2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第四章　三角恒等变换复习提升

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2025北师大版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对公式结构把握不准确致错
1.已知2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,则cos(α-β)=(　　)
A.-
2.(多选题)(2024江西南昌第一中学月考)下列化简正确的是(　　)
A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=
B.sin 30°sin 22.5°sin 67.5°=
C.
D.2cos215°-1=
3.(2024江西景德镇期末质量检测)已知θ∈,tan 2θ=-4tan,则=　　　　.
易错点2　忽视角的范围致错
4.(2023重庆万州第二高级中学阶段练习)若0<α<,则cos=(　　)
A.
5.(2024四川内江六中月考)已知sin(2α-β)=,sin β=-,且<β<0.
(1)求cos 2α的值;
(2)求角α-β的大小.
易错点3　忽视角之间的特殊关系致错
6.(2022广东茂名五校联盟联考)若cos(α-β)=,且-<α-β<0,则cos 2α的值为　　　　.
7.已知α,β为锐角,sin α=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值.
8.(2024江西南昌第一中学期中)已知0<α<.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值;
(3)求角α-β的大小.
思想方法练
一、函数与方程思想
1.(2023广东广州七中月考)若,则tan 2θ=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.1
2.已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围为　　　　.
二、分类讨论思想
3.(多选题)设角θ的终边在第二象限,则的值可能为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　D.2
4.(2022湖北普通高中联合体期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
三、转化与化归思想
5.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知tan,则cos 2α+
sin 2α+2=(　　)
A.　　　　D.2
6.(2023安徽淮北一中期末)(1)设0<β<α<,且cos α=,求角β的值;
(2)已知tan α=,且sin(2α+β)=sin β,求tan(α+β)的值.
7.(2023宁夏银川唐徕中学期末)已知f(x)=cos
(ω>0),A,B是函数f(x)的图象与直线y=的两个交点,且|AB|的最小值为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若 x∈都有f(x)≥m2-m-,求m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
本章复习提升
易混易错练
1.C　由2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,平方后相加得4sin2α+4cos2α+sin2β+cos2β-4sin αsin β-4cos αcos β=4,即5-4sin α·
sin β-4cos αcos β=4,
故sin αsin β+cos αcos β=,所以cos(α-β)=.
故选C.
易错警示　在使用两角和与差的正、余弦公式时不要把“+”“-”以及函数名称记错,两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相异”,两角和与差的正弦公式可简记为“异名相乘,符号相同”.
2.CD　对于A,cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)
=-,故A错误;
对于B,sin 30°sin 22.5°sin 67.5°=sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,故B错误;
对于C,=tan(48°+72°)=tan 120°=-,故C正确;
对于D,2cos215°-1=cos 30°=,故D正确.
故选CD.
3.答案　
解析　由tan 2θ=-4tan,
得,
显然1-tan θ≠0,则=-2(tan θ+1),
整理得2tan 2θ+5tan θ+2=0,
解得tan θ=-2或tan θ=-,
又因为θ∈,
所以tan θ∈(-1,0),所以tan θ=-,
所以(tan θ+1)=.
易错警示　在进行三角函数式的变形时,容易弄错公式,而忽略公式的结构特征与符号特征,因此熟练掌握公式是解此类题的关键.
4.C　因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=.
因为-<β-,
所以cos.
所以cos=cos(α+β)·cos+sin(α+β)·
sin.故选C.
5.解析　(1)因为<α<π,所以π<2α<2π,
又-<β<0,所以0<-β<,所以π<2α-β<,
又sin(2α-β)=>0,所以2π<2α-β<,
所以cos(2α-β)=.
由-<β<0且sin β=-,得cos β=,
所以cos 2α=cos [(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β=.
(2)由(1)知cos 2α=2cos2α-1=,且<α<π,
所以cos α=-,sin α=,
sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cos α-cos(2α-β)sin α=,
因为<α<π,0<-β<,所以<α-β<,
所以α-β=.
易错警示　求三角函数值时,容易忽略角的范围而导致错误,为了避免这些错误,求解时要做到:(1)使用公式时要考虑全面;(2)将一些三角函数值与特殊角的三角函数值进行比较,方便限定角的范围;(3)善于利用隐含条件把角缩小到尽可能小的范围内.
6.答案　
解析　因为-<α-β<0,cos(α-β)=,
所以sin(α-β)=-,
因为α+β=,所以sin(α+β)=,cos(α+β)=-,
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=-.
7.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,
∴cos α=.
∴cos=cos αcos+sin αsin
=.
(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),
由cos(α+β)=得sin(α+β)=,
∴sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=.
