2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第一章　三角函数拔高练

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2025北师大版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　三角函数的定义
1.(2020全国Ⅱ,2)若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0　　　　B.cos 2α<0　　　　
C.sin 2α>0　　　　D.sin 2α<0
2.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是
“sin α=sin β”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
考点2　三角函数的图象变换
3.(2022全国甲文,5)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)
A.
4.(2021全国乙理,7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin
C.sin
5.(2020天津,8)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①　　　　B.①③　　　　
C.②③　　　　D.①②③
考点3　三角函数的图象及应用
6.(2023天津,4)函数f(x)的图象如下图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=
C. f(x)=　　　　D. f(x)=
7.(2024新课标Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　
C.6　　　　D.8
8.(2024新课标Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=(　　)
A.-1　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
9.(2020全国Ⅰ,7)设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A.
10.(多选题)(2020全国新高考Ⅰ,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)
A.sin
C.cos
11.(2023新课标Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
12.(2021全国甲理,16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件>0的最小正整数x为　　　　.
考点4　三角函数的性质
13.(2021全国新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　)
A.
C.
14.(2023天津,5)已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=sin
C.f(x)=sin
15.(2024北京,6)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1, f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
16.(多选题)(2024新课标Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
17.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =(　　)
A.-　　　　
C.
18.(2022全国乙理,15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
19.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024江西部分高中联考)2024年世界青年羽毛球锦标赛在南昌举办,这是南昌历史上举办的规格最高的国际级赛事.小王和小李为了准备羽毛球锦标赛,计划每日绕着半径为200 m(为了计算方便,跑道的宽度忽略不计)的圆形跑道逆时针匀速跑步,来提高身体素质.圆形跑道示意图如图所示,O为圆形跑道的圆心,已知小王以290 m/min的速度从A点出发,小李以300 m/min的速度从B点出发,两人同时出发.若∠AOB=,则当小王与小李相遇时,小李跑的总路程可能为(　　)
A.2 700π m　　　　B.1 050π m　　　　
C.1 800π m　　　　D.1 500π m
2.(2024湖北武汉期末)设α,β∈R,且=7,则tan(α-β)=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.
3.(2024河南洛阳一中月考)函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则f =(　　)
A.-
4.(多选题)(2023山东临沂期末)设a,b∈R,定义运算a b=已知函数f(x)=sin x cos x,则(　　)
A. f(x)是偶函数
B.2π是f(x)的一个周期
C.f(x)在上单调递减
D. f(x)的最小值为-1
5.(多选题)(2024江西南昌师大附中月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于点中心对称
B.f(x)在区间上单调递增
C.若f(x)在[0,a]上有4个零点,则实数a的取值范围是
D.将g(x)=2cos 3x图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数f(x)的图象
6.(2024河南林州检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在内单调递减,直线x=是f(x)图象的一条对称轴,且y=f 为奇函数,则f =(　　)
A.-
7.(2024湖北武昌实验中学月考)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于原点对称,且在上单调递减,若函数f(x)在[0,π]上的图象与直线y=-2有且仅有一个交点,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,1]　　　　 B.　　　　
C.[1,+∞)　　　　D.
8.(2024四川南充期末)图1是函数f(x)=cos的部分图象,经过适当的平移、伸缩变换后,得到g(x)的部分图象(如图2),则(　　)
　　
A.g(x)=f
B.g
C.方程g(x)=lox有4个不相等的实数解
D.g(x)>的解集为,k∈Z
9.(2024江西联考)已知函数y=f(x)的定义域为C,值域为D,若存在整数m∈C,n∈D,且n=f(m),则mn为函数y=f(x)的“子母数”.已知集合A=xsin≥,x∈[-8π,8π],函数g(x)=[cos x],x∈A([x]表示不超过x的最大整数,例如[1.2]=1),当xg(x)<0时,函数y=g(x)的所有“子母数”之和为　　　　.
10.(2023河南桐柏第一高级中学月考)在“①f(x)图象的一条对称轴是直线x=,③f(x)的图象关于点中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
设函数f(x)=sin(2x+φ),且　　　　.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f ,求cos的值.
11.(2024江苏常州期末)已知函数f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ),其中x∈R,θ∈.
(1)当θ=时,求f(x)在[0,3]上的最值及取最值时x的值;
(2)若f(x)的最小值为-,求θ.
12.(2023河北石家庄二中月考)已知函数f(x)=ln,t为方程4x-2x+1-3=0的根.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若不等式ef(x)≤m2+2tm+t2+2t对于任意m∈R恒成立,求满足条件的x的集合(其中e为自然对数的底数).
