北师大版九年级数学上册期中考试复习卷（新情境题）

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初三数学上册期中考试复习卷
选择题（每题3分）
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2.已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3. 现有4条线段，长度依次是2，4，6，7，从中任选三条，能组成三角形的概率是( )
A． B． C． D．
4.用配方法解方程时，下列配方错误的是
A.x+6x-7=0 化为(x+3)=0 B.x-5x-4=0 化为(x-2.5)=
C.x+2x-99=0化为(x+1)=100 D.3x-4x-2=0 化为
5.（新情境题 ·实际运用型）某种商品经过两次涨价，每件零售价由200元涨至242元，求平均每次涨价的百分率．设平均每次涨价的百分率为x，则可列方程为(　　)
A．200(1＋x)2＝242 B．242(1－x)2＝200 C．242(1－2x)＝200 D．200(1＋2x)＝242
6.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(　　)
A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的图象是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A. －a B. －(a＋1) C. －(a－1) D. －(a＋3)
第6题图 第7题图
8.已知一元二次方程x-5x+6=0的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是( )
A. 3 B. C. D. 或
9.（新情境题 ·综实践探究型）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
（新情境题 ·传统数学文化型）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片(面积均为24)拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为
小明按此方法解关于的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为( )
A. B. C. D.
第9题 第10题
填空题（每题4分）
11．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．
12.若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是____________．
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．
第13题 第14题
14.（新情境题·生活运用型）作为主持人,小明应该站在舞台长度的黄金分割点处,如图,若舞台AB长为20米,小明现在站在A处,则他应朝B处至少走　　　　米.(结果精确到0.1米)
15.（新情境题·学科融合型）在如图所示的电路图中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处，连接CE，则CE的长是________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(27,9)，阴影部分三角形的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则第4个正方形的边长是　 　，S3的值为　 　.
第15题 第16题 第17题
三、解答题（每小题6分）
18．解方程：
(1)2x2－5x－3＝0； (2)x2－2x＝2x－1； (3)x2＋3x＋2＝0.
19.关于x的一元二次方程x2－(k－3)x－2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．
20. （新情境题·游戏活动型）分别把带有指针的圆形转盘A，B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
解答题（前3小题每题8分，后2小题每题10分）
21.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
(1)求证：BD＝BE；
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
22.（新情境题·阅读理解型）请阅读下列材料．
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.
把x＝代入已知方程，得[]＋－1＝0.
化简，得y2＋2y－4＝0.
故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)．
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
23.（新情境题·学科融合型）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在点D处，人在点G处正好看到树尖A. 已知小明的眼睛距离地面1.7 m，量得CD＝12 m，CF＝1.8 m，DH＝3.8 m. 请你求出松树的高.
24.（新情境题·生活运用型）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
该商店每天的利润能否达到1300元？
25．（新情境题·问题探究型）
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（探究展示）
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．
答案解析部分
1.【答案】C
【解答】根据菱形的性质作出判断。
故选C
【分析】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质,正方形的对角线相等但菱形的对角线不一定相等。
2.【答案】D
【解答】3÷ =12
故选D
【分析】根据位似图形的面积比等于相似比的平方求解。
3.【答案】B
【解答】 现有4条线段，从中任选三条所有情况：2,4,6；2,4,7；2,6,7；4,6,7。能组成三角形有：2,6,7；4,6,7，所以能组成三角形的概率是
故选B
【分析】概率基本公式为：P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数.根据三角形两边之和大于第三边，找出能组成三角形所有情况和总体情况数。
4.【答案】A
【解答】(X+3)=X+6X+9≠X+6X-7,其他代数式是相等的。
故选A
【分析】配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和。
配方法的步骤：①把原方程化为一般形式，也就是aX+bX+c=0（a≠0）的形式。②把方程的两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。③将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项。
5.【答案】A
【解答】每件零售价由200元涨至242元，涨价2次，平均每次涨价的百分率为x
列式为200×（1+x）×（1+x）=242即200(1＋x)2＝242
故选A
【分析】，理解第二次涨价应该是在第一次涨价的基础上第二次涨价，
6.【答案】B
【解答】四边形ABCD是矩形，OA=OB=OC=OD
在△BOE和△DOF中，∠EOB=∠DOF,∠ABO=∠CDB,OB=OD
∴△BOE≌△DOF
∴△BOE面积等于△DOF面积
阴影部分的面积=△ABO的面积= 矩形ABCD面积
故选B
【分析】本题主要根据矩形的性质先证明△BOE≌△DOF，得到△BOE面积等于△DOF面积。求阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的的几分之几转移到求三角形AOB的面积是是矩形ABCD的面积的几分之几。
7.【答案】D
【解答】B′的横坐标是a,到C点的距离是a+1,B点的横坐标到C点的距离是 ,B点的横坐标到原点的距离是 所以B点的横坐标是-
故选D
【分析】根据位似比求出B点的横坐标到C点的距离，然后求,B点的横坐标.
