北师大版九年级数学第二章一元二次方程单元试卷（含解析）

北师大版九年级数学第二章 一元二次方程单元试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
3．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则( )．

A．9 B．10 C．11 D．12
7．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
8．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
9．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大凝上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知多项式，其中x为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解；
④若分式的值为整数，则整数x的值有4个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是 ．
12．将一些相同的 按如图所示摆放，观察每个图形中 的个数，按此规律，若第n个图案中 的个数是90，则n的值＝ ．
13．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
14．若（为实数），则的最小值为 ．
15．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．

三、解答题
16．用配方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
17．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
18．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元．
(1)每天的销量为_______件（用含的代数式表示）；
(2)若每天获得1600元的利润，请你帮忙确定降价幅度；
(3)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得3000元的利润？并说明理由．
19．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
(1)试判断的形状；
(2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
20．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
21．如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
22．【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
23．如图，为上一动点（不含端点和中点），以，为边向上作正方形，．连接并作平行交直线于，再以，为边作平行四边形，连接．
（1）求的度数．
（2）当四边形的面积为15时，求的长．
（3）当是等腰三角形时，直接写出的长．
/ 让教学更有效 精品 |
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程计算即可得到答案．
【详解】解：∵0是方程的根，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
5．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
6．C
【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是；
，
解得（舍），，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列一元二次方程是解题的关键．
根据剩余绿地的面积为，列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，，
整理得，，
∴，
解得，（舍去），
故选：A．
8．D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
9．A
【分析】用a%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于a%的方程．
【详解】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%=23(1+a%)；
当猪肉第二次提价a%后，其售价为23(1+a%)+23(1+a%)a%=23(1+a%)2．
∴23(1+a%)2=40．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可
10．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式的值，熟练掌握，正确运用所学知识是解题的关键．解方程求得方程的解即可判断①；由得到，变形得到，直接代入即可判断②；解得方程的解即可判断③．由，即可确定整数x的值有3个，即可判断④．
【详解】若，
化简得，
解得，
故①错误；
则，
设，
，
故②正确；
若，则或．
当时，，
则此方程有两个不相等的实数解；
当时，，
则此方程有两个不相等的实数解，
∴原方程共有4个不相等的实数解，故③正确；
．
∵分式的值为整数，
，
解得．
当时，分母为0，舍去，
∴整数x的值有3个，故④错误．
综上，正确的结论有2个
故选：B
11．
【分析】根据题意可知，判别式，求解即可．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得
故答案为
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握相关关系是解题的关键．
12．9
【分析】通过观察图形找到“ ”的排列规律，用含有n的代数式表示第n个图形中“ ”的个数，再把90代入，得到关于n的方程，解出即得答案．
【详解】解：∵第1个图形有“ ”的个数为：2＝1×2；
第2个图形有“ ”的个数为：6＝2×3；
第3个图形有“ ”的个数为：12＝3×4；
第4个图形有“ ”的个数为：20＝4×5；
∴第n个图形有“ ”的个数为：n（n+1）；
∴当第n个图案中“ ”的个数是90，得：
n（n+1）＝90，
解得：n＝9或n＝﹣10（舍去）．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了图形的规律问题和解一元二次方程，解题的关键是根据题意正确分析“ ”的排列规律．
13．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
14．
【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
15．
【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵图中，，
∴
∵与的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，；
（3）解：，
，
，；
（4）解：，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
18．(1)
(2)降价幅度为4元
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用每天的销售量每件降低的价格，可用含的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售该服装获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结台每件降价幅度不超过元，即可得出每件服装应降价元；
（3）列一元二次方程求解，根据一元二次方程无解即可判断．
【详解】（1）解：依题意得，每天可以销售件服装．
故答案为∶；
（2）解：根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
所以降价幅度为元；
（3）解：不能，理由如下，
根据题意，得，
整理，得，
∴，
所以原方程无解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．(1)是直角三角形；
(2)当点出发或时，四边形的面积为．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
或5，
当点出发或时，四边形的面积为．
20．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
21．4m
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50 2x)m，宽为(38 2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
23．（1）45°或135°；（2）3.5或6.5；（3）或或
【分析】（1）分两种情况：①当点C在AB中点的左侧时，延长HJ交BC于点M，②当点C在AB中点的右侧时，延长CB交HJ于点M，分别求解即可；
（2）分两种情况：①当点C在AB中点的左侧时，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=x，HG=10-2x，BG=BC=10-x；②当点C在AB中点的右侧时，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=x，HG=2x-10，BG=BC=10-x，分别列出方程，即可求解；
（3）分两种情况：①当点C在AB中点的左侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=CM=x，MB=HG=MJ=10-2x；②当点C在AB中点的右侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=CM=x，MB=HG=MJ=2x-10，分别表示出BJ，，BC的长，再根据等腰三角形的定义，分别列出方程，即可求解．
【详解】解（1）分两种情况：
①当点C在AB中点的左侧时，延长HJ交BC于点M，则四边形HMBG是矩形，四边形CMHF是矩形，如图，
∴HG=BM，
∵∥，FH∥DE，
∴四边形EDHF是平行四边形，
∴ED=HF，
∵四边形是正方形，
∴ED=CD，
∴HF=CD，
∵四边形是正方形，
∴CF=FG，
∴CF-CD=FG-HF，即：DF=HG，
∴DF=MB，
∵四边形CMHF是矩形，
∴CM=HF=ED，
∵在平行四边形中，CJ=DH，在平行四边形EDHF中，DH=EF，
∴CJ=EF，
又∵∠EDF=∠CMJ=90°，
∴，
∴DF=MJ，
∴MB= MJ，
∴是等腰直角三角形，
∴=45°；
②当点C在AB中点的右侧时，延长CB交HJ于点M，如图，
∵在平行四边形中，DC=HJ，在矩形FCMN中，FC=HM，
∴DF=MJ，
同理，CM=FH=DE，
又∵∠EDF=∠CMJ=90°，
∴，
∴DF=MJ，
由①中的方法可知：BM=DF，
∴MJ= BM，
∴是等腰直角三角形，
∴∠MBJ=45°，
∴=180°-45°=135°，
综上所述：=45°或135°；
（2）分两种情况：
①当点C在AB中点的左侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=x，HG=10-2x，BG=BC=10-x，
∴当四边形的面积为15时，则，解得：x=3.5；
②当点C在AB中点的右侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=x，HG=2x-10，BG=BC=10-x，
∴当四边形的面积为15时，则，解得：x=6.5；
综上所述：=3.5或6.5；
（3）分两种情况：
①当点C在AB中点的左侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=CM=x，MB=HG=MJ=10-2x，BJ=，，BC=10-x，
∴当是等腰三角形时，=或=10-x或=，
∴或x=10（舍去）或或x=0（舍去）或x=5（舍去）
②当点C在AB中点的右侧时，如图，设AC=x，则DE=FH=CD=HJ=CM=x，MB=HG=MJ=2x-10，BJ=，，BC=10-x，
∴当是等腰三角形时，=或=10-x或=，
∴（舍去）或x=10（舍去）或或x=0（舍去）或x=5（舍去），
综上所述：AC=或或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页