2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第一章　三角函数

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2025北师大版高中数学必修第二册
第一章　三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.
2.“φ=-+kπ,k∈Z”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
3.使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为(　　)
A.第一象限角　　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　　D.第四象限角
4.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=(　　)
A.　　　　
C.-1　　　　D.1
5.函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　　　
　　　　
6.将函数f(x)=2sin(2x-θ)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度得到一个偶函数g(x)的图象,则f(x)的零点为(　　)
A.-(k∈Z)　　　　B.-(k∈Z)
C.-(k∈Z)　　　　D.-(k∈Z)
7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,函数图象与y轴的交点为(0,-),则f(2 021π)=(　　)
A.-
8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,则(　　)
A. f(sin 1)f
C. f >f 　　　　D. f 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若α为锐角,则2α为钝角
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
A.f(x)=2sin
B.f(x)在上单调递增
C.将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到一个奇函数g(x)的图象
D.f(x)在[-π,π]上的零点有4个
11.科学研究已经证实:人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期,按曲线y=sin ωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,则(　　)
A.第35天时情绪曲线E处于最高点
B.第33天到第42天之间,智力曲线I与情绪曲线E不相交
C.第46天到第50天之间,体力曲线P处于上升期
D.体力曲线P关于点(320,0)对称
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.已知函数f(x)=sin x,若对任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=0,则实数m的一个取值为　　　　.
13.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<,对任意实数x都有f(-x)+f =0,f(x)-f =0,且f(x)在上单调,则ω的最大值为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)
(1)化简:;
(2)计算:.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(3)函数f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到函数g(x)=2cos的图象
17.(15分)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
条件:①函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;②函数y=f 是奇函数;③当x=时,函数y=f 取得最大值.
问题:已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|<,其图象的两个相邻对称中心之间的距离为,　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在上的最小值,并写出取得最小值时x的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场为响应国家节能减排的号召,在气温低于0 ℃时,才开放中央空调,否则关闭中央空调.下图是该市冬季某一天的气温y(单位:℃)随时间t(0≤t≤24,单位:时)的大致变化曲线,已知该曲线近似满足y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的关系.
(1)求y=f(t)的表达式;
(2)请根据(1)的结论,求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
19.(17分)若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x),对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数),则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cos,x∈.
(1)若函数g(x)=4sin x,x∈R,判断f(x)与g(x)是否具有关系P(2),并说明理由;
(2)若函数g(x)=2x+a,x∈[-1,2],且f(x)与g(x)具有关系P(4),求a的最大值;
(3)若函数g(x)=cos2x-mcos x+5,x∈R,且f(x)与g(x)具有关系P(3),求m的取值范围.
答案全解全析
第一章　三角函数
1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为=1,解得α=2.故选B.
2.A　因为函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称,所以,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,
因为 ,
所以“φ=-+kπ,k∈Z”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件.
3.C　依题意得sin θcos θ>0,且-cos θ≥0,
由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,
则θ为第一或第三象限角,
由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二或第三象限角,或角θ的终边在y轴上,或角θ的终边在x轴的非正半轴上.
综上,θ为第三象限角.故选C.
4.C　因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
则=-1.
5.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.故选A.
6.C　将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=2sin(4x-θ)的图象,再将所得图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin的图象,
因为g(x)为偶函数,所以,k∈Z,解得θ=kπ-,k∈Z,
又因为|θ|<,所以θ=-,所以f(x)=2sin,
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
即f(x)的零点为-(k∈Z).故选C.
7.A　由题意可得f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-,
因为函数f(x)在x=0附近单调递增,所以φ=2kπ-(k∈Z),
则f(x)=2sin,
由f =2,可得+2nπ(n∈Z),
所以ω=2+(n∈Z),
由题中图象可知,函数f(x)的最小正周期T满足,可得,即,解得,即,
因为n∈Z,所以n=0,可得ω=2,
从而f(x)=2sin,因此f(2 021π)=2sin.故选A.
8.A　∵f(x+2)=f(x),∴2是f(x)的一个周期,
当x∈[0,1]时,4-x∈[3,4],
又f(x)是偶函数,当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,
∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-x-3=1-x,∴f(x)在[0,1]上单调递减.
∵sin 1,cos 1∈[0,1],且sin 1>cos 1,∴f(sin 1)∵<1,因此f ∵0<<1,因此f >f ,故D错误.
故选A.
9.BC　A中,-是第二象限角,故A错误;B中,设扇形的半径为r,则·r=π,∴r=3,∴扇形的面积S=,故B正确;C中,=5,∴cos α=-,故C正确;D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,故D错误.故选BC.
10.AD　设函数f(x)的最小正周期为T.
由题图可知,A=2,,所以T=π,又ω>0,所以=π,解得ω=2,故f(x)=2sin(2x+φ),又函数f(x)的图象过点,所以f =2,即sin=1,
所以+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin,故A正确;
当x∈时,2x+∈,
因为y=sin x在上不单调,
所以f(x)在上不单调,故B错误;
将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到g(x)=2sin2x-+=2sin的图象,易知函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数,故C错误;
令f(x)=0,则2sin=0,即2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以f(x)在[-π,π]上的零点有-,共4个,故D正确.
