2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第五章　复数拔高练

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2025北师大版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　复数的有关概念
1.(2023全国甲理,2)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
2.(2022浙江,2)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
A.a=1,b=-3　　　　B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3　　　　D.a=1,b=3
3.(2020全国Ⅲ理,2)复数的虚部是(　　)
A.-　　　　
C.
考点2　复数的几何意义
4.(2024新课标Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2
5.(2023北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+i
C.-1+i
6.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
7.(2020全国Ⅱ理,15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.
考点3　复数的运算
8.(2024新课标Ⅰ,2)若=1+i,则z=(　　)
A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　
C.1-i　　　　D.1+i
9.(2024全国甲理,1)若z=5+i,则i(+z)=(　　)
A.10i　　　　B.2i　　　　C.10　　　　D.2
10.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.　　　　D.5
11.(2023新课标Ⅰ,2)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　　　B.i　　　　C.0　　　　D.1
12.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　
C.2-i　　　　D.2+i
13.(2021全国新高考Ⅰ,2)已知z=2-i,则z(+i)=(　　)
A.6-2i　　　　B.4-2i　　　　
C.6+2i　　　　D.4+2i
14.(2021全国甲理,3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=　　(　　)
A.-1-i
C.--i
15.(2021全国乙理,1)设2(z+)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
16.(2023全国甲文,2)=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　
C.1-i　　　　D.1+i
17.(2023天津,10)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024宁夏银川模拟)已知复数z=m2-1+(m+i2)·i(m∈R)为纯虚数,则m=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.1或-1　　　　D.2
2.(2023陕西渭南检测)棣莫弗公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667—1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,若复数z满足z·=|1+i|,则复数z在复平面内对应的点Z位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
3.(多选题)(2023湖南衡阳八中月考)已知复数z1,z2满足z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,则(　　)
A.z1=4+i
B.z2在复平面内对应的点位于第三象限
C.2z1+z2为纯虚数
D.z1z2的共轭复数为-2+9i
4.(多选题)(2024浙江杭州二中期中)已知z1,z2为复数,z1z2≠0,则下列说法正确的是(　　)
A.
B.|z1+z2|=|z1|+|z2|
C.与互为共轭复数
D.若|z1|=1与则|z1-3+4i|的最大值为6
5.(2024河南商丘期中联考)若复数z满足|z|=|z+2i|,且为纯虚数,则z=　　　　.
6.(2024河北保定部分高中开学联考)已知复数z满足|z-1+i|=2为z的共轭复数,则z·的最大值为　　　　.
7.(2024河南期中)已知复数z满足|z-1-i|=2,i为虚数单位,z在复平面内对应的点为Z,定点M(-1,0),O为坐标原点,则·的最小值为　　　　.
8.(2024江西五校期中联考)已知i是虚数单位,复数z1=2a-i,z2=2b+i,z3=a+bi,a,b∈R,且|z3|=1.
(1)若z1-z2为纯虚数,求z3;
(2)若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,且O为坐标原点.
①是否存在实数a,b,使向量按逆时针方向旋转90°后与向量重合 如果存在,求实数a,b的值;如果不存在,请说明理由;
②若O,A,B三点不共线,记△ABO的面积为S(a,b),求S(a,b)及其最大值.
迁移创新
9.(2024山东日照实验高级中学月考)某同学在解题时发现,以下三个式子的结果都等于同一个常数:
①(i为虚数单位).从三个式子中任意选择一个,求出这个常数为　　　　;根据三个式子的结构特征及计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式:　　　　　　　 .
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C　∵(a+i)(1-ai)=2,∴a-a2i+i-ai2=2,
∴a+a+(1-a2)i=2,
∴∴a=1.
2.B　∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
3.D　,其虚部为.
4.C　∵z=-1-i,∴|z|=.故选C.
5.D　由题知复数z=-1+i,则i.
6.A　(1+3i)(3-i)=6+8i,故该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.
7.答案　2
解析　解法一:设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则a2+b2=4,c2+d2=4,
∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,
∴a+c=,b+d=1,
则(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=4,
∴8+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-4,
∴|z1-z2|=
=
=.
解法二:如图,设在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,,
由|z1|=|z2|=2,可知点Z1,Z2在以O为圆心,2为半径的圆上.
由|=2=|OZ1|=|OZ2|,知点P在该圆上,且平行四边形OZ1PZ2为菱形,∠Z1OZ2=120°,∴∠POZ1=60°,
∴|z1-z2|=||=2×2×sin 60°=2.
