2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.(2023湖南湘潭期末)向量a,b,c在网格中的位置如图所示,若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=(　　)
A.-　　　　C.-4　　　　D.4
2.(2023河南洛阳栾川第一高级中学入学测试)已知AB是☉O的直径,C,D是半圆弧上的两个三等分点,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a-b　　　　C.a+b　　　　D.a-b
3.(2024河南博爱第一中学月考)在△ABC中,D为线段AC上的一个三等分点,且满足AD=2DC,连接BD,在线段BD上任取一点E,连接AE,若(a,b∈R),则a2+b2的最小值为(　　)
A.
4.(2022河南部分名校质检)在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,M为BC的中点,H为△ABC的内心,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　　　D.1
5.(多选题)(2022辽宁锦州期末)已知△ABC中,,点M满足(λ,μ∈R),则(　　)
A.λ=
B.μ=
C.
D.
6.(多选题)(2024河北石家庄二中月考)如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若(λ,μ∈R),则下列说法错误的是(　　)
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有且只有一个
7.(2024辽宁葫芦岛期末)已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.
8.(2024天津二中月考)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,点F在线段AB上,且AF=AB.
(1)用和表示;
(2)若M为线段BC上的动点,且(x,y∈R),求x+y的最大值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.A　设网格中每个小正方形的边长均为1,在网格线上取互相垂直的单位向量i,j,如图所示,
则有a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,
由c=xa+yb,得-i-3j=x(-i+j)+y(6i+2j)=(-x+6y)i+(x+2y)j,
则解得∴x+y=-.故选A.
A　连接OC,OD,CD.∵C,D是半圆弧上的两个三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,又OC=OD,∴△COD为等边三角形,
∴CD=OB,∠ODC=60°,
∴CD∥AB.
又AB是☉O的直径,∴AB=2OB,
∴CD=AB,∴a,
∴a.故选A.
3.C　∵E在BD上,
∴可设=λ+(1-λ),λ∈[0,1],
由题意知,则+(1-λ),
又,∴a=λ,b=1-λ,
∴a2+b2=λ2+(1-λ)2=λ2-2λ+1=,
∴当λ=时,a2+b2取得最小值,且最小值为.
4.A　易知△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(0,0),B(0,6),C(8,0),M(4,3),
所以=(4,3).
设△ABC的内切圆的半径为r,
则×(6+8+10)r=×6×8,
解得r=2,
∴H(2,2),∴=(2,2).
∵=λ+μ,∴(2,2)=λ(0,6)+μ(4,3),
∴解得∴λ+μ=.故选A.
5.AC　如图,
∵,∴B,E,C三点共线且E为BC的中点.
∵,∴,
∴,
∴A,F,C三点共线且F为AC上靠近A的三等分点.
∵=μ,∴=μ(),
∴=(1-μ)+μ=(1-μ).
∵=λ,
∴解得故A正确,B错误.
∵,故C正确.
≠,故D错误.故选AC.
6.ABD　如图,以A为原点,建立平面直角坐标系,
令AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(0,1),
则=λ+μ=λ+μ()=(λ-μ)+μ=(λ-μ,μ),
当P在AB上时,0≤λ-μ≤1且μ=0,
∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;
当P在BC上时,λ-μ=1且0≤μ≤1,
则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;
当P在CD上时,0≤λ-μ≤1且μ=1,
则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;
当P在AD上时,λ-μ=0且0≤μ≤1,
则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴λ+μ∈[0,2].
综上所述,0≤λ+μ≤3.
对于A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,因此点P不一定是BC的中点,故A错误;
对于B,当P在点B处或为AD的中点时,均满足λ+μ=1,此时点P不唯一,故B错误;
对于C,当P在点C处时,λ-μ=1且μ=1,解得λ=2,λ+μ=3,由上述分析可知,当λ+μ=3时,P在点C处,故C正确;
对于D,若λ+μ=,则当P在BC上时,λ-μ=1,故λ=,μ=,此时P,
当P在AD上时,λ=μ,故λ=μ=,此时P,
故点P不唯一,故D错误.故选ABD.
7.答案　
解析　设C(x,y),则=(x-3,y-2),由题知,=(1,4),
因为,所以(x-3,y-2)=3(1,4),
即解得即C(6,14),
由,得∥,即△DMA∽△BMC,
所以,所以,
设M(x1,y1),则=(x1+1,y1-1),又=(6,14)-(-1,1)=(7,13),所以(x1+1,y1-1)=,即解得
故点M的坐标为.
8.解析　(1)因为AF=AB,所以.
(2)如图,取AB的中点N,连接DN,
易证得四边形BCDN为平行四边形,
因为四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,BC=CD=1,
所以AD=AN=DN=1,即△ADN为等边三角形,
又AF=,所以F为AN的中点,
所以DF⊥AB,在Rt△ADF中,DF=,
以F为原点建立平面直角坐标系,
则A,
所以,
所以,
设=λ,λ∈[0,1],
所以,
则解得
所以x+y=1+λ∈,
故x+y的最大值为.
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