8.【答案】D
【解答】
（x-2）（x-3）=0
x=2 ,x=3
当菱形的一条边是2，对角线是3，另一条对角线是
面积是
当菱形的一条边是3，对角线是2，另一条对角线是
面积是
故选D
【分析】利用因式分解求出方程的根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出另一条对角线，再根据菱形的面积=对角线长度乘积的一半求出菱形的面积。
9.【答案】B
【解答】∵MN垂直平分线AC,∴AM=MC,NC=AN
在△AMO和△NCO中AM∥NC ∠MAC=∠NCA,∠AOM=∠CON, AO=OC
△AMO≌△NCO，∴AM=NC
即AM=MC=NC=AN
∴四边形ANCM是菱形
故选B
【分析】由于N垂直平分线AC,∴AM=MC,NC=AN，证明 △AMO≌△NCO，∴AM=NC
得出AM=NC，说明AM=MC=NC=AN，即四条边相等的四边形为菱形。
10.【答案】A
【解析】∵∴x(x+m)=n,图中长方形的长为（x+m）,宽为X
图中小正方形的边长为x+m-x=m=2,，大正方形的的边长为x+m+x=2x+2=,x=
故选A
【分析】把方程变形为x(x+m)=n，设长方形的长为（x+m）,宽为X，小正方形的边长为x+m-x=m=2,，大正方形的的边长为x+m+x=2x+2，根据大正方形的面积=12，可知2x+2=，求出x即可。
11.【答案】AB＝AD(答案不唯一)
【解答】∵AB∥CD，AD∥BC∴ABCD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形所有补充邻边相等即AB=AD
故答案为：AB＝AD(答案不唯一)
【解析】菱形的判定定理包括：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线平分所在对角的平行四边形是菱形。
12.【答案】k≤且k≠1
【解答】,且k-1≠0
求出k≤且k≠1
故答案为：k≤且k≠1
【解析】要使一元二次方程有实数根，判别式，解不等式，求出k的取值范围，再考虑ax2＋bx+c＝0是一元二次方程a≠0，
【答案】2.5
【解答】∠ADC=90°∠EDC∶∠EDA＝1∶2，所以∠EDC=30°，
∠DAC=∠EDC＝30° DC==5,EC==2.5,
故答案为：2.5
【解析】在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半，据此可以解答。
14.【答案】7.6
【解答】20×0.618=12.36, 20-12.36≈7.6（米）
故答案为：7.6
【解析】黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。按此比例设计的造型十分美丽
15【答案】
【解答】画树状图，共有6种可能，能使灯泡发光的有2种可能。所以发光的概率是
故答案为：
【解析】画树状图分析找到正确答案。
16.【答案】
【解答】在Rt△BCG中，BC=3,BG=5,根据勾股定理CG=4,
连接AG ,在Rt△ADG中GD=1,AD=3 根据勾股定理AG=,
有旋转性质可知∠ABG=∠CBE,,所以△ABG∽△CBE
即 CE=
故答案为：
【解析】根据旋转的性质个勾股定理求出CG、GD、AG,然后证明△ABG∽△CBE，再根据相似三角形的对应边成比例求出CE的值。
17.【答案】 ；　
【解答】根据相似三角形的对应边成比例，设第4个正方形的边长为x,即18:9=27：x,求出 x=
阴影部分的三角形相似，相似比3:2，面积比9:4.
第2个阴影三角形的面积=
第三个阴影三角形的面积=
故答案为; ；　
【分析】直线y＝x与正方形的边围成的三角形的两直角边之比是2：1， 第三个正方形的边长是9，可求第四个正方形的边长，根据相似三角形的对应边成比例求解。
阴影部分的三角形是相似三角形，相似比是 ，先求出第二个阴影三角形，根据相似比求第三和阴影三角形的面积。
三、解答题（每小题6分）
18【解答】.解：(1)∵a＝2，b＝－5，c＝－3，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，
∴x＝＝，∴x1＝－，x2＝3.
(2)移项，得x2－4x＝－1.
配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，
即(x－2)2＝3.
两边开平方，得x－2＝±，
即x－2＝或x－2＝－.
∴x1＝2＋，x2＝2－.
(3)原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，
∴x＋1＝0或x＋2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
【解析】分别运用公式法、配方法、因式分解的方法解二元一次方程
19.【解答】(1)证明：∵b2－4ac＝[－(k－3)]2－4×1×(－2k＋2)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝k－3，x1x2＝－2k＋2，
∴x1＋x2＋x1x2＝(k－3)＋(－2k＋2)＝2，解得k＝－3.