13.某旅游景区内有一家酒店为游客提供住宿和食物,工作人员发现有浪费食物的现象.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此酒店统计了每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征,并且具有以下规律:①每年相同的月份,入住酒店的游客人数基本相同;②入住酒店的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;③2月份入住酒店的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)函数模型f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)和f(x)=ax3+bx2+cx+d中,用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的关系更合适,为什么 并求出f(x)的解析式;
(2)在第一问选择的模型的基础上,酒店在哪几个月份要准备至少400份(每人一份)的食物
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.D　∵α是第四象限角,∴-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三或第四象限,或在y轴非正半轴上,∴sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可为零.故选D.
2.C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+β)=
sin β.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立.
故选C.
3.C　设曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,
∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).
又ω>0,∴ωmin=.故选C.
4.B　将函数y=sin的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin,故选B.
易错警示　(1)忽略图象的平移规律“左加右减”,从而错选A;
(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.
5.B　函数f(x)=sin的最小正周期T==2π,①正确;易知f<1,②错误;把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的是函数y=sin的图象,③正确.
综上,①③正确,②错误.故选B.
6.D　由题图可知f(x)为偶函数,而选项A、B中的函数为奇函数,故排除A,B;由题图可知f(2)<0,而选项C中,当x=2时,>0,故排除C,故选D.
7.C　如图所示,分别作出y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象,由图可知曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为6.
8.D　解法一:由已知得a(x+1)2-1=cos x+2ax,即ax2+a-1=cos x,
令y1=ax2+a-1,y2=cos x,在同一平面直角坐标系中作出两函数图象,如图,
由已知得两函数图象只有一个交点,根据对称性知a-1=1,所以a=2.
(利用偶函数图象关于y轴对称,发现若两图象只有一个交点,则只有a-1=1时符合)
解法二:由f(x)=g(x)得a=,
令F(x)=,易知F(x)的定义域为(-∞,+∞),F(-x)==F(x),
∴F(x)为偶函数.
故当x∈(-1,1)时,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则F(x)的图象与直线y=a必在点(0,F(0))处相切,代入x=0,求得a=2.
9.C　解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π-且-(-π),所以,又因为|ω|=,所以<|ω|<.由题图可知f=0,且-是函数f(x)的上升零点,所以-=2kπ-(k∈Z),所以-ω=2k-(k∈Z),所以|ω|=|3k-1|(k∈Z),又因为<|ω|<,所以k=0,所以|ω|=,所以T=.故选C.
解法二(五点法):由函数f(x)的图象知,ω×,解得ω=,所以函数f(x)的最小正周期为,故选C.
10.BC　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图可知,,∴T=π,由T=可知,=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过,∴sin=0,又∵是f(x)的下降零点,∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin=sin2x++=cos,故选BC.
11.答案　[2,3)
解析　令ωx=t,因为x∈[0,2π],ω>0,所以t∈[0,2ωπ],
已知f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即y=cos t的图象和直线y=1在t∈[0,2ωπ]有且仅有3个交点,
画出y=cos t的图象和直线y=1如图所示,
由图可知4π≤2ωπ<6π,即2≤ω<3.
故ω的取值范围是[2,3).
12.答案　2
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则,解得T=π,则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
将代入上式,结合题图得+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f =1,
f =0,
∴不等式可化为[f(x)-1]f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,即cos,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ欲使x为最小正整数,则k=1,此时;
由②得+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得+kπ欲使x为最小正整数,则k=0,此时.
综上,最小正整数x为2.
13.A　f(x)=7sin,
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤.故选A.
14.B　观察四个选项都是sin ωx或cos ωx(ω>0)形式,因为f(x)的一个周期为4,所以=4(k∈N*),即ω=(k∈N*),排除C,D.当x=2时,x=π,对于A,sin π=0,所以直线x=2不是对称轴,排除A.
故选B.
15.B　由题可知f(x1), f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值,且|x1-x2|的最小值为,所以f(x)=sin ωx的最小正周期T=π,又ω>0,所以=π,故ω=2,故选B.
16.BC　A.令sin 2x=0,则2x=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
令sin=0,则2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的零点不同,∴A错.
B. f(x)与g(x)的最大值均为1,∴B对.
C. f(x)与g(x)的最小正周期均为=π,∴C对.
D.令2x=+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,则f(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
同理可知g(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z,
∴f(x)与g(x)的图象的对称轴不同,∴D错.故选BC.
17.D　由题意画出f(x)图象的简图(如图).
