第二章 有理数及其运算 （90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1如果“盈利5%”记作+5%,那么-3%表示 ( )
A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3%
2(2024·湖南中考)《光明日报》2024年3月14日报道:截至2023年末,我国境内有效发明专利量达到401.5万件,高价值发明专利占比超过四成,成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家.将4 015 000用科学记数法表示应为 ( )
A.0.401 5×107 B.4.015×106
C.40.15×105 D.4.015×107
3(2024·南平期中)如果|a|=-a,下列成立的是 ( )
A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
4(2024·深圳期中)下列说法中,正确的有 ( )
①0是最小的整数;
②若|a|=|b|,则a=b;
③互为相反数的两数之和为零;
④数轴上表示两个有理数的点,较大的数表示的点离原点较远.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点,分别对应的数为-5,b,4,某同学将刻度尺如图2放置,使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A,发现点B对应刻度为1.8 cm,点C对应刻度为5.4 cm.
则数轴上点B所对应的数b为 ( )
A.3 B.-1 C.-2 D.-3
6下列各组数中,互为相反数的是 ( )
A.2与 B.-1与(-1)2 C.(-1)2与1 D.2与|-2|
7(2024·德州期中)若数轴上点A表示-1,AB距离是3,点C与点B互为相反数,则点C表示 ( )
A.-2 B.2 C.-4或2 D.4或-2
8下列各式:①-(-2);②-|-2|;③-22;④(-2)2,计算结果为负数的个数有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9(2024·淄博期中)已知|a-2|+(b+)2=0,则a10·b10的值为 ( )
A.-1 B.1 C.210 D. ()10
10(2024·南通质检)把有理数a代入|a+4|-10得到a1,称为第1次操作,再将a1作为a的值代入得到a2,称为第2次操作,…,若a=23,经过第2 020次操作后得到的是 ( )
A.-7 B.-1 C.5 D.11
二、填空题(每小题3分,共18分)
11(2024·汕头期中)用“>”或“<”填空:-7 -9.
12已知|a|=6,b2=16,且ab<0,则a+2b的值是 .
13计算:-32×(-2)3= .
14与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 .
15拉面馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示,这样捏合到第 次后可拉出128根面条.
16(2024·益阳质检)若三个非零有理数a,b,c满足++=1,则= .
三、解答题(共52分)
17(8分)把下列各数分类,并填在表示相应集合的大括号内:
-11,-,-9,0,+12,-6.4,-π,-4%.
(1)整数集合:{ …};
(2)分数集合:{ …};
(3)非负整数集合:{ …};
(4)负有理数集合:{ …}.
18(8分)(2024·南京质检)计算:
(1)(-4)-(+3)+(-5); (2)-81÷(-2)×÷(-16);
(3)6-3.3-(-6)- (-3)+3.3; (4)(-24)×(+-0.75).
19(8分)某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下(“+”表示进库,“-”表示出库):+50,-45,-33,+48,-49,-36.
(1)经过这6天,仓库里的水泥是增多还是减少了 增多或减少了多少吨
(2)经过这6天,仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥,那么6天前,仓库里存有水泥多少吨
(3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元,那么这6天要付多少元装卸费
20(8分)观察下列三行数并按规律填空:
-1,2,-3,4,-5, , ,…;
1,4,9,16,25, , ,…;
0,3,8,15,24, , ,…
(1)第一行数按什么规律排列
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
21(10分)琪琪准备完成题目:计算:(-9)×(-■)-33.发现题中有一个数字“■”被墨水污染了.
(1)琪琪猜测被污染的数字“■”是,请计算(-9)×(-)-33;
(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于-9,请通过计算求出被污染的数字“■”.
22(10分)(2024·福州质检)(1)在数轴上标出数-4.5,-2,1,3.5所对应的点A,B,C,D;
(2)C,D两点间距离=__________;B,C两点间距离=__________;
(3)数轴上有两点M,N,点M对应的数为a,点N对应的数为b,那么M,N两点之间的距离为__________ ;
(4)若动点P,Q分别从点B,C同时出发,沿数轴负方向运动;已知点P的速度是每秒1个单位长度,点Q的速度是每秒2个单位长度,问:
①t为何值时P,Q两点重合
②t为何值时P,Q两点之间的距离为1
【附加题】(10分)
已知:b是最小的正整数,且a,b,c满足(c-5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(1)请直接写出a,b,c的值,a= ,b= ,c= .
