2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第五章　复数

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2025北师大版高中数学必修第二册
第五章　复数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z(1+i)=1-i,则||=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.
2.若2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位,p,q∈R),则q的值为(　　)
A.-5　　　　B.5　　　　C.-3　　　　D.3
3.已知复数z≠0,则“|z|=1”是“z+∈R”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(2,-1),(0,-1),则+|z2|=(　　)
A.2+2i　　　　B.2-2i　　　　C.-2+i　　　　D.-2-i
5.若复数z满足i·z=2 022+i2 023(i是虚数单位),z的共轭复数是,则|z-|=(　　)
A.　　　　B.4 044　　　　C.2　　　　D.0
6.在复平面内,已知复数z1=1-i对应的向量为,现将向量绕点O按逆时针方向旋转90°,并将其长度变为原来的2倍得到向量,设对应的复数为z2,则=(　　)
A.2i　　　　B.2
7.已知集合A=xx-≤(i为虚数单位),集合B=x∈R≤0,则A∩B=(　　)
A.{x|0C.{x|08.已知复数z满足|z|=1,则|z-2-2i|的最小值是(　　)
A.2-1
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在复平面内,给出以下四种说法,其中正确的是(　　)
A.实轴上的点表示的数均为实数
B.虚轴上的点表示的数均为纯虚数
C.互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数
D.已知复数z满足(1+i)z=3-i,则z在复平面内所对应的点位于第四象限
10.已知复数z1,z2,则下列结论正确的是(　　)
A.|z1|+|z2|≥||
B.若|z1|=|z2|,则z1=z2
C.若|z1z2|=0,则z1,z2中至少有1个是0
D.若z1≠0且z1=z2,则
11.已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=|a|+|b|,D(z1,z2)=|z1-z2|,则下列命题正确的是(　　)
A.对任意z∈C,都有D(z)>0
B.若是复数z的共轭复数,则D(z)=D()恒成立
C.若D(z1)=D(z2),则z1=z2
D.对任意z1,z2,z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.写出一个复数z,使得z满足z2∈R且z R,则z可以为　　　　.
13.已知复数z满足z(1+i)=2ti(t∈R),若|z|=2,则t的值为　　　　.
14.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,在复平面内对应的点位于第　　　　象限,|eix-2|的最大值为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在一次函数y=x的图象上,求|z|.
16.(15分)已知复数z满足(1+ai)z=bi,其中i为虚数单位,a,b∈R.
(1)当a=1,b=2时,求z·|z|-i2 025的值;
(2)若z·=1,求b2+a的最小值.
17.(15分)已知复数z在复平面内对应的点在一次函数y=-x的图象上,且复数z+为实数.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,i·z在复平面内对应的点分别为A,B,C,若点A在第二象限内,求△ABC的面积.
18.(17分)已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0.
(1)若方程的一个根为a+i,a∈R,求实数m的值;
(2)若方程的两根为x1,x2,且|x1|+|x2|=2,求实数m的值.
19.(17分)任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式,即z=a+bi=r(cos θ+isin θ),其中i为虚数单位,r=|z|=≥0,θ∈[0,2π).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667—1754)创立.设两个复数用三角形式表示为z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].如果令z1=z2=…=zn=z,则能导出复数乘方公式:zn=rn(cos nθ+isin nθ).请用以上知识解决下列问题.
(1)试将z=-3i写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ;cos 3θ=4cos3θ-3cos θ;
(3)计算:cos 4θ+cos 4(θ+120°)+cos 4(θ-120°)的值.
答案全解全析
第五章　复数
1.A　由题意得z==-i,所以=i,所以||=1.
2.B　∵2-i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根,则q=(2-i)(2+i)=4+1=5.故选B.
3.A　设z=a+bi,a,b∈R,且a,b不同时为0,i为虚数单位,则|z|==1,即a2+b2=1,
则z+=2a∈R,故充分性成立;
取z=2,则z+∈R,但|z|=2,故必要性不成立.
综上所述,“|z|=1”是“z+∈R”的充分不必要条件.故选A.
