2024-2025学年第一学期九年级数学 （10.20）
一．选择题（共8小题）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+＝6；③x2＝0；④x＝3x2⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x中，一元二次方程的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝﹣2 C．m＝﹣2或2 D．m≠0
4．关于x的二次三项式4x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．±12 C．±6 D．6
5．有下面4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；
④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．AB、CD是⊙O中的两条弦，若AB＝2CD，则与2的大小关系是（ ）
A．＞2 B．＜2 C．＝2 D．不能确定
7．如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．52.5° C．70° D．72°
第7题 第8题 第11题 第13题
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
二．填空题（共10小题）
9．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
10．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2029﹣6a+2b的值为 ．
11．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝ °．
第14题 第15题 第16题 第18题
用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径
为 cm．
13．如图所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则它的内切圆半径为 cm．
14．如图，小刚同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是 cm．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝ °．
16．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为 ．
17．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2026，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0必有一根为 ．
18．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）（2x﹣1）2﹣9x2＝0； （2）x2﹣2x﹣6＝0．
20．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB＝5，AC＝4，求：BD的长．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此方程的根．
22．已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求OD的长．
23．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
24．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
25．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“相望角”，如图，
（1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是的“相望角”；
（2）如图3，若直径AB＝6，弦CE⊥AB，的“相望角”为90°，求CD的长．
26．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中，当⊙M与矩形ABCD一边相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，t的值是 ．参考答案
一．选择题（共8小题）
1．B； 2．D； 3．B； 4．B； 5．B； 6．A； 7．C； 8．D．
二．填空题（共10小题）
9．1501（1+x）2＝1815； 10．2025； 11．115； 12．5； 13．2cm．
14．3； 15．72； 16．155°； 17．x＝2024； 18．．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：（1）； （2）．
20．．
21．（1）k＜1．（2）根据题意，得k＝0；，．
22．（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
（2）OD＝1．
23．（1）300+100× 或 300+1000m．
（2）（1﹣m）（300+100×）＝420．
化简得，100m2﹣70m+12＝0．
即，m2﹣0.7m+0.12＝0．
解得m＝0.4或m＝0.3．
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
24．（1）CB与⊙O相切，理由：略
（2）图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25．（1）证明：∵直径AB，弦CE⊥AB，
∴AB垂直平分弦CE，
∴∠APC＝∠APE，
∵∠APE＝∠BPD，
∴∠APC＝∠BPD，
∴∠CPD是的“相望角”；
（2）解：由题意知，∠CPD是的“相望角”，∠CPD＝90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°，
∵直径AB＝6，弦CE⊥AB，
∴∠PEC＝∠PCE，∠APC＝∠APE＝45°，
∴∠CPE＝90°，∠PEC＝∠PCE＝45°，
如图1，记圆心为O，连接OC，OD，则，
∵，
∴∠COD＝2∠PEC＝90°，
由勾股定理得，，
∴CD的长为．
26．（1），相离；
（2）如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥CD，EF⊥AB，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝EM＝5﹣t，
∴MF＝EF﹣ME＝，
∴8﹣（5﹣t）＝，
解得：t＝；
综上所述：当⊙M与矩形ABCD相切时t＝或；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，
∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．
故答案为：．
