北师大八上1.3勾股定理的应用

(共27张PPT)
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想
3.进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
情景导入
一.勾股定理的内容什么？
Rt△
a2+b2=c2
a2+b2=c2
二.勾股定理的逆定理是什么？
Rt△
如果直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
情景导入
三、有人在公园散步，游人为了尽快的从A点走到C点，选择了A-C路线而不是A-B-C路线，为什么呢？
B
A
C
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
探索新知
立体图形中两点之间的最短距离
一
有一个圆柱，它的高等于12,底面半径等于3.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱表面爬行的最短路程是多少 (π取3)
动起来：自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
B
A
蛋糕
探索新知
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
思考：
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
同学们展示蚂蚁A→B的路线
探索新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
探索新知
立体图形
平面图形
转化
展开
方法
原理
依据
两点之间线段最短
勾股
定理
探索新知
思考：如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
B
食物
A
三条线路,看明白了吗
B1
B
B2
B3
探索新知
A
B
a
b
c
如图，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为a、b、c，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
探索新知
A
B
a
b
c
b
a
A
B
c
前、右展开图
A
B
上、前展开图
c
a
b
B
b
A
a
c
上、左展开图
总结归纳
求长方体相邻面上两点之间的距离：
探索新知
（1）相邻两面的展开图是一个长方形，有三种展开方式， 其中沿最长的棱长展开得到的路线（即将最长的棱长作为一条直角边的长），距离是最短的。
（2）当是正方体时，其三种展开方式的结果都是一样的。
探索新知
勾股定理的实际应用
二
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
探索新知
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
在AD上取点M，使AM=9，
在AB上取点N使AN=12，
测量MN是否是15，
是，就是垂直；不是，就是不垂直.
探索新知
分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.
例： 如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？
A
C
O
B
D
探索新知
A
C
O
B
D
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△中，由勾股定理得，
,
所以
在Rt△中，由勾股定理得，
所以.
探索新知
勾股定理应用的常见类型
1.已知直角三角形的任意两边求第三边；
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4.求解几何体表面上的最短路程问题；
5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.确定所求线段所在的直角三角形；
3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.求得结果.
探索新知
当堂检测
1.如图1，圆柱的底面周长为16， BC ＝12，动点 P 从点 A 出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短距离为（　A　）
图1
A
A. 10 B. 12 C. 14 D. 20
当堂检测
2. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC ＝7
cm， BC ＝24 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使
它落在 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（　B　）
A. 4 cm B. 5.25 cm
C. 6.25 cm D. 7 cm
B
当堂检测
3.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 cm. （杯壁厚度不计）
10　
当堂检测
4. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB ＝9，
BB'＝5，B'C'＝6，在线段 AB 的三等分点 E （靠近点
A ）处有一只蚂蚁，B'C'中点 F 处有一米粒，则蚂蚁沿
长方体表面爬到米粒处的最短距离为 .
10　
当堂检测
5.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3 dm，2 dm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm.
17　
当堂检测
6.如图，一个长方体盒子的高为30 cm，底面是正方形，边长为20 cm，现在点 A 处有一只壁虎，想吃位于长方体盒子侧面上点 E 处的一只虫子，问壁虎走的最短路程是多少？
当堂检测
解：将长方体展开，分别得到如答案图1，答案图2，答
案图3所示的三种情况，连接 AE .
在图1中， AE2＝ AD2＋ DE2＝2 500；
在图2中， AE2＝ AB2＋ BE2＝2 900；
在图3中， AE2＝ AC2＋ CE2＝2 900.
∵2 500＜2 900，∴壁虎走的最
短路程为50 cm.
（答案图）
勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
解决不规则图形面积问题
测量问题
感谢收看