4.A　由题意可得z1=2-i,z2=-i,则=1+2i,|z2|=1,因此+|z2|=2+2i.故选A.
5.B　因为i·z=2 022+i2 023=2 022+i3=2 022-i,
所以z==-1-2 022i.
所以=-1+2 022i,
所以z-=-1-2 022i-(-1+2 022i)=-4 044i,
所以|z-|=|-4 044i|=4 044.故选B.
6.A　依题意知,=(1,-1),将向量绕点O按逆时针方向旋转90°所得向量的坐标为(1,1),因此=2(1,1)=(2,2),即z2=2+2i,
所以=2i.故选A.
7.A　设x为实数,=-i,则≤等价于|x+i|=≤,
解得-1≤x≤1,故集合A={x|-1≤x≤1},
不等式≤0等价于或解得0故集合B={x|0所以A∩B={x|08.B　设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1,∴复数z在复平面内所对应的点Z(a,b)在以原点O为圆心,1为半径的圆上,
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|的几何意义是点Z(a,b)到点A(2,2)的距离,
∴|z-2-2i|的最小值是点A(2,2)到原点的距离减去圆的半径,
即-1.故选B.
9.ACD　对于A,由复数的几何意义知,实轴上的点表示的数均为实数,故A正确;
对于B,原点在虚轴上,原点表示的数为零,不是纯虚数,故B错误;
对于C,互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数,故C正确;
对于D,由(1+i)z=3-i,得z==1-2i,所以复数z在复平面内所对应的点为(1,-2),位于第四象限,故D正确.故选ACD.
10.ACD　对于A,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=c-di,所以=(a+c)-(b+d)i,
即=(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd≤a2+b2+c2+d2+2|ac+bd|≤a2+b2+c2+d2+2,
即|z1|+|z2|≥||,所以A正确;
对于B,例如z1=1+2i,z2=2+i,此时满足|z1|=|z2|,但z1≠z2,所以B的结论不正确;
对于C,由|z1z2|=|z1||z2|=0,可得|z1|=0或|z2|=0,
当|z1|=0时,=0,可得a=0,b=0,此时z1=0;
当|z2|=0时,=0,可得c=0,d=0,此时z2=0,
所以z1,z2中至少有1个是0,所以C的结论正确;
对于D,设z1=a+bi(其中实数a,b不能同时为零),则=a-bi,
因为z1=z2,所以z2=a+bi,则z2=(a-bi)(a+bi)=a2+b2,
又=a2+b2,所以,所以D的结论正确.故选ACD.
11.BD　对于A,当z=0∈C时,D(z)=0+0=0,所以A为假命题.
对于B,易知=a-bi,则D(z)=D()=|a|+|b|,所以B为真命题.
对于C,由于D(z)=D()成立,且z和不一定相等,所以C为假命题.
对于D,依题意知D(z1,z3)=|z1-z3|,D(z1,z2)=|z1-z2|,D(z2,z3)=|z2-z3|,易知|z1-z3|表示复数z1和z3在复平面内对应的两点间的距离,|z1-z2|表示复数z1和z2在复平面内对应的两点间的距离,|z2-z3|表示复数z2和z3在复平面内对应的两点间的距离.根据三角形两边之和大于第三边可知|z1-z2|+|z2-z3|>|z1-z3|,在复平面内,当z2对应的点在z1和z3对应的两点连成的线段上时,|z1-z2|+|z2-z3|=|z1-z3|,所以D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立,所以D为真命题.
12.答案　i(答案不唯一)
13.答案　2或-2
解析　由z(1+i)=2ti(t∈R),得z==ti(1-i)=t+ti.
因为|z|=2,所以t2+t2=,解得t=2或t=-2.
14.答案　三;3
解析　=cos +isin i,故其在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限;
|eix-2|=|cos x+isin x-2|=≤3,当且仅当cos x=-1时取等号.