8.解析　(1)∵0<α<<β<0,
∴+α<,
∴sin,
则cos·cos.
(2)sin β=cos.
(3)由cos(cos α-sin α)=,得cos α-sin α=,①
由sin(cos α+sin α)=,得cos α+sin α=,②
由①②解得cos α=,sin α=,
由(2)知sin β=-,∵-<β<0,∴cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
由题得,0<α-β<π,∴α-β=.
易错警示　对于三角函数的给值求值、给值求角问题,求解的关键是“变角”,即采用拆角、凑角等技巧将“目标角”变换成“已知角”,在“变角”的过程中,要注意分析所求角和已知角之间的关系,当角的终边所在的象限不确定时,应分情况讨论.
思想方法练
1.D　因为,所以,所以,
即tan θ=,即tan 2θ+2tan θ=1,
整理成关于tan θ的方程求解.
所以tan 2θ==1.
2.答案　(-1,1)
解析　令sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,
设变量t,构造关于t的函数,利用函数的性质解决问题.
所以sin θ+cos θ+sin θcos θ=.
因为θ∈,所以θ+∈,
所以sin∈,
所以t=sin θ+cos θ=∈(-1,1).
所以(t+1)2-1∈(-1,1),
故sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是(-1,1).
思想方法　函数与方程思想在本章中的主要体现:(1)利用方程思想求解某个三角函数值;(2)构造函数或借助现有的函数,研究关于三角函数的性质问题等.
3.AB　∵角θ的终边在第二象限,
∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,
∴kπ+.
要去掉绝对值符号,需要确定sin与cos的大小关系,故需对角的终边位置进行讨论.
故当2nπ+<2nπ+,n∈Z时,sin>0,
∴=-1;
当2nπ+<2nπ+,n∈Z时,sin<0,
∴=1.
故选AB.
4.解析　(1)∵角α的终边经过点P(-3,),
∴sin α=,cos α=-,tan α=-.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-.
(2)由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由于角α+β的终边所在位置不确定,因此cos(α+β)的值有两个.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α.
当cos(α+β)=时,cos β=;
当cos(α+β)=-时,cos β=-.
根据cos(α+β)的不同取值分类讨论,分别求出cos β的值.
所以cos β=.
思想方法　分类讨论思想在本章中的主要体现:(1)利用同角三角函数的平方关系开方求值时,对角的正弦值或余弦值的正负进行分类讨论;(2)利用半角公式开方求值时,对半角的三角函数值的正负进行分类讨论;(3)由已知条件得出不同结果时,对各结果进行分类讨论求解等.
5.C　由tan得,解得tan α=3,
利用两角差的正切公式将已知条件转化为关于tan α的方程,从而求得tan α的值.
cos 2α+sin 2α=,
将cos 2α+sin 2α的分母1用sin2α+cos2α代替,从而将所求式转化为关于sin α,cos α的齐次式.
所以cos 2α+sin 2α+2=-.
6.解析　(1)因为0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,所以0<α-β<,
sin α=,sin(α-β)=,
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=,
将求角β的值转化为求角β的正弦值,再根据条件转化为求α-(α-β)的正弦值.
又0<β<,所以β=.
(2)因为sin(2α+β)=sin β,
所以2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
即2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,
即sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,
则tan(α+β)=5tan α=5×.
思想方法　转化与化归思想是三角恒等变换中应用最广泛、最基本的数学思想之一,解决问题时,要注意“三看”:(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;(2)看名称,把一个式子尽量化成关于同一三角函数名称的式子;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的相关公式,如果满足,则直接使用,如果不满足,则转化角或转换三角函数名称,使其可以使用公式.
7.解析　(1)f(x)=cos
=cos
=sin cos cos 2
=sin ωx+
=sin ωx+cos ωx
=
=,
通过三角函数的相关公式将f(x)的解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,便于求解.
易知f(x)max=,
∴f(x)的最小正周期T=|AB|min=π,∴ω==2,
∴f(x)=,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.
(2)当≤x≤时,≤2x+≤,∵,∴当2x+,即x=时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f ,
将原问题转化为f(x)在上的最小值恒大于或等于m2-m-,从而将其转化为代数不等式恒成立问题.
则问题等价于≥m2-m-恒成立,即m2-m-2≤0恒成立,解得-1≤m≤2,
所以m的取值范围是[-1,2].
思想方法　转化与化归思想在本章中的主要体现:(1)化多角的形式为单角的形式;(2)化多种函数名称为一种函数名称;(3)化未知角为已知角;(4)化高次为低次;(5)化非特殊角为特殊角等.
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