2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--第一章　三角函数复习提升

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2025北师大版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略轴线角致错
1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
易错点2　忽略分类讨论而致错
2.(2024江苏南通如皋中学调研)设角θ的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则sin+sin(3π+θ)的值为(　　)
A.±
3.化简(n∈Z)的结果为　　　　　　.
4.(2024浙江杭州学军中学月考)已知函数f(x)=3cos-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期、单调递减区间及其图象的对称中心;
(2)若定义在区间上的函数h(x)=af(x)+b的最大值为6,最小值为-3,求实数a,b的值.
易错点3　忽略三角函数的定义域、值域致错
5.(2023上海南洋模范中学期中)已知3sin2α+2sin2β=5sin α,则sin2α+sin2β的取值范围是　　　　.
6.(2023江苏扬州中学月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0.若A是△ABC的一个内角,且满足f易错点4　图象变换中忽视自变量x的系数和平移的方向而致错
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到f(x)的图象,只需将g(x)=cos 2x图象上的所有点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得函数图象关于y轴对称,则φ的最小正值为　　　　.
思想方法练
一、分类讨论思想
1.化简:sin(k∈Z).
2.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值.
二、函数与方程思想
3.(2024四川成都期中)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.-1
4.已知函数g(x)=cos+1,x∈.
(1)求g(x)的值域;
(2)若方程[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围.
三、数形结合思想
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z
B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z
D.[6k-3,6k],k∈Z
6.(2024江西宜春期末)下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)
①f(x)是以2π为周期的函数;②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z;④当2kπ+π四、转化与化归思想
7.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟期末)已知角α和角β的终边关于x轴对称,则(　　)
A.sin α=-sin β　　　　B.tan α=tan β
C.sin=cos β　　　　D.cos(π-α)=cos β
8.(2024四川隆昌一中开学考试)已知函数f(x)=sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值;
(3)若函数g(x)=f(x)-,x∈有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围与f(x1+x2)的值.
五、数学建模思想
9.(2024安徽A10联盟开学联考)近年来,我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源,目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图,风车由一座塔和三个叶片组成,每两个叶片之间的夹角均为,现有一风车,塔高100米,叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动,并且每5秒旋转一圈,风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t秒后离地面的距离为s米,则s关于t的函数关系式为s(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)求s(t)的解析式;
(2)求当叶片旋转一圈时,点P离地面的高度不低于80米的时长.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　若角α的终边在第二或第三象限,则cos α<0,充分性成立;
若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限,或在x轴负半轴上,必要性不成立.
故“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A.
易错警示　由角的象限可以确定三角函数值的符号;反过来,由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意轴线角这种特殊情况,防止遗漏导致解题错误.
2.A　因为角θ的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),
所以当a>0时,sin θ=,cos θ=,
则sin+sin(3π+θ)=cos θ-sin θ=;
当a<0时,sin θ=,cos θ=,
则sin+sin(3π+θ)=cos θ-sin θ=-.故选A.
易错警示　当角的终边上的点的坐标含有参数时,要注意对参数的范围进行讨论,进而解决问题.
3.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)
解析　①当n=2k(k∈Z)时,
原式==-sin α.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=
==sin α.
所以化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).
易错警示　未对整数n进行n为奇数与n为偶数的分类,或者分类后不能正确利用诱导公式易导致错误.
4.解析　(1)因为f(x)=3cos-2=3cos2x--2,所以函数f(x)的最小正周期T=π,
令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
令2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
(2)由题知,h(x)=af(x)+b=3acos-2a+b,
当x∈时,2x-∈,
则-≤cos≤1,
若a>0,则有解得
若a<0,则有解得
a=0明显不符合题意,故或
5.答案　∪{2}
解析　因为3sin2α+2sin2β=5sin α,
所以sin2β=sin α-sin2α,
所以sin2α+sin2β=sin α-sin2α=-,
又0≤sin2β≤1,0≤sin2α≤1,所以0≤sin α-sin2α≤1,
解得0≤sin α≤或sin α=1,
当sin α=1时,sin2α+sin2β=-=2;
当0≤sin α≤时,-∈.
故sin2α+sin2β的取值范围是∪{2}.
易错警示　解与三角函数有关的最值问题时,要注意正、余弦函数的有界性.
6.答案　∪
解析　∵偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,
∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
∴f∴>2,∴0<|sin 2A+1|<,
∴-1∵A是△ABC的一个内角,∴0∴,且2A≠.
∴A∈∪.
易错警示　研究三角函数的性质时,首先要考虑自变量的范围,再结合函数的定义域进行等价变形,进而利用相关性质解决问题得到结论.
7.B　设函数f(x)的最小正周期为T,
由题图可知A=1,,
∴T=π,从而ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ).
将代入f(x)=sin(2x+φ),得sin=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
又f(x)=sin
=cos,
∴只需将g(x)=cos 2x图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到f(x)的图象.故选B.
易错警示　三角函数图象平移变换中的注意事项
(1)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的所有点向左(右)平移k个单位长度后,得到的图象对应的解析式为y=sin[ω(x±k)+φ],而不是y=sin(ωx±k+φ).
(2)不同名三角函数要先化成同名三角函数,再进行图象的变换.
8.答案　
解析　由题意知f(x)的最小正周期T=2×=π,
又T=,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ),
将y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,得到y=f 的图象,其关于y轴对称,∴-+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ+,k∈Z,
∴φ的最小正值为.