由图可知点和点为f(x)图象的相邻最低点和最高点,
设f(x)的最小正周期为T,
由题意知,
又T=,所以|ω|=2,
不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入上式,得sin=-1,
所以+φ=-+2kπ,k∈Z,
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin,k∈Z,
故f.故选D.
18.答案　3
解析　∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=cos,
又f =0,∴cos=0,
∴=kπ+(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值,为3.
19.答案　-
解析　设点A,x1由题图可知(k1∈Z),
得ω(x2-x1)=,故ω=4,
函数图象过点,结合题图知4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
所以f(x)=sin(k∈Z),
故f(π)=sin.
三年模拟练
1.D　由题意知,l ×200=50π(m),
设两人经过x min后相遇,
则300x-290x=50π+2π×200k,k∈Z,解得x=5π+40kπ,k∈Z,所以300x=1 500π+12 000kπ,k∈Z.
结合选项知,当k=0时,小李跑的总路程为1 500π m.故选D.
A　因为-1≤sin α≤1,所以1≤2+sin α≤3,所以1≤≤3,因为
-1≤sin 2β≤1,所以1≤2+sin 2β≤3,
所以≤≤4,
因为=7,
所以当且仅当sin α=sin 2β=-1时,满足条件,
所以α=2k1π-(k1∈Z),2β=2k2π-(k2∈Z),
即β=k2π-(k2∈Z),
所以tan(α-β)=tan=tan(2k1-k2)π-=-1.故选A.
3.A　如图,①和②的面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积,易知AB=3,
设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,
由题意得3T=6π,解得T=2π,故=2π,得ω=,即f(x)=tan,∵f(x)的图象过点,
∴tan=tan+φ=-1,
∵φ∈,∴+φ∈,
∴+φ=-,解得φ=-,∴f(x)=tan,
∴f=tan =
tan .故选A.
4.BC　易得f(x)=sin x cos x=
画出f(x)的图象,如图中实线部分所示:
对于A,因为f(x)的图象不关于y轴对称,所以f(x)不是偶函数,故A错误;
对于B,由图象可知f(x)的一个周期为=2π,故B正确;
对于C,当x∈时,sin x≤cos x,且仅在x=处取等号,则f(x)=cos x,而f(x)=cos x在上单调递减,故C正确;
对于D,由图象可知,f(x)的最小值为-,故D错误.
故选BC.
AD　由题意知A=2,,解得ω=3,所以f(x)=
2sin(3x+φ),
将代入上式,得2sin=-2,得-+φ=-+2kπ,k∈Z,
解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,则f(x)=2sin.
对于A,因为f =0,所以f(x)的图象关于点中心对称,故A正确;
对于B,令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
取k=5,得f(x)的一个单调递增区间为.
因为3π<,所以f(x)在3π,上不具有单调性,故B错误;
对于C,因为x∈[0,a],所以-≤3x-≤3a-,所以3π≤3a-<4π,解得≤a<,故C错误;
对于D,将g(x)=2cos 3x图象上的所有点向右平移个单位长度得到g=f(x)的图象,故D正确.故选AD.
6.B　设函数f(x)的最小正周期为T.因为f(x)在内单调递减,所以≤T,即≤·,得|ω|≤2,
因为直线x=是f(x)图象的一条对称轴,
所以ω·+φ=2kπ+,k∈Z,①
因为f 是奇函数,
所以+φ=mπ,m∈Z,②
由①-②,得ω=4(2k-m)+2,而|ω|≤2,所以ω=±2.
当ω=2时,+φ=mπ,m∈Z,解得φ=mπ-,m∈Z,
因为-<φ<,所以φ=-,即f(x)=sin,
当x∈时,2x-∈,此时函数f(x)单调递减,符合题意,
所以f =sin ;
当ω=-2时,-+φ=mπ,m∈Z,解得φ=mπ+,m∈Z,
因为-<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,
当x∈时,2x+∈(π,2π),此时函数f(x)不单调递减,不符合题意.
所以f .故选B.
7.D　因为函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于原点对称,所以φ=+kπ(k∈Z),
又因为0<φ<π,所以φ=,则f(x)=2cos(ωx+φ)=2cos=-2sin ωx,
令t=ωx,因为-≤x≤,所以-≤ωx≤,
即-≤t≤,
因为f(x)在上单调递减,y=-2sin t的单调递减区间为(k∈Z),
所以 (k∈Z),
因为ω>0,所以->0,
只有当k=0时,区间(k∈Z)是由负到正的,
所以即所以0<ω≤,
因为函数f(x)在[0,π]上的图象与直线y=-2有且仅有一个交点,
所以y=-2sin t在[0,ωπ]上只有一个最小值,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=-2sin t的图象与直线y=-2,如图,
则即解得≤ω<.