【解析】（1）根据一元二次方程的判别式证明
根据一元二次方程根与系数的关系《韦达定理》求解。
20.【解答】 解：(1)画树状图如图：
可知，共有12种等可能的情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是＝.
(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－＝，两人获胜的概率相同，所以游戏公平
【分析】画树状图法与列表法解题方法是一样的，只是通过两种形式呈现出来，主要涉及的因素至少是两种，而这两种方法都是基于最简单的列举法的学习而总结出来的，画树状图，求概率能够培养大家的思维的条理性，提高同学们分析问题，解决问题的能力，而且通过树状图的方法，能够让同学的思维更加的敏捷。
21.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD．
又∵BE∥AC，E在DC的延长线上，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE．
∴BD＝BE．
(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°．
∴∠BCE＝90°．
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8．
∵BE＝BD，∠BCD＝90°，∴CD＝CE＝6．
∴DE＝12．
由题易知OD＝OC，∵OF⊥CD，∴CF＝DF．
又∵OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线．
∴OF＝BC＝4．
∴S△ODE＝DE·OF＝×12×4＝24．
【解析】(1)由于矩形的对角线相等，所以AC=BD，证明ABEC是平行四边形，平行四边形的对边相等，即AC=BE,等量代换可证BD=BE
(2)根据勾股定理BE＝10，CE＝6，求出BC,由于①得出BE=BD,BC⊥ED,所以BC是DE的垂直平分线，DC=CE=6,,DE=12,再求出OF=BC的一半，那么三角形ODE中的底DE=12,高OF=4,可求三角形DOE的面积。
22．【解答】解：(1)设所求方程的根为z，
则z＝－x，所以x＝－z.
把x＝－z代入已知方程，得z2－z－2＝0，
故所求方程为z2－z－2＝0.
(2)设所求方程的根为t，
则t＝(x≠0)，所以x＝(t≠0)．
把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得a[]＋b·＋c＝0.
去分母，得a＋bt＋ct2＝0.
若c＝0，则有ax2＋bx＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，所以c≠0.
故所求方程为ct2＋bt＋a＝0(c≠0)．
【解析】阅读材料，理解方法，注意化简。
23.【解答】 解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH.
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴∠ABC＝∠EFC，∠ABD＝∠GHD.
∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH.
设AB＝x m，BC＝y m，
则
即
解得
答：这棵松树的高为10.2 m.
【解析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH.从而证明∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH.设AB＝x m，BC＝y m，根据相似三角形的线段成比例列方程组求解。
24.【解答】解：设当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．由题意得，
，
，．
每件盈利不少于元，
当时，，
故不合题意，舍去，
，
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
该商店每天的利润不能达到元，
理由如下：
设当每件商品降价元时，商店每天销售利润为元，由题意得，
．
，
当时，有最大值是，
．
该商店每天的利润不能达到元．
【解析】（1）设当每件商品降价X元时，根据总利润=每件商品的利润乘以件数列一元二次方程求解。
（2）求二次函数的最大值和1300比较，利润能否达到1300元
25．【解答】解：（1）AM=AD+MC．理由如下：
如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ADBC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE与NCE中，
∴ADE≌NCE（AAS），
∴AD=NC，
∵MN=NC+MC，三角形AMN是等腰三角形
∴AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM成立．理由如下：
如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，
∴∠AED=∠BAE，
∵旋转，
∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，
∴∠ABM＋∠ABF=180°，
∴点F、B、M在同一直线上，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠BAF=∠MAE，
∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，
∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∵FM=BF+BM
∴AM=DE+BM；
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下：
①如图2（1），延长、交于点，
四边形是矩形，
．
．
平分，
．
．
．
在ADE与PCE中，
∴ADE≌PCE（AAS），
．
∵MP=PC+MC，
∴AM=AD+MC；
②结论不成立，理由如下：
假设成立．
过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示．
四边形是矩形，
，．
，
．
．
．
，
．
，
，
．
．
．
，
．
，
．与条件“ “矛盾，故假设不成立．
不成立．
【解析】
（1）分别延长AE，BC交于点N，先证明ADE≌NCE再证明三角形AMN是等腰三角形，可以说明AM=AD+MC。
（2）如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，证明三角形AFM是等腰三角形即可证明AM=DE+BM。
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，证明方法与（1）相同。
②结论不成立，用反证法，假设成立，证明方法与（2）相同，结果得到AB=AD与条件AB≠AD矛盾，故假设不成立．不成立．
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