2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练4　平面向量的数量积及性质

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练4　平面向量的数量积及性质
1.(2024江西景德镇一中月考)已知G是△ABC的重心,O是△ABC所在平面内的一点,满足···=6,则||=(　　)
A.
2.(2023江西省重点中学联考)已知两个非零向量a,b满足a⊥(a-2b),且,则向量a,b的夹角为(　　)
A.
3.(多选题)(2024江西南昌第五高级中学期中)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下:对任意的向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),规定m n=x1x2-y1y2,若对于平面内的任意向量a,b,c,则下列说法正确的是(　　)
A.a b=b a　　　　
B.(λa) b=λ(a b)
C.a·(b c)=(a b)·c　　　　
D.|a|·|b|≥|a b|
4.(2024江西南昌外国语学校月考)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,AB=2,AD=,E为CD的中点,F为AB上一动点(包括端点),且(λ,μ∈R),则下列结论错误的是(　　)
A.BC=
B.若F为AB的中点,则λ+μ=1
C.·的最小值为
D.μ的最大值比最小值大
5.(2023天津十二区重点学校模拟)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国传统民间艺术之一.有一个正八边形窗花隔断如图1所示,从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2所示.在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的最小值为　　　　.
图1 图2
6.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.
(1)求·的值;
(2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　平面向量的数量积及性质
1.C　由G是△ABC的重心,得=0,即()=0,
所以),
又因为···)=18,所以|.
2.A　∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=a2-2a·b=0,
∴a2=2a·b.又,∴|a+b|=|a-b|,
∴a2+2a·b+b2=3a2-6a·b+3b2,
∴a2+b2=4a·b,又a2=2a·b,
∴b2=2a·b,∴a2=b2,∴|a|=|b|,
∴cos=.
∵∈[0,π],∴=.故选A.
3.ABD　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3).对于A,因为a b=x1x2-y1y2,b a=x2x1-y2y1,所以a b=b a,故A正确;
对于B,因为(λa) b=(λx1)x2-(λy1)y2=λ(x1x2-y1y2)=λ(a b),故B正确;
对于C,a·(b c)=(x2x3-y2y3)a,(a b)·c=(x1x2-y1y2)c,此时a·(b c)=(a b)·c不恒成立,故C错误;
对于D,因为(|a|·|b|)2=(·,|a b|2=-2x1x2y1y2,
所以(|a|·|b|)2-|a b|2=+2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0,
又|a|·|b|≥0,|a b|≥0,所以|a|·|b|≥|a b|,故D正确,
故选ABD.
4.C　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),D(0,),过点C作CG⊥x轴于点G,作CH⊥y轴于点H,过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M,易得△CDH∽△BCM,则,
因为AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,
所以∠CDH=60°,
设HD=x,则CH=x,
则,解得x=或x=0(舍去),故C,
所以BC=,故A中结论正确;
易得E,若F为AB的中点,则F(1,0),
所以,
因为,
所以=λ+μ=μ,-λ-μ,
即解得则λ+μ=1,故B中结论正确;
设F(m,0),0≤m≤2,
则··(-m,,0≤m≤2,
故当m=时,·取得最小值,为,故C中结论错误;
设F(n,0),0≤n≤2,则,
则
因为0≤n≤2,所以n-∈,所以μ∈,故μ∈,
因为,所以μ的最大值比最小值大,故D中结论正确.
故选C.
5.答案　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设正八边形ABCDEFGH的中心O到各顶点的距离均为1,
则A(0,-1),E(0,1),C(1,0),F,即F,
∴,
又=λ+μ,
∴(0,2)=λ(1,1)+μ,
∴解得
∴λ+μ=.
分别延长GH与BA,交于点I,如图所示,
则根据向量数量积的定义与投影的相关概念可得,·的最小值为-AB·AI,
又AB=AH=2,△HIA为等腰直角三角形,
∴AI=,∴·的最小值为-AB·AI=-2.
6.解析　解法一:(1)因为AB∥CD,AB=2CD,
所以AO=2OC,
则·)·
=····
=)·()
=·×(4-2×4×1)=-.
(2)设=λ(0<λ<1),
由(1)可得·=λ·=λ·()=-λ=-16λ=-,解得λ=,即.
易知∠CAB=45°,
所以··(·
=|×||×cos∠CAB
=×||×||×cos 45°
=||.
令||=t,则0则·,
所以当t=时,·有最小值,为-.
解法二:(1)以A为坐标原点,的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),所以=(-4,2),因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,所以,
易得O.
设M(m,0),0因为OM⊥BD,所以·×(-4)+×2=-4m+=0,解得m=.所以,所以·×(-4)+0×2=-.
(2)易知∠CAB=45°,故可设N(a,a),0则·=(a,a)·
=2a2-,
所以当a=时,·有最小值,为-.
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