综上,≤ω≤.故选D.
8.D　对于A,若g(x)=f,则g(0)=f>0,与题图2不符合,故A错误.
对于B, 将f(x)=cos 图象上的所有点向右平移1个单位长度得到y=cos=sin 的图象,再将横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到g(x)=sin πx的图象,
所以g=sin π=sin=sin ,故B错误.
对于C,由g(x)=lox,得sin πx=lox,设h(x)=lox,
则h(1)=0,h(4)=lo4=-1,画出y=g(x)和y=h(x)的图象,如图所示,
由图可知,两个图象有5个交点,所以方程g(x)=lox有5个不相等的实数解,故C错误.
对于D,由g(x)=sin πx>,得2kπ+<πx<2kπ+,k∈Z,得2k+,k∈Z,所以g(x)>的解集为,k∈Z,故D正确.故选D.
9.答案　-36
解析　因为x∈[-8π,8π],所以∈,
则tan ∈[-],
则tan ∈,
由sin≥,得tan ∈,解得x∈[0,4π],即A=[0,4π],
则当x=0时,cos x=1,g(x)=[cos x]=1,
当0当时,-1≤cos x<0,g(x)=[cos x]=-1,
当≤x<2π时,0≤cos x<1,g(x)=[cos x]=0,
因为g(x)具有周期性,所以只需讨论一个周期内的情况即可,作出g(x)=[cos x](x∈[0,2π))的图象如图所示,
x∈[0,4π],即在两个周期内xg(x)<0的部分,
由图可得,当x∈时,g(x)=-1<0,
当x∈时,g(x)=-1<0,
所以x∈Z且在定义域内的x为2,3,4,8,9,10,
所以y=g(x)的所有“子母数”之和为(2+3+4+8+9+10)×(-1)=-36.
10.解析　(1)选择①:因为直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴,
所以sin=±1,
所以+φ=kπ+,k∈Z,
因为-π<φ<-,所以φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)=sin的单调递增区间为,k∈Z.
选择②:因为f(0)=-,所以sin φ=-,
又因为-π<φ<-,所以φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)=sin的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
选择③:因为f(x)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=kπ,k∈Z.
又因为-π<φ<-,所以φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)=sin的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)得f(x)=sin,所以f ,故cos.
11.解析　(1)当θ=时,f(x)=2x-2tan ·=(2x-2)(2x-1)
(x∈[0,3]),
令2x=t,则t∈[1,8],g(t)=(t-2)(t-1)=t2-3t+2,故g(t)的图象开口向上,对称轴为直线t=,
所以当t=,即x=log2时,f(x)取得最小值,且最小值为-,
当t=8,即x=3时,f(x)取得最大值,且最大值为42,
所以f(x)在[0,3]上的最小值为-,此时x=log2,最大值为42,此时x=3.
(2)因为f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ)=(2x)2-3tan θ×2x+2tan2θ=tan2θ,
又f(x)的最小值为-,所以-tan2θ=-,
所以tan θ=±,
又-<θ<,所以θ=±.
12.解析　(1)易知sin x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为,关于原点对称,
又f(-x)=ln,
所以f(x)+f(-x)=ln=ln 1=0,
即f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(2)4x-2x+1-3=0 (2x)2-2×2x-3=0 (2x-3)(2x+1)=0 2x=3 x=log23,
因为t为方程4x-2x+1-3=0的根,所以t=log23.
由ef(x)≤m2+2tm+t2+2t,可得≤m2+2mlog23+(log23)2+3=(m+log23)2+3,
上式恒成立,只需≤[(m+log23)2+3]min,
即≤3,又1-sin x>0,
所以1+sin x≤3(1-sin x),
所以4sin x≤2,即sin x≤,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
又x≠kπ+,k∈Z,
所以满足条件的x的集合为x2kπ-≤x≤2kπ+且x≠kπ+,k∈Z.
13.解析　(1)由于入住酒店的游客人数f(x)呈周期性变化,且在第一季度内有对称性特征,故选择f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①可知这个函数的周期是12,
则=12,所以ω=;
由②可知f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,
由解得A=200,B=300,
当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,
则sin=-1,且sin=1,
可得φ=-+2kπ,k∈Z,由|φ|<π,得φ=-.
故入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的函数解析式为f(x)=200sin+300(x=1,2,…,12).
(2)由条件可知200sin+300≥400,化简得sin≥,
即2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z,
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,
即酒店在6,7,8,9,10月份要准备至少400份(每人一份)的食物.
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