思想方法练
1.解析　原式=sin+coskπ+-α(k∈Z).
分k为奇数和k为偶数两种情况讨论,体现了分类讨论思想.
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
则原式=sin+cos(2n+1)π+
=sin
=sin
=sin
=sin=0;
当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),
则原式=sin+cos2nπ+
=-sin
=-sin
=-sin=0.
综上所述,原式=0.
2.解析　因为x∈,
所以2x+∈,
所以sin∈.
分a>0和a<0两种情况讨论,体现了分类讨论思想.
当a>0时,解得
当a<0时,解得
所以或
思想方法　当所研究的问题中包含多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.与三角函数有关的问题常受到角的范围或参数的影响,往往需要进行分类讨论.
3.D　设函数f(x)的最小正周期为T,
由题图可知,,所以T=π,
列出有关周期T的方程,求出T的值,进而得到ω的值.
因此=π,得ω=2.
根据五点作图法可得×2+φ=,
结合五点作图法列出关于φ的方程,求出φ的值.
∴φ=,符合|φ|<,因此f(x)=2sin,
∴f=-2sin =-1.
故选D.
4. 解析　(1)当x∈时,4x+∈,
则cos∈,
所以g(x)=cos+1∈,
即 g(x)的值域为.
(2)因为当x∈时,g(x)∈,
所以g(x)+1∈1,,g(x)+1≠0.
因为[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0,
所以m=,
令s=g(x)+1,则s∈,g(x)=s-1,
所以m=,s∈.
通过分离参数及变量代换,将m表示成关于s的函数,转化为研究函数m=s+的性质,体现了函数与方程思想.
结合对勾函数的性质,知m=s+在[1,)上单调递减,在上单调递增,又当s=1时,m=3,当s=时,m=2,当s=时,m=,
所以m=s+∈.
思想方法　在研究三角函数有关问题时,可根据条件列方程(组)解决求值问题,也可建立函数关系式,利用函数的知识求解相关问题.
5.D　依题意可在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)的大致图象与直线y=a,如图所示.
由图象知,周期T=8-2=6,当x=3时, f(x)取得最大值,当x=6时, f(x)取得最小值,因此f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],
k∈Z.故选D.
由图象得到函数的周期及取最值时x的值,进而得到函数的单调递减区间.
6.答案　①②④
解析　f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+
cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确.
f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|
=
=
作出y=f(x)的图象,如图,
由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质.
由图象可知,当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=-,故②正确.
由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确.
由图象可得,当2kπ+π又f(π)=f=0,所以-≤f(x)<0,故④正确.
思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常利用数形结合思想实现图象与性质的有机结合,如解决函数零点、方程根的问题时,一方面,可利用图象确定函数零点或方程根的范围、个数;另一方面,可利用图象的对称性寻求函数零点之间或方程根之间的数量关系.
7.AC　因为角α和角β的终边关于x轴对称,
所以α=-β+2kπ,k∈Z.
利用诱导公式进行转化.
对于A,由于sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,故A正确;
对于B,由于tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,故B错误;
对于C,由于sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,故C正确;
对于D,由于cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,故D错误.
故选AC.
8.解析　(1)由题知,f(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为x∈,所以2x-∈,
当2x-,即x=时,f(x)在上取得最大值1;
当2x-,即x=0时,f(x)在上取得最小值-.
故f(x)在上的最大值为1,最小值为-.
(3)令t=2x-,则t∈,
令g(x)=f(x)-=0,可得f(x)=,即sin t=,
若函数g(x)=f(x)-,x∈有两个零点x1,x2,则关于x的方程f(x)=在上有两个不相等的实数根,即关于t的方程sin t=在上有两个不相等的实数根,
所以y=sin t的图象与直线y=在内有两个交点,且交点的横坐标分别为t1,t2,
将函数零点的个数问题转化为方程解的个数问题,再将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题,从而利用图象解决问题.
画出y=sin t在上的图象,如图所示,
结合图象可得≤=π,即≤a<2,x1+x2=,所以f(x1+x2)=sin=-sin .故a的取值范围为[,2),f(x1+x2)的值为-.
思想方法　转化与化归思想在三角函数中的运用常体现在:将任意角的三角函数通过诱导公式转化为锐角三角函数,方便求值;在研究y=Asin(ωx+φ)的图象和性质时通过换元,令t=ωx+φ,转化为研究y=Asin t的图象和性质,进而解决问题;在研究与三角函数有关的函数零点问题时,可转化为研究相应方程的根,进而转化为研究函数图象的交点问题.
9.解析　(1)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,
当t=0时,风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点,设为P0,则P0(0,60),
由每5秒旋转一圈,可确定该函数的最小正周期T=5,则ω=,
由题意得解得
所以s(t)=40sin+100或s(t)=-40cos t+100.
(2)令s(t)≥80,则s(t)=40sin+100≥80,即cos t≤,
所以2kπ+≤t≤2kπ+(k∈Z),
解得+5k≤t≤+5k(k∈Z),
又0≤t≤5,所以当k=0时,≤t≤,
所以当叶片旋转一圈时,点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
思想方法　在实际问题中常常涉及与三角函数模型有关的问题,求解时先要根据题中条件合理选择或构建相应的模型,再结合已知条件求解.
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