15.解析　(1)若z为纯虚数,则 (3分)
解得m=-2.(6分)
(2)由题意可得m-1=(m2+m-2),(8分)
解得m=1(二重根),(10分)
所以z=0,所以|z|=0.(13分)
16.解析　(1)当a=1,b=2时,(1+ai)z=bi可化为(1+i)z=2i,(1分)
则z==i(1-i)=1+i,(3分)
∴|z|=,(5分)
∴z·|z|-i2 025=.(7分)
(2)∵(1+ai)z=bi,
∴z=i,(8分)
∵z·=|z|2=1,∴|z|=1,即=1,(10分)
∴b2=a2+1,(12分)
∴b2+a=a2+a+1=≥,∴b2+a的最小值为.(15分)
17.解析　(1)因为复数z在复平面内对应的点在一次函数y=-x的图象上,所以可设z=a-ai(a∈R), (3分)
又因为z+i为实数,(5分)
所以-a=0,解得a=±1,所以z=1-i或z=-1+i.(7分)
(2)因为点A在第二象限内,所以z=-1+i,故A(-1,1),(8分)
z2=(-1+i)2=-2i,故B(0,-2),(10分)
i·z=i(-1+i)=-1-i,故C(-1,-1),(12分)
所以AC=2,△ABC的高为1,
所以S△ABC=×2×1=1.(15分)
18.解析　(1)根据题意得,方程的另一个根为a-i,(2分)
根据根与系数的关系,知2a=2(m-1),a2+1=,(5分)
∴m=3或m=1.(7分)
(2)对于方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0,当Δ≥0,即m∈(-∞,2-]∪[2+,+∞)时,由x1x2=>0,可知两根同号,(9分)
从而|x1|+|x2|=|x1+x2|=2,可得 2(m-1)=±2,(11分)
解得m=0或m=2(舍去).(13分)
当Δ<0,即m∈(2-)时,方程有两个互为共轭复数的虚根,
故|x1|=|x2|,且由|x1|+|x2|=2可得|x1|=1,
∴1=|x1|2=x1·x2=,解得m=1或m=-1(舍去).(16分)
综上所述,m=0或m=1.(17分)
19.解析　(1)由于z=-3i,故|z|=,(2分)
则z=2.(4分)
(2)设模为1的复数为z=cos θ+isin θ,(5分)
则z3=(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+3cos2θ·isin θ+3cos θ·(isin θ)2+(isin θ)3
=cos 3θ+i(3cos2θ·sin θ)-3cos θ·sin2θ-i·sin3θ
=(cos 3θ-3cos θ·sin2θ)+i(3cos2θ·sin θ-sin 3θ)
=[cos3θ-3cos θ(1-cos 2θ)]+i[3(1-sin2θ)sin θ-sin3θ]
=(4cos3θ-3cos θ)+i(3sin θ-4sin3θ),(7分)
由复数乘方公式可得z3=cos 3θ+isin 3θ,(8分)
故sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.(10分)
(3)cos θ+cos(θ+120°)+cos(θ-120°)=cos θ-cos θ-sin θ-cos θ+sin θ=0;
由于cos 3θ=4cos3θ-3cos θ,则4cos3θ=cos 3θ+3cos θ,
则4cos4θ=cos 3θcos θ+3cos2θ=(cos 4θ+cos 2θ)+(1+cos 2θ)=cos 4θ+2cos 2θ+,故cos 4θ=(cos 4θ+4cos 2θ+3),(12分)
则cos 4(θ+120°)=[cos(4θ+480°)+4cos(2θ+240°)+3]
=[cos(4θ+120°)+4cos(2θ-120°)+3],
cos 4(θ-120°)=[cos(4θ-480°)+4cos(2θ-240°)+3]
=[cos(4θ-120°)+4cos(2θ+120°)+3],(14分)
所以cos 4θ+cos 4(θ+120°)+cos 4(θ-120°)
=(cos 4θ+4cos 2θ+3)+[cos(4θ+120°)+4cos(2θ-120°)+3]
+[cos(4θ-120°)+4cos(2θ+120°)+3]
=[cos 4θ+cos(4θ+120°)+cos(4θ-120°)]+[cos 2θ+cos(2θ-120°)+cos(2θ+120°)]+.(17分)
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