2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第四章　三角恒等变换拔高练

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2025北师大版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　利用三角恒等变换解决求值问题
1.(2024新课标Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m　　　　B.-　　　　
C.　　　　 D.3m
2.(2024全国甲理,8)已知,则tan=(　　)
A.2-1　　　　
C.
3.(2023新课标Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A.　　　　
C.-
4.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
5.(2024新课标Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+
tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
考点2　三角恒等变换的应用
6.(2021全国乙文,4)函数f(x)=sin的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.3π和　　　　B.3π和2　　　　
C.6π和　　　　D.6π和2
7.(2024新课标Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
8.(2024北京,16)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
三年模拟练
应用实践
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=
2cos 2C,则cos C的最小值为(　　)
A.　　　　
C.
2.(2023浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin ωx-cos(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　　
C.
3.(2023湖南长沙联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|<π),且
f-f=2,则当f(α)=时,cos=(　　)
A.-　　　　
C.-
4.(2024江西多校教学质量检测)a=,b=
tan 84°-tan 24°-tan 84°tan 24°,c=4sin 32°sin 58°,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aB.aC.cD.b5.(多选题)(2024江西景德镇期末质量检测)已知α,β均为锐角,
2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是(　　)
A.若β=,则α=
B.若α+2β=,则sin β=
C.若β>,则α+β>
D.α的最小值为
6.(多选题)(2024山东青岛一中月考)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,荣昌折扇平面图为如图的扇形COD,其中∠COD=,OC=4OA=4,动点P在弧上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧于点Q,且(x,y∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若y=x,则x+y=1　　　　
B.若y=2x,则·=0
C.·≥-2　　　　
D.·≥
7.(2023广东汕头金山中学模拟)已知α,β为锐角,tan(α+β)=-,cos β=,则sin α=　　　　.
8.(2022河南六市三模)我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即S=(其中S为三角形的面积,a,b,c为三角形的三边长).在非直角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=c(cos B+cos C)=2,则△ABC的面积最大时,c=　　　　.
9.(2024江西宜春宜丰中学月考)已知a=(2cos ωx,f(x)-sin 2ωx),b=
(cos ωx,-1),x∈R,ω>0,且a⊥b,函数f(x)的最小正周期T=π.
(1)求函数f(x)的解析式与单调递增区间;
(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,f(A)=,点D在BC上,且AD平分∠BAC,a=3,AD=2,求△ABC的周长.
迁移创新
10.(2024江西抚州临川十六中月考)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活.所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点A(x1,y1),B(x2,y2),曼哈顿距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1+y2|,余弦相似度:cos(A,B)=,余弦距离:1-cos(A,B).
(1)若A(1,-,求A,B之间的d(A,B)和余弦距离;
(2)已知M(sin α ,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β).若cos(M,N)=,求tan αtan β的值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A　由题意得
所以故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A.
2.B　
=
=tanα+=,
∴tan-1.
3.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×.故选B.
4.答案　-
解析　由tan θ=,得sin θ=cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1,可得cos2θ=,又因为θ∈,所以cos θ=,则sin θ=,
所以sin θ-cos θ=-.
5.答案　-
解析　解法一:∵α是第一象限角,∴2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,
∵β是第三象限角,∴π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,
∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,
∴角(α+β)的终边在第三、四象限内或与y轴的非正半轴重合,
又由已知条件易得tan(α+β)=.
∴角(α+β)的终边在第四象限,
∴sin(α+β)<0,∴sin(α+β)=-.
解法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,
∴cos α>0,cos β<0,
cos α=,cos β=,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=.
6.C　f(x)=sin,最小正周期T==6π;当sin=1,即x=π+6kπ,k∈Z时, f(x)取得最大值,故选C.
7.解析　(1)由已知得2sin A+cos A=2,
故sin=1.易知A∈(0,π),
∴A+∈,∴A+,∴A=.
(2)∵bsin C=csin 2B,
∴由正弦定理得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B.
∵B,C∈(0,π),∴sin B≠0,sin C≠0,
∴cos B=,∴B=.又∵A+B+C=π,A=,
∴sin C=sin,
由正弦定理得,
∴b=2.
∴△ABC的周长为a+b+c=2+.
8.解析　(1)∵sin 2B=bcos B,∴2sin Bcos B=b·cos B,∵A为钝角,∴B为锐角,∴cos B>0,
∴2sin B=b,∴,∴sin A=,又A为钝角,∴A=.
(2)若选①,b=7,则a=b=7,又A=,∴B=,
∴A+B>π,此时三角形不存在,∴不能选①.
若选②,cos B=,则sin B=,
由,a=7,得b==3,
易得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.
∴S△ABC=absin C=×7×3×.
若选③,csin A=,∴c==5.
解法一:由,a=7,得sin C=,又∵0∴S△ABC=acsin B=×7×5×.
解法二:由A=,a=7,c=5及a2=c2+b2-2bccos A得25+b2+5b=49,得b2+5b-24=0,
∴(b+8)(b-3)=0,∴b=3(负值舍去),
∴S△ABC=bcsin A=×3×5×.