(2)a,b,c所对应的点分别为A,B,C,点P为一动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|-|x-1|+2|x+5|(请写出化简过程).
(3)在(1)(2)的条件下,点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变 若变化,请说明理由;若不变,请求其值.第二章 有理数及其运算 （90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1如果“盈利5%”记作+5%,那么-3%表示 (A)
A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3%
2(2024·湖南中考)《光明日报》2024年3月14日报道:截至2023年末,我国境内有效发明专利量达到401.5万件,高价值发明专利占比超过四成,成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家.将4 015 000用科学记数法表示应为 (B)
A.0.401 5×107 B.4.015×106
C.40.15×105 D.4.015×107
3(2024·南平期中)如果|a|=-a,下列成立的是 (D)
A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
4(2024·深圳期中)下列说法中,正确的有 (B)
①0是最小的整数;
②若|a|=|b|,则a=b;
③互为相反数的两数之和为零;
④数轴上表示两个有理数的点,较大的数表示的点离原点较远.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点,分别对应的数为-5,b,4,某同学将刻度尺如图2放置,使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A,发现点B对应刻度为1.8 cm,点C对应刻度为5.4 cm.
则数轴上点B所对应的数b为 (C)
A.3 B.-1 C.-2 D.-3
6下列各组数中,互为相反数的是 (B)
A.2与 B.-1与(-1)2 C.(-1)2与1 D.2与|-2|
7(2024·德州期中)若数轴上点A表示-1,AB距离是3,点C与点B互为相反数,则点C表示 (D)
A.-2 B.2 C.-4或2 D.4或-2
8下列各式:①-(-2);②-|-2|;③-22;④(-2)2,计算结果为负数的个数有 (C)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9(2024·淄博期中)已知|a-2|+(b+)2=0,则a10·b10的值为 (B)
A.-1 B.1 C.210 D. ()10
10(2024·南通质检)把有理数a代入|a+4|-10得到a1,称为第1次操作,再将a1作为a的值代入得到a2,称为第2次操作,…,若a=23,经过第2 020次操作后得到的是 (A)
A.-7 B.-1 C.5 D.11
二、填空题(每小题3分,共18分)
11(2024·汕头期中)用“>”或“<”填空:-7 > -9.
12已知|a|=6,b2=16,且ab<0,则a+2b的值是 -2或2 .
13计算:-32×(-2)3= 72 .
14与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 (-15)4÷52 .
15拉面馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示,这样捏合到第 7 次后可拉出128根面条.
16(2024·益阳质检)若三个非零有理数a,b,c满足++=1,则= -1 .
三、解答题(共52分)
17(8分)把下列各数分类,并填在表示相应集合的大括号内:
-11,-,-9,0,+12,-6.4,-π,-4%.
(1)整数集合:{ -11,-9,0,+12, …};
(2)分数集合:{ -,-6.4,-4%, …};
(3)非负整数集合:{ 0,+12, …};
(4)负有理数集合:{ -11,-,-9,-6.4,-4%, …}.
18(8分)(2024·南京质检)计算:
(1)(-4)-(+3)+(-5); (2)-81÷(-2)×÷(-16);
(3)6-3.3-(-6)- (-3)+3.3; (4)(-24)×(+-0.75).
解:(1)(-4)-(+3)+(-5)
=-4-3-5
=-12; (2)-81÷(-2)×÷(-16)
=-81×(-)××(-)
=-1;
(3)6-3.3-(-6)- (-3)+3.3
=(6+3)+(-3.3+3.3)+6
=10+0+6
=16; (4)(-24)×(+-0.75)
=(-24)×+(-24)×-(-24)×0.75
=-33-56+18
=-71.
