4.5 相似三角形判定定理的证明课件（24张PPT） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共24张PPT)
第四章 图形的相似
*4.5 相似三角形判定定理的证明
九年级上册数学（北师版）
复习导入
判定两个三角形相似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
∵∠A =∠A′ ，
∴△ABC∽△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠B＝∠ADE，
∠C＝∠AED，
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠A＝∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
探究新知
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
你要如何
证明呢？
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C，
∴ △ABD ∽ △ACB.
∴ AB : AC = AD : AB.
∴ AB = AD · AC.
∵ AD = 2， AC = 8，
∴ AB = 4.
例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB.
C
D
A
B
相似三角形判定定理的运用
2
典例精析
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．
C
A
B
D
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
∴
② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ，
即 : = AB : ，解得 AB = ．
① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC，
即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3；
C
A
B
D
2
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，
这两个直角三角形相似．
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；
(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；
(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .
相似
相似
相似
练一练
1.如下图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
课堂练习
2.如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长.
解：∵ AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD =
∴
又∠B = ∠ACD，
∴ △ABC∽△DCA.
∴
∴ AD =
A
B
C
D
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
当堂小结
随堂练习
1. 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.
C
A
B
E
D
F
△ABC∽△DEF
证明：等边三角形ABC中， AE=BF=CD
则BE=CF=AD，∠A=∠B=∠C
∴△AED≌△BFE≌△CDF
∴DE=DF=EF
∴△EFD是等边三角形
∴∠EDF=∠A=60°，∠EFD=∠B=60°
∴△ABC∽△DEF
2. 已知：如图， 求证：AB＝AE.
A
B
D
E
C
证明：
∴△ADE∽△CAB
∴∠B=∠AEB
∴AB=AE