12.3角的平分线的性质 同步练习（含解析） 人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　 　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．如图， 在 中， ， 平分，，， 则点D到的距离为 （ ）
A．18 B．12 C．15 D．16
3．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
5．如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作于D，有下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，已知的周长是18，，分别平分和，于D，且，则的面积是（　　）

A．6 B．9 C．18 D．36
8．如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
9．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 ．
10．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为 cm．
11．如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
12．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为 ．
13．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为 ．
三、解答题
14．如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
15．如图，在中，，是的平分线，于F，E在上，连接．
(1)证明：；
(2)若，则 ．
16．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
17．在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
2．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质；由已知能够注意到D到的距离等于长是解决问题的关键．作于E，根据角平分线的性质得到，根据题意求出的长即可．
【详解】解：作于E，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
4．C
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
5．C
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OA，利用角平分线定义和三角形内角和定理可判断①和②；根据角平分线的性质可得OM=OD=ON，可判断③；再根据三角形的面积公式可判断④；
【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=90°－∠A，
∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，
故①错误，②正确；
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OA，
又∵在中，和的平分线相交于点O，，
∴OM=OD=ON，即点O到各边的距离相等，故③正确；
∵，，
∴
=
=，故④正确，
综上，其中正确的结论有②③④三个正确，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解答的关键．
6．B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
7．C
【分析】由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积的面积，得到的面积，由的周长，，即可求出的面积．
【详解】解：过O作于M，于N，
∵，分别平分和，
∴，，
∵的面积的面积的面积的面积，
∴的面积，
∵的周长，，
∴的面积．
故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到的面积．
8．D
【分析】作DE⊥BC，根据三角形内角和定理得到∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质求出DP的最小值即可．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，

∵∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=AD=2，
∴DP的最小值为2，
∴点D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．3.5
【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
11．//7.2
【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．
在中，．
∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
延长，交于F，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上的高．
【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
设中边上的高为，则有：，
解得，，
即中边上的高为，
故答案为：．
13．27
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC,GM⊥AB
∴GM=GH
∴,
故答案为27．
【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
14．(1)见解析
(2)①见解析 ②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
（1）可证得，结合，即可证明结论．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．
故答案为：．
15．(1)证明见解析；
(2)2．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由证明，即可得出结论；
（2）由证明，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
是的平分线，，
，
在与中，
，
，
；
（2）在和中，
，
，
，
，
．
∵
16．28°
【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
17．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
答案第1页，共2页
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