关于λ的二次函数,利用函数的性质求得最值.
对于y=4λ2-λ,λ∈(0,1),其图象的对称轴为直线λ=,故其最小值为4×,
故()·的最小值为-.
思想方法　一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
　　一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
8.B　因为asin A-csin C=(b-c)sin B,
所以a2-c2=b2-bc,
通过正弦定理将角转化为边.
所以b2+c2-a2=bc,故cos∠BAC=,
通过余弦定理将边的关系转化为角的余弦值.
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.
因为D是BC边的中点,所以,
利用平面向量的运算,将线段的长度转化为向量的模.
则·,
即16=bc,
故16≥bc,
所以bc≤64(2-),当且仅当b=c时,等号成立.
所以S△ABC=bcsin∠BAC≤16(2-,
即△ABC面积的最大值为32-16.
故选B.
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