19(8分)某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下(“+”表示进库,“-”表示出库):+50,-45,-33,+48,-49,-36.
(1)经过这6天,仓库里的水泥是增多还是减少了 增多或减少了多少吨
(2)经过这6天,仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥,那么6天前,仓库里存有水泥多少吨
(3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元,那么这6天要付多少元装卸费
解:(1)+50+(-45)+(-33)+(+48)+(-49)+(-36)=50-45-33+48-49-36=-65.
答:仓库里的水泥减少了,减少了65吨;
(2)200-(-65)=265(吨)
答:6天前,仓库里存有水泥265吨;
(3)(|+50|+|-45|+|-33|+|+48|+|-49|+|-36|)×5=261×5=1 305(元)
答:这6天要付1 305元装卸费.
20(8分)观察下列三行数并按规律填空:
-1,2,-3,4,-5, 6, -7,…;
1,4,9,16,25, 36, 49,…;
0,3,8,15,24, 35, 48,…
(1)第一行数按什么规律排列
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:根据数据变化规律得出:空格分别填:6,-7;36,49;35,48.
(1)第一行数是-1,2,-3,4,-5,…,即(-1)nn.
(2)对于一、二两行中位置对应的数,可以发现:
第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方;
第三行每一个数是第二行对应的数减1得到的,即为第一行数的每一个相对应的数的平方减1得到.
(3)根据规律得出:第一行数第10个数为10,第二行数第10个数为100,第三行数第10个数为99,
则这三个数的和为10+100+99=209.
21(10分)琪琪准备完成题目:计算:(-9)×(-■)-33.发现题中有一个数字“■”被墨水污染了.
(1)琪琪猜测被污染的数字“■”是,请计算(-9)×(-)-33;
(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于-9,请通过计算求出被污染的数字“■”.
解:(1)原式=-9×(-)-27
=-27
=-;
(2)-[(-9+33)÷(-9)]
=-[(-9+27)÷(-9)]
=-[18÷(-9)]
=-(-2)
=.
22(10分)(2024·福州质检)(1)在数轴上标出数-4.5,-2,1,3.5所对应的点A,B,C,D;
(2)C,D两点间距离=__________;B,C两点间距离=__________;
(3)数轴上有两点M,N,点M对应的数为a,点N对应的数为b,那么M,N两点之间的距离为__________ ;
(4)若动点P,Q分别从点B,C同时出发,沿数轴负方向运动;已知点P的速度是每秒1个单位长度,点Q的速度是每秒2个单位长度,问:
①t为何值时P,Q两点重合
②t为何值时P,Q两点之间的距离为1
解:(1)如图所示:
(2)CD=3.5-1=2.5,BC=1-(-2)=3;
(3)MN=|a-b|;
(4)①依题意有2t-t=3,解得t=3.
故t为3秒时P,Q两点重合;
②依题意有2t-t=3-1,解得t=2;
或2t-t=3+1,解得t=4.
故t为2秒或4秒时P,Q两点之间的距离为1.
【附加题】(10分)
已知:b是最小的正整数,且a,b,c满足(c-5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(1)请直接写出a,b,c的值,a=-1,b=1,c=5.
(2)a,b,c所对应的点分别为A,B,C,点P为一动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|-|x-1|+2|x+5|(请写出化简过程).
(3)在(1)(2)的条件下,点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变 若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
解:(1)因为b是最小的正整数,所以b=1.
根据题意得:c-5=0且a+b=0,所以a=-1,b=1,c=5.
(2)当0≤x≤1时,x+1>0,x-1≤0,x+5>0,
则|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-(1-x)+2(x+5)
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10;
当10,x-1>0,x+5>0.
所以|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-(x-1)+2(x+5)=x+1-x+1+2x+10=2x+12;
(3)不变.理由如下:
t秒时,点A对应的数为-1-t,点B对应的数为t+1,点C对应的数为3t+5.
所以BC=(3t+5)-(t+1)=2t+4,AB=(t+1)-(-1-t)=2t+2,
所以BC-AB=(2t+4)-(2t+2)=2,
即BC-AB的值不随着时间t的变化而改变.
