第二十二章 二次函数 跟踪练习（含答案） 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 跟踪练习 2024--2025学年人教版九年级数学上册
一、单选题
1．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则（　　）
A．y1＝y2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y2
3．把抛物线 向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为
A． B． C． D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④当m为任意实数时，a﹣b＜am2+bm；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑥a＞ ．其中，正确结论的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若二次函数 的图像与 轴有两个交点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．抛物线（为常数，）经过点，对称轴为直线，顶点在第三象限．有下列结论：①；②；③当时（为常数），．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若 是二次函数 图象上一点，则抛物线 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　）
A． B．
C．或 D．或
9．关于二次函数y=x2﹣4m x+3 (m是常数），有以下说法：
①不管m是什么实数，该函数图象的顶点一定在函数y=﹣x2 +3的图象上；②若该函数图象与x轴相交于点（a，0)， (b， 0) (aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知抛物线与x轴只有1个公共点，则m的值为　 　.
12．已知二次函数的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是　 　．
13．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为　 　．
14．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为　 　
15． 如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面宽增加 　 　m．
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论：① b2＞4ac；② abc＞0；③ a－c＜0；④ am2＋bm≥a－b（m为任意实数），其中正确的结论是　 　
17．已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论　 　．
三、解答题
18．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式．
19．已知抛物线：．
（1）请写出抛物线的对称轴：直线___________；
（2）时，将该抛物线沿x轴翻折，得到新的抛物线对应的函数表达式是___________；
（3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值．
20．2023年杭州亚运会胜利闭幕，本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一位，创造了新的历史。在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”。商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售。经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件。
（1）求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率。
（2）从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件。如何定价才能使利润最大？
21． 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线的解析式；
（2）不考虑其它因素，求水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外．
22． 在平面直角坐标系中，抛物线过点．
（1）求用含的式子表示；
（2）抛物线过点，，，
①证明：；
②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点.
（1）当抛物线过点时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论为何值，抛物线必过定点，并求出点的坐标；
（3）在(1)的条件下，抛物线与轴交于点，点是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与轴交于点.设，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】±1
12．【答案】
13．【答案】6
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】①②④
17．【答案】①④
18．【答案】（1）；（2）
19．【答案】（1）
（2）
（3）
20．【答案】（1）解：设4月份到6月销售量的月平均增长率为a，
则，
解得：，（舍去），
答：4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设定价为x元，利润为y元，
则，
对称轴为，
，
∴当时，y有最大值，
定价为元时利润最大．
21．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为：
（2）解：令，得，，
解得舍或，
米，
水池的直径至少要米才能使喷出的水流不落到池外．
22．【答案】（1）解：把代入，得
，
∴；
（2）解：①把代入，得
，
由（1）知：，
∴，
把代入，得
，
，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
绽上，；
②由（1）知，
∴
∴抛物线对称轴为．
∵抛物线过点，，，
∴，，．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最小值．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最大值，且．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
综上，的取值范围是或．
23．【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．