8.C　由已知可得z=(1+i)·(z-1),即z·i=1+i,故z=+1=1-i,故选C.
9.A　∵z=5+i,∴=5-i,∴i(+z)=10i,故选A.
10.C　|2+i2+2i3|=|1-2i|=,故选C.
11.A　z=,所以,所以z-=-i,故选A.
12.B　z==1-2i,所以=1+2i.故选B.
13.C　∵z=2-i,∴=2+i,
∴z(+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.
14.B　由题意得z=i.
15.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
16.C　=1-i.故选C.
17.答案　4+i
解析　=4+i.
三年模拟练
1.B　z=m2-1+(m+i2)·i=m2-1+(m-1)i,因为复数z为纯虚数,所以解得m=-1.故选B.
2.C　因为 z·=|1+i|,所以根据棣莫弗公式可知,z·=z·,即z·(-1+i)=2,则z==-1-i,因此复数z在复平面内对应的点为Z(-1,-1),它位于第三象限.
3.ABD　因为z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i,所以2z1=(3-i)+(5+3i)=8+2i,2z2=(3-i)-(5+3i)=-2-4i,解得z1=4+i,z2=-1-2i,故A正确;
复数z2在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限,故B正确;
2z1+z2=2(4+i)+(-1-2i)=7,为实数,故C错误;
z1z2=(4+i)(-1-2i)=-2-9i,所以z1z2的共轭复数为-2+9i,故D正确.
故选ABD.
4.ACD　设复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,x1,x2,y1,y2∈R,≠0,≠0,
对于A,i,
,故A正确;
对于B,取z1=i,z2=-i,则|z1+z2|=0,|z1|+|z2|=2,故B错误;
对于C,i,
i,所以与互为共轭复数,故C正确;
对于D,在复平面内,|z1|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,
|z1-3+4i|=|z1-(3-4i)|表示上述圆上的点与点(3,-4)之间的距离,
而点(3,-4)到原点的距离为=5,所以|z1-3+4i|的最大值为5+1=6,故D正确.
5.答案　1-i
解析　因为为纯虚数,所以可设=ai(a∈R,且a≠0),则z=,所以z+2i=,
因为|z|=|z+2i|,所以,
所以2|a|=,解得a=-1(二重根),所以z==1-i.
6.答案　18
解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
|z-1+i|=2的几何意义为z在复平面内所对应的点(a,b)到(1,-1)的距离为2,∴z在复平面内所对应的点(a,b)的轨迹是以(1,-1)为圆心,2为半径的圆,而z·=a2+b2可看成该圆上的点(a,b)到原点的距离的平方,∴=18.
7.答案　-3
解析　易知点Z的轨迹是复平面内以点Q(1,1)为圆心,2为半径的圆,如图,
·)···,
而·=(1,1)·(-1,0)=-1,·|·||cos <>=2cos <>≥-2,当且仅当方向相反时取等号,
所以·的最小值为-3.
8.解析　(1)由题知,z1-z2=(2a-2b)-(+1)i,
∵z1-z2为纯虚数,∴2a-2b=0,即a=b,
又z3=a+bi,且|z3|=1,∴a2+b2=1,
联立解得或
所以z3=-i或z3=i.
(2)①存在.
解法一:由题意知A(2a,-,B(2b,1),
即
解得或
因为向量按逆时针方向旋转90°后与向量重合,所以a=-.
解法二:设||=r(r>0),α是以x轴非负半轴为始边,OB为终边的角,则sin α=,cos α=,
由题知,A(2a,-),B(2b,1),
所以即
所以所以
当a=-时,满足|z3|==1.
所以a=-.
②设向量的夹角为θ,0<θ<π,复数z3在复平面内对应的向量为,
由题知,=(a,b),且||=1,
因此△ABO的面积S(a,b)=|sin θ
=|·|
=
≥
=
=|a+b|,
设n=(1,),则S(a,b)=|n·|≤|n|·||=2,当且仅当b=a且a2+b2=1,即或时等号成立,
所以S(a,b)=|a+b|,其最大值为2.
9.答案　i;=i(a,b∈R,且a,b不同时为零)
解析　(1)①=i.
②=i.
③=i.(选择其中一个进行求解即可)
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,可以得到=i(a,b∈R,且a,b不同时为零).
下面进行证明:
=i.
素养点评　本题第1个空考查了学生的数学运算素养,能够运用复数的运算法则正确进行运算,达到了水平一;第2个空考查了学生逻辑推理的素养,能够进行类比、归纳,得出数学结论,达到了水平二.
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