三年模拟练
1.C　∵cos 2A+cos 2B=2cos 2C,
∴1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),
即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2.
∴cos C=≥,
当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为.
2.B　f(x)=sin ωx-cos
=sin ωx-
=sin ωx-cos ωx
=.
当x∈[0,π]时,ωx-∈(ω>0),
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,
所以解得≤ω<.
3.C　由题意得,f(x)max=f =1,f(x)min=f =-1,即sin=-1,
∴
①-②,可得ω=1+2(k2-k1),k1∈Z,k2∈Z,
∵0<ω<3,∴ω=1,
将ω=1代入ω·+φ=2k1π+,k1∈Z,得φ=2k1π+,k1∈Z,
又|φ|<π,∴φ=,
∴f(x)=sin,则f(α)=sin,
∴cos=-cos2α+
=2sin2.
4.D　a=
=
=,
由0=2cos 28°>2cos 30°=;
tan 60°=tan(84°-24°)=,
故b=tan 84°-tan 24°-tan 84°tan 24°=tan 60°(1+tan 84°tan 24°)-
tan 84°tan 24°=;
因为32°+58°=90°,所以sin 58°=sin(90°-32°)=cos 32°,
故c=4sin 32°sin 58°=4sin 32°cos 32°=2sin 64°=2cos 26°>2cos 28°,
又cos 26°>cos 28°>cos 30°=,所以b故选D.
5.ACD　对于A,若β=,则2cos α=sin=sin αcos +cos αsin sin α+cos α,
即cos α=sin α,解得tan α=,
又α为锐角,所以α=,故A正确;
对于B,若α+2β=,则α=-2β,
由2cos α=sin(α+β),得2cos,所以2sin 2β=cos β,
即2×2sin βcos β=cos β,又β为锐角,所以cos β≠0,所以sin β=,故B错误;
对于D,2cos α=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β tan α=,
令y=tan α,x=sin β,其中α,β均为锐角,则y=,
等号两边平方,得y2=,∴(1+y2)x2-4x+4-y2=0,
由判别式得Δ=(-4)2-4(1+y2)(4-y2)≥0,解得y2≥3,即tan α≥,
又α为锐角,所以α的最小值为,当β=时,α取最小值,故D正确;
对于C,由D的分析知α≥,而β>,所以α+β>,故C正确.
故选ACD.
6.BD　如图,作OE⊥OC,分别以OC,OE所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(1,0),C(4,0),B),
设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(4cos θ,4sin θ),
由可得(cos θ,sin θ)=(4x,0)+(-2y,2y),
即cos θ=4x-2y,sin θ=2y,
对于A,若y=x,则cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+=1,解得x=y=(负值舍去),故x+y=,故A错误;
对于B,若y=2x,则cos θ=4x-2y=0,则θ=,所以·=4cos θ=0,故B正确;
对于C,··(4cos θ,4sin θ)
=-6cos θ+2sin θ=4,
因为θ∈,所以θ-∈,故-6≤4≤6,
所以·≥-6,故C错误;
对于D,易得=(1-4cos θ,-4sin θ),=--4cos θ,-4sin θ,
则·=(1-4cos θ)+(-4sin θ)·-
2cos θ-2sin θ=,
因为θ∈,所以θ+∈,所以sinθ+∈,所以·≥,故D正确.
故选BD.
7.答案　
解析　因为α,β为锐角,且tan(α+β)=-<0,所以α+β∈,
所以sin(α+β)>0,cos(α+β)<0.
由
解得
又β∈,cos β=,所以sin β=,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-sin β·cos(α+β)=.
8.答案　2
解析　∵a=c(cos B+cos C),
∴sin A=sin C(cos B+cos C).
∵A=π-(B+C),
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
∴sin Bcos C=sin Ccos C.
∵△ABC为非直角三角形,∴cos C≠0,
∴sin B=sin C,即b=c,
∴S△ABC=
=
=,
故当c2=12,即c=2时,S△ABC最大.
9.解析　(1)因为a⊥b,所以a·b=0,
即2cos2ωx-f(x)+sin 2ωx=0,
所以f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+=2sin2ωx++,
由T==π,得ω=1,
所以f(x)=2sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由题及(1)知, f(A)=2sin,
又A为△ABC的内角,
所以A=或A=,
又因为△ABC为锐角三角形,所以A=,
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以bcsin∠BAC=·|AD|·sin ·(b+c),
即bc=2(b+c),
在△ABC中,由余弦定理可得cos∠BAC=,即b2+c2-9=bc,代入bc=2(b+c),
可得(b+c)2-2(b+c)-9=0,
解得b+c=3或b+c=-(舍去),
故△ABC的周长为a+b+c=3+3.
10.解析　(1)由题知,d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|=
,
cos(A,B)=,
所以余弦距离等于1-cos(A,B)=.
(2)由cos(M,N)=,得··=sin αsin β +
cos αcos β=,
同理,由cos(M,Q)=得sin αsin β-cos αcos β=,
故2(sin αsin β-cos αcos β)=3(sin αsin β+cos αcos β),
即sin αsin β=-5cos αcos β,
即=-5,
故tan αtan β=-5.
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