11.AC　设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线对应的函数解析式分别为f(x)=sin ω1x,g(x)=sin ω2x,h(x)=sin ω3x,ω1,ω2,ω3>0,
所以ω1=.
第35天时,g(35)=sin=sin =1,故情绪曲线E处于最高点,故A正确;
设F(x)=f(x)-g(x)=sin x-sin x,
则F(33)=sin 2π-sin =-sin <0,F(42)=sin -sin 3π=sin >0,根据零点存在定理得,存在x0∈(33,42),使得F(x0)=0,此时智力曲线I与情绪曲线E相交,故B错误;
当x∈(46,50)时,x∈,
因为,所以根据正弦函数的性质可得,h(x)=sin x单调递增,故体力曲线P处于上升期,故C正确;
因为h(320)=sin ≠0,所以体力曲线P不关于点(320,0)对称,故D错误.故选AC.
12.答案　π(答案不唯一)
解析　由于f(x)+f(x+m)=0对任意x∈R恒成立,
即f(x)+f(x+m)=sin x+sin(x+m)=0对任意x∈R恒成立,
所以sin x=-sin(x+m),利用诱导公式可得m=2kπ+π,k∈Z.故可填π(答案不唯一,只要是集合{m|m=2kπ+π,k∈Z}中的元素即可).　
13.答案　
解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=,
所以x=kπ+,k∈Z.①
易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为.
14.答案　15
解析　因为f(-x)+f =0,所以f(-x)=-f ,
所以f(x)图象的一个对称中心为,
因为f(x)-f =0,所以f(x)=f ,
所以f(x)图象的对称轴方程为x=,
所以所以m,n∈Z,
因为|φ|<,所以φ=±,因为f(x)在上单调,
所以≤≤,解得14≤ω≤,
因为ω=1+2(n-m),m,n∈Z,所以ω的最大值为15.
15.解析　(1)原式==-cos α.(6分)
(2)原式=.(13分)
16.解析　(1)由f(x)的最小正周期为π,得=π,所以ω=2,(1分)
所以f(x)=2sin,(2分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,(4分)
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(6分)
(2)列表:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
(9分)
描点、连线.
　　　　　　　　　　(11分)
(3)解法一:将函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin的图象,(13分)
再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)=2cos的图象.(15分)
解法二:将函数f(x)=2sin图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2cos的图象,(13分)
再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=2cos的图象.(15分)
17.解析　(1)设函数f(x)的最小正周期为T.由题意得,则T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
选择①:因为函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称,所以y=2sin的图象关于y轴对称,所以φ-,k∈Z,(5分)
即φ=+kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=-,(8分)
所以f(x)=2sin.(9分)
选择②:因为y=f是奇函数,所以+φ=kπ,k∈Z,(5分)
即φ=-+kπ,k∈Z.(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
选择③:y=f ,(5分)
由题意得2×(k∈Z),则φ=2kπ-(k∈Z).(7分)
因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(9分)
(2)当x∈时,2x-∈,(12分)
所以当2x-,即x=-时,函数f(x)取得最小值,为-2.(15分)
18.解析　(1)由题图知,y=f(t)=Asin+b(A>0,ω>0)的图象上最低点的坐标为(3,-4),与之相邻的最高点的坐标为(15,12),
所以A==4,
设函数f(t)的最小正周期为T,则=15-3=12,所以T=24,(3分)
又T=,所以=24,所以ω=,(5分)
所以y=f(t)=8sin+4(0≤t≤24).(7分)
(2)根据题意,令8sin+4<0,即sin,(9分)
由正弦函数的图象得+2kπ,k∈Z,(11分)
解得23+24k又因为0≤t≤24,所以当k=-1时,0≤t<7,当k=0时,23所以0≤t<7或23所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时.(17分)
19.解析　(1)f(x)与g(x)具有关系P(2).(1分)
理由如下:当x∈时,2x+∈,则cos∈,即2cos∈[-2,1],所以f(x)∈[-2,1],(2分)
易知g(x)=4sin x在R上的值域为[-4,4],
由于4-2=2,1+1=2,即[1,4] [-4,4],
所以对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=2,
所以f(x)与g(x)具有关系P(2).(4分)
(2)当x∈[-1,2]时,g(x)=2x+a∈[-2+a,4+a],(5分)
由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=4,
由(1)知,f(x)∈[-2,1],
因为-2+6=4,1+3=4,所以[3,6] [-2+a,4+a],(6分)
即解得2≤a≤5,故a的最大值为5.(8分)
(3)由题意得,对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)=3,
由题及(1)知,f(x)∈[-2,1],[-2,1]是函数y=3-g(x2)的值域的子集,
(9分)
易知3-g(x)=3-cos 2x+mcos x-5=-cos 2x+mcos x-2,x∈R,
令t=cos x,则t∈[-1,1],h(t)=-t2+mt-2,t∈[-1,1],
当≤-1,即m≤-2时,h(t)∈[h(1),h(-1)]=[m-3,-m-3],
则所以m≤-4;(11分)
当≥1,即m≥2时,h(t)∈[h(-1),h(1)]=[-m-3,m-3],
则所以m≥4;(13分)
当-1<<0,即-2则所以m≤-2,无解;(15分)
当0≤<1,即0≤m<2时,h(t)∈,
则所以m≥2,无解.
综上所述,m≥4或m≤-4.
故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).(17分)
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